Standard Kompetensi TURUNAN MULAI TIME OUT 2 F. PERKALIAN Soal a ILUSTRASI F. ALJABAR F. PEMBAGIAN Soal b INDIKATOR Soal c F. KOMPISISI KESIMPULAN TIME OUT 1 F. TRIGONOMETRI Soal d PENGERTIAN TAFSIRAN GEOMETRI TURUNAN DASAR-DASAR PENERAPAN SOAL RUMUS DASAR SELESAI

Standard Kompetensi TURUNAN (DIFFERENSIAL) OLEH M. SYAMSUL MA’ARIF SMAN 2 SURABAYA HOME

4. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan dalam pemecahan masalah. Indikator-indikator 4.3 Menggunakan konsep, sifat, dan aturan dalam perhitungan turunan fungsi 1. Menghitung turunan fungsi yang sederhana dengan menggunakan definisi turunan 2. Menjelaskan arti fisis dan arti geometri turunan di satu titik 3. Menentukan laju perubahan nilai fungsi terhadap variabel bebasnya 4. Menggunakan aturan turunan untuk menghitung turunan fungsi aljabar dan trigonometri 5. Menentukan turunan fungsi kompisisi dengan atutan rantai 6. Menentukan persamaan garis singgung pada suatu kurva 4.4 Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan memecahkan masalah 1. Menentukan selang di mana suatu fungsi naik atau turun dan memecahkan masalah 2. Menentukan titik stasioner suatu fungsi beserta jenis ekstrimnya 3. Menentukan titik belok 4. Menggunakan turunan dalam perhitungan kecepatan dan percepatan 5. Menggunakan turunan dalam perhitungan bentuk tak tentu limit fungsi HOME

SUBPOKOK BAHASAN DASAR - DASAR PENGERTIAN TURUNAN FUNGSI ALJABAR DAN TRIGONOMETRI TURUNAN FUNGSI PERKALIAN TURUNAN FUNGSI PEMBAGIAN TURUNAN FUNGSI KOMPOSISI BEBERAPA PENERAPAN HOME

Penerapan Turunan Ilustrasi Penerapan 1 Kecepatan merupakan unsur penting dalam kehidupan. HOME

Adanya percepatan dan perlambatan. Ilustrasi Penerapan 2a Adanya percepatan dan perlambatan. HOME

Adanya percepatan dan perlambatan. Ilustrasi Penerapan 2b Adanya percepatan dan perlambatan. HOME

Untuk menentukan volume minimum dan maksimum suatu fungsi. Ilustrasi Penerapan 3 Saya bekerja dengan cara memompa darah (kadang volume saya maksimum dan kadang minimum) Untuk menentukan volume minimum dan maksimum suatu fungsi. HOME

Ilustrasi menentukan luas maksimum suatu daerah Y 3 Luas ? (x, y) Luas ? y X 6 x = 6 – 2y Adanya perubahan luas. Luas maksimum ? HOME

Penjelasan Dari ilustrasi 1, 2 dan 3 semuanya mengandung unsur adanya perubahan. Ilustrasi 1 (kecepatan) merupakan perubahan jarak. Ilustrasi 2 (percepatan dan perlambatan) merupakan perubahan kecepatan. Ilustrasi 3 adanya perubahan volume dan luas. Perubahan merupakan inti daripada turunan (defferensial). Dalam matematika perubahan nilai / variabel dilambangkan dengan delta. HOME

TIME OUT SENAM HOME

DASAR-DASAR TURUNAN : Jika f(x) = 2x-3, sehingga f(x+h) = 2(x+h)-3=2x+2h-3 Jika f(x) = 3x2-x, sehingga f(x+h) = 3(x+h)2-(x+h) = 3x2+6hx+3h2-x-h = 3x2+(6h-1)x+(3h2-h) Jika f(x) = sin 2x, sehingga f(x+h) = sin 2(x+h) = sin (2x+2h) Jika f(x) = cos (2x-), sehingga f(x+h) = cos [(2(x+h)- ] (x+y)3 = x3+3x2y+3xy2+y3 HOME

(x-y)3 = x3-3x2y+3xy2-y3 (x+y)4 = x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4 HOME

Fungsi pembagian, contoh : 1. 5x3 – 3x + 5 2. sin 2x x + 2 cos 3x Fungsi perkalian, contoh : 1. x sin 2x 2. (2x+3)3(x – 3)2 3. (2x – 1) cos 3x 4. cos 2x sin 5x HOME

PENGERTIAN Y A (x,y) y2 y = mx + c y y1 B x  X dimana : x 0 x1 x2 Turunan ( differensial ) adalah perubahan suatu fungsi untuk setiap perubahan variabelnya. HOME

Jika terdapat fungsi y=f(x), maka turunan fungsi itu didefinisikan sbb : atau RUMUS DASAR HOME

y = mx + c Catatan : dimana m = gradien Y=f(x) y x y2 y1  x1 x2 X HOME

Kesimpulan: Jadi turunan suatu fungsi juga merupakan gradien suatu garis lurus yang menyinggung grafiks dari fungsi yang bersangkutan di suatu titik tertentu. HOME

TIME OUT BERNYANYI HOME

B. TURUNAN ALJABAR DAN TRIGONOMETRI HOME

Beberapa bentuk aljabar : Fungsi linear Fungsi Kuadrat Fungsi polinom Fungsi (f) perkalian dari f. linear, f. kuadrat, f. polinom atau campurannya. Fungsi pecahan dari linear, kuadrat, polinom atau campuran dari padanya. HOME

Tentukan turunan dari bentuk aljabar berikut : 1. y = 2x + 3 Jawab 2. y = 3x – 5 Jawab 3. y = 12x + 1 Jawab 4. y = 5 – 7x Jawab 5. y = ax + b Jawab HOME

y = 2x + 3 Jawab: HOME 2 HOME

2. y = 3x - 5 Jawab HOME 2 HOME

3. y = 12x + 1 Jawab HOME 2 HOME

4. y = 5 – 7x Jawab HOME 2 HOME

5. y = ax + b Jawab : HOME 2 HOME

Kesimpulan 1 : y = b  y’ = 0 y = ax  y’ = a RUMUS DASAR HOME

Tentukan turunan berikut : y =3x2 y = 5x3 y = 6x4 y = axn Jawab Jawab Jawab Jawab HOME

1. y = 3x2 Jawab : HOME 2 HOME

2. y = 5x3 Jawab : HOME 2 HOME

4. y = 4x4 Jawab : HOME 2 HOME

Kesimpulan 2 : y = 3x2  y’ =6x y = 5x3  y’ =15x2 y = 4x4  y’ = 16x3 Jadi : 4. y = axn  y’ = a.n.xn-1 = anxn-1 HOME 2 HOME

Beberapa contoh penerapan : 1. y = 12x3 – 4x2 + 7x + 10 HOME

HOME

HOME

HOME

Turunan fungsi trigonometri : y = sin ax y = cos ax Jawab : 1. HOME

HOME

HOME

Kesimpulan : y = sin ax  y’ = a cos ax y = cos ax  y’ = -a sin ax RUMUS DASAR HOME

Tentukan turunan dari soal-soal berikut : 1. y = 2 sin 3x Latihan Tentukan turunan dari soal-soal berikut : 1. y = 2 sin 3x 2. y = 3 cos 4x 3. y = 3x2 + sin 5x – 4 cos 2x Jawab : y = 2 sin 3x  y’ = 6 cos 3x y = 3 cos 4x  y’ = -12 sin 4x y = 3x2 + sin 5x – 4 cos 2x y’ = 6x + 5 cos 5x + 8 cos 2x HOME

Fungsi pembagian, contoh : 1. 5x3 – 3x + 5 2. sin 2x x + 2 cos 3x Fungsi perkalian, contoh : 1. x sin 2x 2. (2x+3)3(x – 3)2 3. (2x – 1) cos 3x 4. cos 2x sin 5x HOME

Turunan fungsi perkalian : y = u(x) . v(x)  y’ = u’.v +u.v’ Contoh : Tentukan turunan berikut : 1. y = 2x sin 3x y’=(2)sin 3x + 2x.(3 cos 3x) = 2 sin 3x + 6x cos 3x 2. y = 3x2 cos 2x y’ = (6x) cos 2x + 3x2(-2 sin 2x) = 6x cos 2x – 6x2 sin 2x RUMUS DASAR HOME

3. y = (2x2 – 3x +2) (3x2 + 2x – 5) y’ = (4x – 3)(3x2+2x – 5) HOME

Tentukan turunan soal berikut : y = sin 2x cos 3x y = 3 sin 3x sin 5x Latihan : Tentukan turunan soal berikut : y = sin 2x cos 3x y = 3 sin 3x sin 5x y = (3x – 2) sin (2x – 4) y = (4x2 + 3x) cos ( 5 – 6x) HOME

Tentukan turunan soal berikut : y = sin 2x cos 3x y = 3 sin 3x sin 5x Latihan : Tentukan turunan soal berikut : y = sin 2x cos 3x y = 3 sin 3x sin 5x y = (3x – 2) sin (2x – 4) y = (4x2 + 3x) cos ( 5 – 6x) Jawab : y’ = 2 cos2x cos3x + sin 2x (-3 sin 3x) HOME

y’ = 2 cos2x cos3x + sin 2x (-3 sin 3x) Jawab : 1. y = sin 2x cos 3x y’ = 2 cos2x cos3x + sin 2x (-3 sin 3x) y’ = 2 cos 2x cos 3x + sin 2x (-3 sin 3x) = 2 cos 2x cos 3x – 3 sin 2x sin 3 2. y = 3 sin 3x sin 5x y’ = 9 cos 3x sin 5x +15 sin 3x cos 5x 3. y = (3x – 2) sin (2x – 4) y’ = 3 sin (2x – 4) + (6x – 4) cos (2x – 4) HOME

4. y = (4x2 + 3x) cos ( 5 – 6x) y’ = (8x +3) cos (5 – 6x) - (24x2 + 18x) sin (5 – 6x) HOME

Turunan fungsi pembagian : Contoh : Tentukan turunan dari : y = tg x 4. y = 3x - 4 y = tg ax sin 2x 3. y = 3x – 2 5. y = cos 3x 3 – x cos 2x RUMUS DASAR HOME

HOME

HOME

HOME

HOME

HOME

Turunan fungsi komposisi : Dasar : y = (3x – 5)5 dapat diubah : y = u5 dimana u = 3x – 5 Sehingga : dy = 5u4 dan du = 3 du dx 2. y = sin3(2x+3) dapat diubah : y = u3 dimana u = sin (2x+3) sehingga : dy = 3u2 dan du = 2 cos (2x+3) du dx HOME

HOME

HOME

y = f(u) , u=f(g) dan g = f(x), maka : dy = dy . du . dg dx du dg dx Konsep : y = f(u) , u=f(g) dan g = f(x), maka : dy = dy . du . dg dx du dg dx Contoh : Y= (2x + 7)6 = u6 , u = 2x+7 y’= (6u5)(2) = 12(2x+7)5 2. Y=sin5(3x-) = u5 , u=sin(3x-) y’=(5u4)[ 3 cos(3x-)] = 15 sin4(3x-) cos(3x-) HOME

HOME

Jawab: HOME

HOME

Jawab: dimana u = 2x - 4 HOME

Soal campuran : HOME

HOME

TAFSIRAN GEOMETRI DARI TURUNAN HOME

dimana m = gradien dan gambar : Dari pengertian : dimana m = gradien dan gambar : Y=f(x) y2 y y1 x  x1 x2 X HOME

Maka dapat disimpulkan m suatu gradien 2. Jika terdapat persamaan kurva y = f(x) maka garis singgung kurva pada titik singgung (x1, y1) adalah y = mx + (y1 – mx1) dimana m = f’(x) HOME

3. Beberapa keadaan garis : a. Jika gradiennya > 0, maka keadaan garis naik. b. Jika gradiennya < 0, maka keadaan garis turun. c. Jika gradiennya = 0, maka keadaan garis mendatar. HOME

4. Hubungan kurva dengan garis singgung kurva : 1. Jika garis singgung kurva bergradien > 0, kurva naik. 2. Jika garis singgung kurva bergradien < 0, kurva turun. 3. Jika garis singgung kurva bergradien = 0, kurva pada titik singgungnya mencapai stasioner ( tidak naik dan tidak turun / mendatar ). HOME

5. Beberapa keadaan di sekitar titik stasioner pada kurva : 1. f’(x1) + Keadaan / \ Bentuk gambarnya Berarti titik stasionernya maksimum di (x1, f(x1)), maka Nilai maksimum fungsi adalah ymaks= f(x1) HOME

Berarti titik stasioner minimum di titik (x2, f(x2)). 2. f‘(x2) + Keadaan \ / Bentuk gambarnya Berarti titik stasioner minimum di titik (x2, f(x2)). Maka nilai minimum fungsi adalah : ymin = f(x2) HOME

berarti titik stasioner merupakan titik belok di (x3, f(x3)) 3. f‘(x3) + Keadaan / Bentuk gambarnya berarti titik stasioner merupakan titik belok di (x3, f(x3)) HOME

berarti titik stasioner merupakan titik belok di titik (x4, f(x4)) 4. f‘(x2) Keadaan \ Bentuk gambarnya berarti titik stasioner merupakan titik belok di titik (x4, f(x4)) HOME

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva berikut : Contoh : Tentukan persamaan garis singgung pada kurva berikut : y = 3x2 – 4x + 5 pada (1, 4) Jawab : m = y’ = 6x – 4 x = 1  m = 6(1) – 4 = 2 Pers. garis singgung : y = mx + c  c = y1 – mx1 y = 2x + (4 – 2.1) = 2x – 2 HOME

2. y = x3 – 3x2 + 6 pada (2, 2) Jawab : m = 3x2 – 6x x = 2  m = 3(2)2 – 6(2) = 0 Pers. garis singgung : y = mx + c  c = y1 – mx1 y = 0.x + (2 – 0.2) y = 2 HOME

a = -1  titik singgung (-1, 3) 3. y = x3+3x2+x+2 pada (a, 3) sejajar garis y = -2x – 5 Jawab : y = x3+3x2+x+2  m1 = 3x2+6x+1 y = -2x – 5  m2 = -2  m1= m2= -2 x = a  m1 = 1 3a2+6a+1= -2 3a2+6a+3=0 (3a +3)(a+1)=0 a = -1  titik singgung (-1, 3) HOME

Gambarlah persamaan kurva berikut ini : 4. y = x3 - 6x2 + 9x – 1 Jawab : m = y’= 3x2 – 12 x + 9 = 0 x2 – 4x + 3 = 0 (x – 1)(x – 3) = 0 x1=1, x2 = 3 HOME

Jawab : m = y’= 3x2 – 12 x + 9 = 0 x2 – 4x + 3 = 0 (x – 1)(x – 3) = 0 Titik stasioner min. Titik stasioner maks. HOME

Cobalah gambar yang sebenarnya dari soal di atas! y = x3 - 6x2 + 9x – 1 3 3 x 1 -1 TERAPAN HOME

ISTIRAHAT DULU YA HOME

HOME

Berapakah luas maksimum daerah yang diarsir ? Ilustrasi menentukan luas maksimum suatu daerah Y Berapakah luas maksimum daerah yang diarsir ? 3 Jawab : Luas ? (x, y) Luas ? y X 6 x = 6 – 2y HOME

Luas dalam fungsi y = L(y) = x.y = (6 – 2y)y = 6y – 2y2 Syarat ekstrim : f’(y) = 0 6 – 4y = 0 y = 3/2 y = 3/2  L(y) = (6 – 2y)y = [6 – 2(3/2)] (3/2) = 3(3/2) = 9/2 Jadi luas maksimum = 9/2 satuan luas HOME

Kecepatan dan percepatan: Untuk fungsi yang menyatakan sebagai jarak umumnya disimbolkan sebagai s(t), s satuan jarak dan t satuan waktu maka: Kecepatan = v(t) = s’(t) Percepatan = a(t) = v’(t) HOME

Kecepatan dan percepatan: Terdapat lintasan bola yang sedang menggelinding dengan persamaan lintasannya berbentuk h(t) = 3t2 – 12t + 10 dengan h ketinggian bola dalam meter dan t dalam detik. Berapakah ketinggian bola pada saat 2 detik? Berapakah kecepatan bola pada saat 3 detik? Berapakah percepatan bola pada saat 5 detik? Kapankah ketinggiannya mencapai minimum? Jawab : h(2) = 3(2)2 – 12(2) + 10 = - 2 meter V(t) = h’(t) = 6t – 12 = 6(3) – 12 = 6 m/det a(t) = v’(t) = 3 m/det2 Syarat ekstrim: h’(t) = 0 6t – 12 = 0  t = 2 detik Jadi ketinggian minimum tercapai pada saat t = 2 detik. HOME

TERIMA KASIH HOME