Bab 7 Limit Fungsi 7 April 2017

Peta Konsep 7 April 2017 Limit Fungsi membahas Sifat-Sifat Limit Fungsi Aljabar Trigonometri Limit Konsep Turunan Terdiri atas x → a x → Substitusi Penyederhanaan Dengan Rumus Memerhatikan Koefisien Pangkat Tertinggi (untuk Bentuk Pecahan) Dengan Rumus Substitusi, asalkanhasil tidak 0 Pemfaktoran Perkalian Sekawan 7 April 2017

Prasyarat 1. Sederhanakan bentuk . 2. Rasionalkan penyebut bentuk . 3. Diketahui fungsi f(x) = x2 – 4 dan a. Tentukan nilai fungsi f(x) dan g(x) untuk x = –1; –0,5; –0,05; – 0,001; – 0,0001. b. Tentukan nilai fungsi f(x) dan g(x) untuk x = 5; 1; 0,5; 0,05; 0,001; 0,0001. c. Untuk x yang makin mendekati nol dari hasil a, menuju nilai berapakah f(x) dan g(x)? d. Untuk x yang makin mendekati nol dari hasil b, menuju nilai berapakah f(x) dan g(x)? 7 April 2017

A. Definisi Limit Fungsi Aljabar .Misalkan f(x) = 10x, dengan x bilangan bilangan real. Untuk x → 2, artinya nilai x ≠ 2, tetapi dapat diambil nilai-nilai di sekitar 2. Misalnya, 1,91; 1,95; 1,99; 2,01; 2,05; dan 2,09. Adapun nilainya dapat ditampilkan pada tabel berikut. Dari tabel di atas tampak bahwa untuk x → 2, nilai 10x →20. x 1,91 1,95 1,99 2,01 2,05 2,09 f(x) 19,1 19,5 19,9 20,1 20,5 20,9 7 April 2017

Secara intuitif, limit fungsi dapat diartikan sebagai berikut Secara intuitif, limit fungsi dapat diartikan sebagai berikut. Misalkan f suatu fungsi dalam variabel x dan L adalah bilangan real. diartikan untuk x mendekati a (ingat: x ≠ a), nilai f(x) mendekati L. 7 April 2017

Jika dan maka x → a- maksudnya x mendekati dari kiri (limit kiri) x → a+ maksudnya x mendekati dari kanan (limit kanan) 7 April 2017

Apakah limit fungsi berikut mempunyai nilai? Contoh: Apakah limit fungsi berikut mempunyai nilai? Jawab: Misalkan x → 2- (nilai-nilai x < 2) Tampak bahwa untuk x → 2-, nilai f(x) makin mendekati 7. Artinya, x 1,90 1,95 1,96 1,991 1,995 1,999 f(x) 6,80 6,90 6,92 6,98 6,99 6,998 7 April 2017

Misalkan x → 2+ (nilai-nilai x > 2) Tampak bahwa untuk x → 2+, nilai f(x) = 2x + 3 → 7. Jadi, Tampak bahwa untuk x → 2+, nilai f(x) makin mendekati 7. Artinya, x 2,10 2,09 2,05 2,01 2,001 f(x) 7,20 7,18 7,10 7,02 7,002 7 April 2017

Karena maka 7 April 2017

B. Menentukan Nilai Limit Fungsi Aljabar Perhatikan fungsi . Fungsi ini tidak mempunyai nilai di x = 1 (mengapa?). Apakah fungsi ini juga tidak memiliki limit di x mendekati 1? Misalkan dan g(x) = x + 1. Fungsi tidak terdefinisi di x = 1. Dengan demikian, kita tidak memperhatikan nilai x = 1. Sekarang, bandingkan nilai limit fungsi g(x) = x + 1 pada x = 1. 7 April 2017

Keduanya dapat kalian perhatikan pada grafik-grafik berikut. 7 April 2017

a. Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Substitusi 1. Menentukan Nilai Limit Fungsi untuk x → a Dapat ditentukan dengan substitusi, pemfaktoran, dan mengalikan faktor sekawannya. a. Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Substitusi Misalkan fungsi f terdefinisi di setiap nilai x bilangan real, nilai limit fungsinya sama dengan nilai fungsinya. Sebagai contoh karena fungsi f(x) = 2x – 7 terdefinisi untuk setiap nilai x maka nilai limit dapat ditentukan dengan substitusi. 7 April 2017

Penting untuk diingat! 1. Jika dan maka 2. Jika dan maka 7 April 2017

b. Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Pemfaktoran Misalkan fungsi Untuk mempermudah perhitungan dengan cara pemfaktor-an, kalian ingat kembali bentuk faktorisasi aljabar berikut. 1) x2 – y2 = (x – y)(x + y) 2) x2 – 2xy + y2 = (x – y)2 3) x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 4) x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2) 5) x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) 7 April 2017

Contoh: Tentukan nilai . Jawab: . 7 April 2017

c. Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Mengalikan Faktor Sekawan 1) (x – a) faktor sekawan dari (x + a) dan sebaliknya. 2) faktor sekawan dari dan sebaliknya. 3) faktor sekawan dari dan sebaliknya. 4) faktor sekawan dari dan sebaliknya. 5) sekawan dan dan sebaliknya. Ingat: (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3. 7 April 2017

Contoh: Tentukan nilai Jawab: 7 April 2017

2. Menentukan Limit Fungsi di Titik Tak Berhingga (Pengayaan) Pada pembahasan kali ini, kita akan mempelajari bentuk limit yang apabila dikerjakan dengan substitusi, diperoleh , yaitu . Misalkan pangkat tertinggi dari variabel adalah f(x) dan g(x) adalah m maka variabel berpangkat tertinggi adalah xm. Nilai limitnya dapat ditentukan sebagai berikut. 7 April 2017

Contoh: Tentukan nilai-nilai limit fungsi Jawab: 7 April 2017

Dengan demikian, kita dapat menentukan nilai limit berikut Dengan demikian, kita dapat menentukan nilai limit berikut. Untuk f(x) = axm + bxm-1 + … + a0 dan g(x) = pxn + qxn-1 + … + b0, berlaku untuk m = n untuk m > n dan a > 0 untuk m > n dan a < 0 untuk m < n 7 April 2017

Contoh: Tentukan nilai Jawab: f(x) = x2 – 2x + 1 dan g(x) = x2 + 1 Koefisien tertinggi f(x) dan g(x) sama, yaitu 1. Selain bentuk limit tak berhingga di atas, masih ada bentuk limit lain, yaitu . 7 April 2017

Dari bentuk terakhir diperoleh a = 1, b = -4, dan p = -5. Contoh: Tentukan . Jawab: Dari bentuk terakhir diperoleh a = 1, b = -4, dan p = -5. Dengan menggunakan rumus, diperoleh 7 April 2017

C. Limit Fungsi Trigonometri 1. Menentukan Limit Fungsi Trigonometri secara Intuitif Perhatikan gambar! Jika sudut x makin lama makin kecil (mendekati 0), panjang a juga makin mengecil (mendekati 0) sehingga nilai limit sin x, untuk x mendekati 0 adalah 0. (Ingat, nilai sin x adalah panjang sisi di depan sudut x dibagi dengan sisi miringnya). Jadi, diperoleh dan 7 April 2017

2. Menentukan Nilai Limit Fungsi Trigonometri dengan Substitusi Contoh: Tentukan nilai . Jawab: 7 April 2017

3. Menentukan Nilai Limit Fungsi Trigonometri dengan Cara Menguraikan atau Menyederhanakan Contoh: Tentukan nilai . Jawab Bentuk ini jika kalian substitusikan secara langsung, diperoleh . Oleh karena itu, bentuk ini harus disederhanakan terlebih dahulu. 7 April 2017

7 April 2017

4. Menentukan Nilai Limit Fungsi Trigonometri dengan Rumus Rumus limit fungsi trigonometri adalah sebagai berikut. 7 April 2017

Selain keempat rumus di atas, rumus-rumus berikut juga berlaku untuk limit fungsi trigonometri. a. b. c. d. e. f. g. 7 April 2017

Contoh: Tentukan nilai dari . Jawab: 7 April 2017

D. Sifat-Sifat Limit dan Penggunaannya Misalkan n bilangan bulat positif, f dan g fungsi-fungsi yang mempunyai limit di titik a, dan c suatu konstanta. 7 April 2017

E. Limit Fungsi yang Mengarah ke Konsep Turunan Misalkan titik P(x1, y1) dan Q(x2, y2) digambarkan pada gambar di atas berpotongan dengan fungsi f(x) di titik P dan Q. Jika gradien garis g adalah m, nilai m adalah 7 April 2017

Sekarang perhatikan Gambar (b) Sekarang perhatikan Gambar (b). Jika titik P sebagai titik tetap dan titik potong Q bergerak mendekati P maka (Δx = x2 – x1 → 0 dibaca: delta x mendekati nol). Artinya, garis g berubah menjadi garis singgung kurva y = f(x) di titik P sehingga nilai m menjadi 7 April 2017

Bentuk limit semacam ini akan dikembangkan ke arah konsep turunan (diferensial). Secara umum, gradien (kemiringan suatu garis) menyinggung kurva f(x) dapat ditentukan dengan limit berikut. Δx biasanya juga dituliskan dengan h. Materi ini akan dipelajari di Bab 8. 7 April 2017