BILANGAN BILANGAN ASLI BIL REAL BIL. RASIONAL BIL. CACAH BIL. BULAT BIL. KOMPLEK BIL REAL BIL. RASIONAL BIL. BULAT BIL. CACAH BILANGAN ASLI

Sifat-sifat Bilangan asli a. Sifat assosiatif(pengelompokkan) : (m + n) + p = m + (n + p) b. Sifat Komutatif : m + n = n + m c. Sifat Kanselasi penjumlahan: Jika m + p = n + p, maka m = n d. Adanya Unsur Identitas terhadap perkalian, yaitu 1 .

e. Sifat Assosiatif perkalian : (m. n). p = m. (n. p) f e. Sifat Assosiatif perkalian : (m.n).p = m.(n.p) f. Sifat Kanselasi perkalian : Jika m.p = n.p maka m = p g. Sifat Distributif Perkalian terhadap Penjumlahan : p. (m + n) = pm + pn

INDUKSI MATEMATIKA Prinsip I Misalkan {P(n) : n Є n} merupakan kumpulan pernyataan dengan setiap bilangan asli mempunyai satu pernyataan . Jika P(n) benar dan Jika P(k) benar mengakibatkan bahwa P(k+1) juga benar, maka P(n) benar

Contoh : Dengan menggunakan Induksi Matematika buktikan bahwa :

Bukti : 1. Kita Uji untuk nilai n = 1 Sehingga Pernyataan bernilai benar untuk n = 1 2. Kita Asumsikan bahwa pernyataan benar untuk setiap n = k Shg :

Kita buktikan bahwa pernyataan akan bernilai benar untuk n = Shg diperoleh :

Dari Persamaan awal Kita tambahkan k + 1 pada ruas kiri dan kanan Shg diperoleh : Sesuai dengan yang diperoleh pada pers. 2

Buktikan bahwa : 1. 2.

BILANGAN BULAT Aksioma Bil. Bulat Karena bilangan asli juga merupakan bilangan bulat, maka semua aksioma pada bilangan asli juga berlaku pada bilangan bulat, tetapi ada beberapa aksioma yang berlaku hanya untuk bilangan bulat saja antara lain : Ada invers pada penjumlahan : Jika a + b = 0, maka b = a-1, dimana b = -a

Jika a adalah anggota bilangan bulat tak nol maka, a-1 = -a Beberapa aturan operasi penjumlahan pada bilangan bulat a + (-b) = a – b ( Invers dari –b adalah b) a – (-b) = a + b Contoh : 4 + (-2) = 4 – 2 = 2 5 – (-9) = 5 + 9 Hasil kali Jika a,b adalah bilangan bulat maka a.b juga bilangan bulat.

Keterbagian Definisi : Suatu bilangan bulat b dikatakan membagi c jika terdapat bilangan bulat lain k sehingga c = b.k, hal ini ditulis dalam bentuk a|b Sifat –sifat pada keterbagian : Sifat reflektif Untuk setiap a bilangan bulat berlaku a|a

Untuk setiap bilangan bulat a, b, c berlaku Jika a|b dan b|c, maka a|c Sifat Transitif Untuk setiap bilangan bulat a, b, c berlaku Jika a|b dan b|c, maka a|c Sifat Linear Jika a|b dan a|c maka a|(xb + yc) untuk setiap a, b, c, x, ybilangan bulat Sifat Perkalian Jika a|b maka ca|cb Sifat Pencoretan Jika ca|cb dan c ≠ 0, maka a|b Bukti Bukti

Untuk bilangan 1 berlaku 1|a, untuk setiap bilangan bulat a Untuk setiap bilangan 0 berlaku a|0

Jika a|b dan b|c, maka a|c a|b berarti ada bilangan bulat k shg b = a.k b|c berarti ada bilangan bulat p shg c = b.p Maka c = a.k.p, sedangkaan k.p adalah sebuah bilangan bulat, beri simbol q = k.p Shg c = a.q Terbukti a|c kembali

Terbukti bahwa a|(bx + cy) Jika a|b dan a|c maka a|(xb + yc) a|b maka b = a.k Berdasarkan sifat perkalian : bx = a.k.x a|c maka c = a.l Berdasarkan sifat perkalian : cy = a.k.y Shg : bx = a.k.x cy = a.l.y + bx + cy = akx + aky bx + cy = a.(kx + ly) Terbukti bahwa a|(bx + cy) kembali