media pembelajaran berbasis ict media pembelajaran berbasis ict SMA NEGERI 1 PAMULANG

media pembelajaran berbasis ict media pembelajaran berbasis ict limit fungsi aljabar kelas XI semester 2 media pembelajaran berbasis ict media pembelajaran berbasis ict MATEMATIKA SMA SMA NEGERI 1 PAMULANG Sudarsono

asep sudarsono - bahan ajar matematika sma standar kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah kompetensi dasar Menjelaskan secara Intuitif arti limit fungsi di satu titik dan di takhingga asep sudarsono - bahan ajar matematika sma

asep sudarsono - bahan ajar matematika sma materi pokok Limit Fungsi imdikator pencapaian Menjelaskan arti limit fungsi di satu titik melalui nilai disekitar titik Menjelaskan arti limit fungsi di titik tak berhingga Menghitung limit aljabar dan trigonemtri di suatu titik asep sudarsono - bahan ajar matematika sma asep sudarsono - bahan ajar matematika sma

pengertian limit fungsi Dasar pemikiran limit atau sering disebut nilai batas adalah pendekatan terhadap suatu nilai atau harga tertentu. Jadi harga batas (limit) bukanlah harga yang sebenarnya melainkan harga yang mendekati. Bentuk umum limit sebuah fungsi f(x) ) x ( f lim a ® artinya menghitung nilai fungsi f(x) pada nilai x mendekati nilai a. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.

contoh soal Î 1 x ) ( f - = ¹ 1 x lim - 1 x lim - Diketahui : dengan daerah asal Df = { x| x R dan } Carilah nilai limit fungsi f(x) pada titik x mendekati 1 1 x ) ( f 2 - = Î ¹ Jawab : Penulisan limit secara matematika soal di atas sebagai berikut : 1 x lim 2 - ® Nilai-nilai fungsi terletak di sekitar x = 1, dapat dilihat pada tabel berikut : 1 x lim 2 - ®

1 x ) ( f - = 1 x ) ( f - = 1 x ) ( f - = 1 x ) ( f - = ® ¹ )( + 0,7 0,8 0,9 0,99 0,999   1,001 1,01 1,1 1,2 1,3 1,7 1,8 1,9 1,99 1,999 . . . 2,001 2,01 2,1 2,2 2,3 Berdasarkan tabel di atas, mendekati nilai 2 ketika x mendekati 1 baik dari sisi kiri maupun dari sisi kanan 1 x ) ( f 2 - = Langkah – langkah yang perlu diperhatikan tentang yaitu : 1 x ) ( f 2 - = untuk x = 1 (bentuk tak tentu dan tidak didefenisikan) 1 x ) ( f 2 - = ® Untuk dapat disederhanakan dengan pembilang diuraikan menjadi faktor-faktornya. 1 x ) ( f 2 - = ® ¹ )( +

1 x ) ( f - = 1 x ) ( f - = 1 x ) ( f - = 1 x ) ( f - = ® ¹ )( + 0,7 0,8 0,9 0,99 0,999   1,001 1,01 1,1 1,2 1,3 1,7 1,8 1,9 1,99 1,999 . . . 2,001 2,01 2,1 2,2 2,3 Berdasarkan tabel di atas, mendekati nilai 2 ketika x mendekati 1 baik dari sisi kiri maupun dari sisi kanan 1 x ) ( f 2 - = Langkah – langkah yang perlu diperhatikan tentang yaitu : 1 x ) ( f 2 - = untuk x = 1 (bentuk tak tentu dan tidak didefenisikan) 1 x ) ( f 2 - = ® Untuk dapat disederhanakan dengan pembilang diuraikan menjadi faktor-faktornya. 1 x ) ( f 2 - = ® ¹ )( +

1 x ) ( f - = 1 x ) ( f - = 1 x ) ( f - = 1 x ) ( f - = ® ¹ )( + 0,7 0,8 0,9 0,99 0,999   1,001 1,01 1,1 1,2 1,3 1,7 1,8 1,9 1,99 1,999 . . . 2,001 2,01 2,1 2,2 2,3 Berdasarkan tabel di atas, mendekati nilai 2 ketika x mendekati 1 baik dari sisi kiri maupun dari sisi kanan 1 x ) ( f 2 - = Langkah – langkah yang perlu diperhatikan tentang yaitu : 1 x ) ( f 2 - = untuk x = 1 (bentuk tak tentu dan tidak didefenisikan) 1 x ) ( f 2 - = ® Untuk dapat disederhanakan dengan pembilang diuraikan menjadi faktor-faktornya. 1 x ) ( f 2 - = ® ¹ )( +

1 x ) ( f - = 1 x ) ( f - = 1 x ) ( f - = 1 x ) ( f - = ® ¹ )( + 0,7 0,8 0,9 0,99 0,999   1,001 1,01 1,1 1,2 1,3 1,7 1,8 1,9 1,99 1,999 . . . 2,001 2,01 2,1 2,2 2,3 Berdasarkan tabel di atas, mendekati nilai 2 ketika x mendekati 1 baik dari sisi kiri maupun dari sisi kanan 1 x ) ( f 2 - = Langkah – langkah yang perlu diperhatikan tentang yaitu : 1 x ) ( f 2 - = untuk x = 1 (bentuk tak tentu dan tidak didefenisikan) 1 x ) ( f 2 - = ® Untuk dapat disederhanakan dengan pembilang diuraikan menjadi faktor-faktornya. 1 x ) ( f 2 - = ® ¹ )( +

1 x ) ( f - = 1 x ) ( f - = 1 x ) ( f - = 1 x ) ( f - = ® ¹ )( + 0,7 0,8 0,9 0,99 0,999   1,001 1,01 1,1 1,2 1,3 1,7 1,8 1,9 1,99 1,999 . . . 2,001 2,01 2,1 2,2 2,3 Berdasarkan tabel di atas, mendekati nilai 2 ketika x mendekati 1 baik dari sisi kiri maupun dari sisi kanan 1 x ) ( f 2 - = Langkah – langkah yang perlu diperhatikan tentang yaitu : 1 x ) ( f 2 - = untuk x = 1 (bentuk tak tentu dan tidak didefenisikan) 1 x ) ( f 2 - = ® Untuk dapat disederhanakan dengan pembilang diuraikan menjadi faktor-faktornya. 1 x ) ( f 2 - = ® ¹ )( +

Pada grafik di bawah ini dapat dilihat bahwa nilai fungsi pada x=1 tidak terdefenisi karena pembagian dengan 0. Tetapi limit (dibaca x mendekati 1) menghasilkan 2 1 x ® Pada x = 1 fungsi f(x) tidak terdefenisi karena pembagian dengan 0 atau penyebutnya bernilai 0 Tetapi limit menghasilkan 2 1 x ®

Pada grafik di bawah ini dapat dilihat bahwa nilai fungsi pada x=1 tidak terdefenisi karena pembagian dengan 0. Tetapi limit (dibaca x mendekati 1) menghasilkan 2 1 x ® Pada x = 1 fungsi f(x) tidak terdefenisi karena pembagian dengan 0 atau penyebutnya bernilai 0 Tetapi limit menghasilkan 2 1 x ®

Pada grafik di bawah ini dapat dilihat bahwa nilai fungsi pada x=1 tidak terdefenisi karena pembagian dengan 0. Tetapi limit (dibaca x mendekati 1) menghasilkan 2 1 x ® Pada x = 1 fungsi f(x) tidak terdefenisi karena pembagian dengan 0 atau penyebutnya bernilai 0 Tetapi limit menghasilkan 2 1 x ®

limit fungsi aljabar ) x ( f lim 13 ) 1 x 3 ( lim , Jadi = + ) 1 x 3 ( Untuk semua fungsi limit tahap pertama yang harus dilakukan adalah : metode substitusi ) x ( f lim a ® Contoh : Tentukan nilai dari ) 1 x 3 ( lim 2 + ® Jawab : 13 1 ) 2 ( 3 x lim = + ® 13 ) 1 x 3 ( lim , Jadi 2 = + ®

Setelah dilakukan substitusi ternyata bernilai Maka, Lakukan : Metode pemaktoran Atau 3. Merasionalkan bentuk akar

Jika nilai yang didapat ternyata bernilai ¥ 4. Bagi semua fungsi dengan variabel yang pangkatnya tertinggi Kita lihat contoh

= ) 1 x ( 10 )( lim - + = ) 10 x ( lim + = ) 10 1 ( + = 11 = 11 1 x 10 2. Metode Pemfaktoran Contoh : = 1 x 10 9 lim 2 - + ® Jawab : 1 x 10 9 lim 2 - + ® ) 1 x ( 10 )( lim - + = ® ) 10 x ( lim 1 + = ® ) 10 1 ( + = 11 = 11 1 x 10 9 lim , Jadi 2 = - + ®

3. Metode merasionalkan bentuk akar dengan cara mengalikan akar dengan bentuk sekawannya Contoh : = 2 x 1 4 3 lim - + ® Jawab : 2 x 1 4 3 lim - + ® = 1 x 4 3 2 lim + - ® ) 1 x 4 3 )( 2 ( lim + - = ® ) 1 x 4 3 )( 2 ( 9 lim + - = ® ) 1 x 4 3 )( 2 ( 8 lim + - = ® - ) 1 x 4 3 )( 2 ( lim + = ®

) 1 x 4 3 ) ( 2 ( lim + - = ) 1 x 4 3 ( lim + - = 1 ) 2 ( 4 3 + - = 3 ® ) 1 x 4 3 ( lim 2 + - = ® 1 ) 2 ( 4 3 + - = 3 4 + - = 6 4 - = - 3 2 = 3 2 x 1 4 lim , Jadi - = + ®

4. Metode membagikan dengan pangkat tertinggi, berguna untuk limit mendekati tak terhingga Contoh : ¥ = 3 x 6 2 1 lim - + ¥ ® Jawab : Jika digunakan metode substitusi langsung akan diperoleh (bentuk tak tentu). Oleh karena itu bentuk dimodifikasi Terlebih dahulu dengan cara membagi dengan derajat pangkat tertinggi, dalam hal ini berderajar 2, maka diperoleh : 3 x 6 2 1 - + ¥

3 x 6 2 1 lim - + lim = lim - + = 2 1 - + = 2 1 3 x 6 lim , Jadi = - + ¥ ® = 3 x 6 2 1 lim - + ¥ ® 2 x 3 6 1 lim - + = ¥ ® 2 1 - + = 2 1 3 x 6 lim , Jadi = - + ¥ ®

teorema limit x ) ( f lim = k lim = Terdapat 7 (tujuh) teorema atau sifat-sifat limit fungsi aljabar, yaitu : Teorema 1 : Jika f(x) = k, maka , untuk k dan a bilangan real Dapat dikatakan bahwa nilai limit suatu fungsi konstanta sama dengan konstanta itu k lim a x = ® Teorema 2 : Jika f(x) = k, maka , untuk a bilangan real Dapat dikatakan bahwa nilai limit suatu fungsi identitas sama dengan nilai pendekatan peubahnya x ) ( f lim a = ®

{ } ) x ( h lim g ± = + ) x ( g lim . f )} ). = ) x ( g lim f = Teorema 3 : Jika f(x) = g(x) + h(x), maka Limit jumlah atau selisih fungsi-fungsi sama dengan jumlah atau selisih masing-masing limit fungsi ) x ( h lim g a ® ± = + Teorema 4 : Limit hasil kali fungsi-fungsi sama dengan hasil kali masing-masing limit fungsi { } ) x ( g lim . f )} ). a ® = Teorema 5 : Limit hasil kali fungsi-fungsi sama dengan hasil kali masing-masing limit fungsi ) x ( g lim f a ® =

Teorema 6 : Limit hasil bagi fungsi-fungsi sama dengan hasil bagi masing-masing limitnya dengan penyebut limit tidak sama dengan nol ) x ( g lim f a ® = Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh penggunaan teorema-teorema tersebut dalam contoh soal.

contoh soal 1 2 lim x 4 + = 2 lim x 4 + = 2 ) 4 ( + = 10 = 2 x 4 lim , Hitunglah nilai limit berikut : ) x ( h lim g a ® ± = + 3 Teorema 2 x 4 lim + ® Jawab : 2 x 4 lim + ® 2 lim x 4 ® + = 2 lim x 4 ® + = 2 ) 4 ( + = 10 = 2 x 4 lim , Jadi + ®

contoh soal 1 2 lim x 4 + = 2 lim x 4 + = 2 ) 4 ( + = 10 = 2 x 4 lim , Hitunglah nilai limit berikut : 4 Teorema { } ) x ( g lim f ). a ® = 2 x 4 lim a + ® Jawab : 2 x 4 lim a + ® 2 lim x 4 ® + = 2 lim x 4 ® + = 2 ) 4 ( + = 10 = 2 x 4 lim , Jadi + ®

contoh soal 1 2 lim x 4 + = 2 lim x 4 + = 2 ) 4 ( + = 10 = 2 x 4 lim , Hitunglah nilai limit berikut : 1 dan 2 Teorema k ) x ( f lim dan a = ® 2 x 4 lim a + ® Jawab : 2 x 4 lim a + ® 2 lim x 4 ® + = 2 lim x 4 ® + = 2 ) 4 ( + = 10 = 2 x 4 lim , Jadi + ®

Untuk latihan Lihat di LKS

Nara Sumber Hyromus Godang