Teori Permainan Teori Permainan [ game theory] banyak digunakan dalam analisis pemasaran atau perencanaan strategi perusahaan Konsep dasar teori permainan antara lain: Ada pemain dengan sejumlah strateginya Kemenangan bagi seorang pemain berarti kekalahan bagi pemain lainnya [ Zero-sum game] Adanya kelangkaan sumber daya [ scarcity] Pembacaan tabel permainan adalah dari baris ke kolom, nilai positif berarti kemenangan bagi pemain I, sekaligus kekalahan bagi pemain II. Sebaliknya, nilai negatif berarti kekalahan bagi pemain I, sekaligus kemenangan bagi pemain II. Dimungkinkan adanya prinsip dominasi Pemain I cenderung kepada strategi Maximin, sedangkan pemain II cenderung kepada strategi Minimax. Bila nilai Maximin=minimax, berarti ada sadle point [permainan sudah pasti mengarah pad salah satu pilihan strategi saja, tidak perlu ada perhitungan lanjut] Bila nilai maximin ≠ minimax, berarti ada mix strategi [ kedua pemain harus bertimbang dalam bentuk probabilitas untuk memainkan salah satu strateginya, harus dilakukkan perhitungan lanjut] By : Ary Prasetyo, ST

Pilih satu nilai yang terkecil Contoh : Game 2 x 2 Pemain I Pemain II Maximin 1 2 12 -8 -3 6 Minimax   Pilih satu nilai yang terkecil Dari nilai yang terkecil pilih Maximin [nilai terbesar] Pilih satu nilai yang terbesar Dari nilai yang terbesar pilih Minimax [nilai terkecil] Kedua pemain masing-masing mempunyai 2 strategi Pemain I cenderung akan memilih strategi 2 yang memberikan nilai maximin terbaik [ maksimasi dari perolehan terburuk] Pemain II cenderung memilih strategi 2 yang memberikan nulai minimax terbaik [minimasi dari kekalahan yang akan diterima] Mix strategi terjadi pada game ini sehingga harus dicari probabilitas pemilihan tipa strategi oleh kedua pemain Probabilitas pilihan strategi oleh pemain I dinyatakan dengan X1 dan X2 sedangkan untuk pemain II dinyatakan dengan Y1 dan Y2 By : Ary Prasetyo, ST

Untuk menentukan X1 dan X2 serta Y1 dan Y2 digunakan Formula sbb: Untuk menentukan Y1 dan Y2 digunakan formula sbb: Pemain I Pemain II Maximin 1 [Y1] 2 [Y2] 1 [X1] g[1,1] 12 g[1,2] -8 -8 2 [X2] g[2,1] -3 g[2,2] 6 -3 Minimax 12 6   Y2 = 1 –Y1 g[1,1] Y1 + g[1,2] Y2 = g[2,1] Y1 + g[2,2] Y2 12Y1 – 8 [1 – Y1] = - 3 Y1 + 6 [1 – Y1] 12Y1 – 8 + 8Y1 = - 3 Y1 + 6 – 6Y1] X2 = 1 – X1 20Y1 – 8 = - 9 Y1 + 6 29Y1 = 14 g[1,1] X1 + g[2,1] X2 = g[1,2] X1 + g[2,2] X2 Y1 = 14 / 29 12 X1 - 3[1 – X1] = -8 X1 + 6[1 – X1] Y2 = 1 - 14/ 29 12 X1 - 3 + 3 X1 = -8 X1 + 6 – 6 X1 = 15 / 29 15 X1 - 3 = -14 X1 + 6 Probabilitas bagi pemain II untuk menggunakan strategi 1 dan 2 berturut –turut Y1 = 14/29 dan Y2 = 15/29 29 X1 = 9 X1 = 9 / 29 X2 = 1 - 9 / 29 Probabilitas bagi pemain I untuk menggunakan strategi 1 dan 2 berturut –turut X1 = 9/29 dan X2 = 20/29 = 20 / 29 By : Ary Prasetyo, ST

Nilai Permainan [ game value] Dapat pula dihitung dengan: G* = 20Y1 – 8 = 20 [ 14/29] – 8 = 280/29 – 232/29 = 48/29 G* = 15X1 – 3 = 15 [ 9/29] – 3 = 135/29 – 87/29 = 48/29 Contoh : Game 2 x 4 dan ada dominasi Game tersebut adalah mix strategi [karena nilai maximin berbeda dengan minimax] Pada pembahasan kali ini semua strategi tetap dianalisis Pemain I punya 2 alternatif strategi yang harus dihadapkan pada keempat strategi pemain II Pemain I Pemain II Maximin 1 [Y1] 2 [Y2] 3 [Y3] 4 [Y4] 1 [X1] 12 -9 10 -6 2 [X2] -5 6 -8 3 Minimax   Bagaimana penyelesaiannya? By : Ary Prasetyo, ST

Ekspektasi Nilai Bagi Pemain I Hitunglah ekspektasi bagi pemain I, jika pemain II menggunakan keempat strategi Pemain I Pemain II Maximin 1 [Y1] 2 [Y2] 3 [Y3] 4 [Y4] 1 [X1] 12 -9 10 -6 2 [X2] -5 6 -8 3 Minimax   Strategi Pemain II Ekspektasi Nilai Bagi Pemain I 1 12X1 - 5X2 = 17X1 - 5 [1] 2 -9X1 + 6X2 = -15X1 + 6 [2] 3 10X1 - 8X2 = 18X1 - 8 [3] 4 -6X1 + 3X2= -9X1 + 3 [4] Gambar keempat garis pada grafik 2 dimensi untuk ekpektasi nilai bagi pemain I Tentukkan Probabilitas pemilihan Strategi bagi pemain I [kriterianya adalah Maximin] sbb: By : Ary Prasetyo, ST

Ekspektasi Nilai Bagi Pemain I Strategi Pemain II Ekspektasi Nilai Bagi Pemain I 1 12X1 - 5X2 = 17X1 - 5 [1] 2 -9X1 + 6X2 = -15X1 + 6 [2] 3 10X1 - 8X2 = 18X1 - 8 [3] 4 -6X1 + 3X2= -9X1 + 3 [4] [1] 17X1 - 5 X1= 0  -5 X1= 1  12 [2] -15X1 + 6 X1= 0  6 X1= 1  -9 [3] 18X1 - 8 X1= 0  -8 X1= 1  10 [4] -9X1 + 3 X1= 0  3 X1= 1  -6 X1=1 X1=0 1 4 2 3 6 12 10 -5 -8 -9 -6 Maximin Titik maximin ada pada perpotongan garis 3 dan 4 Garis 1 selalu ada diatas garis 3  dominasi startegi 3 atas startegi 1 Startegi perlawanan terbaik bagi pemain II terhadap pemain I adalah dengan menggunakan Strategi 3 atau 4 yang lain tidak perlu di perhatikan By : Ary Prasetyo, ST

Probabilitas pemilihan strategi bagi pemain I 18X1 – 8 = -9X1 + 3 = 16/27 Probabilitas pemilihan strategi bagi pemain II Pemain I Pemain II Maximin 1 [Y1] 2 [Y2] 3 [Y3] 4 [Y4] 1 [X1] 12 -9 10 -6 2 [X2] -5 6 -8 3 Minimax   10Y3 – 6 Y4 = 16Y3 - 6 -8Y3 + 3Y4 = -11Y3 + 3 16Y3 - 6 = -11Y3 + 3 27Y3 = 9 Y3 = 9/27 Y4 = 1 – 9/27 = 18/27 Nilai Permainan : G* = 18X1 – 8 = 18 [11/27] -8 = 198/27 – 216/27 = -18/27 Y1 =Y2 =0 Berarti Kemenangan untuk pemain II By : Ary Prasetyo, ST

Ekspektasi Nilai Bagi Pemain II Contoh : Game 4 x 2 dan ada dominasi Game tersebut adalah mix strategi [karena nilai maximin berbeda dengan minimax] Pada pembahasan kali ini semua strategi tetap dianalisis Pemain I punya 4 alternatif strategi yang harus dihadapkan pada kedua strategi pemain II Pemain I Pemain II Maximin 1 [Y1] 2 [Y2] 1 [X1] -8 6 2 [X2] 8 -3 3 [X3] 5 -5 4 [X4] 4 -2 Minimax   Bagaimana penyelesaiannya? Hitunglah ekspektasi bagi pemain II, jika pemain I menggunakan keempat strategi Gambar keempat garis pada grafik 2 dimensi untuk ekpektasi nilai bagi pemain II Tentukkan Probabilitas pemilihan Strategi bagi pemain II [kriterianya adalah Minimax] sbb: Strategi Pemain I Ekspektasi Nilai Bagi Pemain II 1 -8Y1 + 6Y2 = -14Y1 + 6 [1] 2 8Y1 – 3Y2 = 11Y1 – 3 [2] 3 5Y1 – 5Y2 = 10Y1 - 5 [3] 4 4Y1 – 2Y2 = 6Y1 - 2 [4] By : Ary Prasetyo, ST

Ekspektasi Nilai Bagi Pemain II Strategi Pemain I Ekspektasi Nilai Bagi Pemain II 1 -8Y1 – 6Y2 = -14Y1 + 6 [1] 2 8Y1 – 3Y2 = 11Y1 – 3 [2] 3 5Y1 – 5Y2 = 10Y1 - 5 [3] 4 4Y1 – 2Y2 = 6Y1 - 2 [4] [1] -14Y1 + 6 Y1= 0  6 Y1= 1  -8 [2] 11Y1 - 3 Y1= 0  -3 Y1= 1  8 [3] 10Y1 - 5 Y1= 0  -5 Y1= 1  5 [4] 6Y1 - 2 Y1= 0  -2 Y1= 1  4 1 3 6 -8 8 5 Y1=0 4 2 Y1=1 -5 -2 -3 Minimax Titik maximin ada pada perpotongan garis 1 dan 2 Garis 2 selalu ada diatas garis 3  dominasi startegi 2 atas startegi 3 Startegi perlawanan terbaik bagi pemain I terhadap pemain II adalah dengan menggunakan Strategi 1 atau 2 yang lain tidak perlu di perhatikan By : Ary Prasetyo, ST

Probabilitas pemilihan strategi bagi pemain II -14Y1 + 6 = 11Y1 - 3 = 16/25 Probabilitas pemilihan strategi bagi pemain I [antara strategi 1 dan 2] -16X1 + 8 = 9X1 – 3 25X1 = 11 X1 = 11/25 X2 = 1 – 11/25 = 14/25 X3 = X4 =0 Pemain I Pemain II Maximin 1 [Y1] 2 [Y2] 1 [X1] -8 6 2 [X2] 8 -3 3 [X3] 5 -5 4 [X4] 4 -2 Minimax   Nilai Permainan G* = 9X1 – 3 = 9 [11/25] - 3 = 24/25 Berarti Kemenangan untuk pemain I By : Ary Prasetyo, ST

Sekian dan Terimakasih By : Ary Prasetyo, ST