GUGUS BILANGAN NYATA -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 > + BB BC ≈ BA

> + -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 BB BC ≈ BA Gugus Bilangan Nyata -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 > + BB BC ≈ BA Gugus Bilangan Nyata  Bilangan Asli (BA) : A = {1, 2, 3, ……………….}  Bilangan Bulat (BB) : B = {…..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ……} Bilangan Cacah (BC) : C = {0, 1, 2, 3, ……………….} 16 7 = R Bilangan Rasional (BR) :

7 x = 16 R Adakah bilangan bulat R yang dikalikan 7 akan menghasilkan 16 ?. Nilai R merupakan bilangan pecahan. Untuk mendapatkan gugus tertutup (habis dibagi) maka : x y x x 1 atau ε x B ε y A R = {perpaduan bilangan bulat & bilangan pecahan}

Jadi gugus bilangan rasional terdiri dari : Semua bilangan bulat positif (bilangan asli) dan bilangan pecahan positif, Bilangan nol, Semua bilangan bulat negatif dan bilangan pecahan negatif. Pecahan dimaksud, bila dalam bentuk desimal memperlihatkan (ditemukan) pengulangan sampai pada angka desimal tertentu. 1 9 = 0,1.... 2 9 = 0,2.... 4 9 = 0,4.... 3 7 = 0,4285.... 7 11 = 0,63….. 16 7 = 2,285714.... 8 = 8,0…..

√x ∩ A C B R N π √3 √2 √5 Bilangan Irrasional : Bila dalam bentuk desimalnya (pecahan) tidak diperoleh pengulangan, maka dinyatakan sebagai bilangan irrasional = 3,14285714285714 π e = 2,71828 √3 = 1,73205080756888 √2 = 1,4142135623731 √x y dimana x tidak habis ditarik akar sesuai dengan nilai akarnya √5 = 2,23606797749979 Berarti Bilangan Nyata merupakan perpaduan Bilangan Rasional dan Bilangan Irrasional. Secara keseluruhannya dapat dinyatakan dengan notasi : ∩ A C B R N

ε ε N = { x ; -∞ < x < +∞} Gugus bilangan nyata N secara ringkas dinotasikan sebagai : N = { x ; -∞ < x < +∞} ε ε Bila a R dan b R, untuk a < b, maka diperoleh 4 anak-gugus dalam bentuk selang sbb :  { x ; a ≤ x ≤ b} ; selang tertutup ((a;b)) a b ((a;b)) Misal “nilai mata dadu bersisi enam” 1 6 ((1;6))

 { x ; a < x ≤ b} ; selang setengah terbuka, tertutup di kanan a b (a;b)) Misal “bilangan bulat negatif” -∞ -1 (-∞;-1))  { x ; a ≤ x < b} ; selang setengah terbuka, tertutup di kiri a b ((a;b) Misal a. “bilangan cacah” +∞ ((0;+∞)

Misal b. “bilangan asli” 1 +∞ ((1;+∞)  { x ; a < x < b} ; selang terbuka a b (a;b) Misal “bilangan nyata” -∞ +∞ (-∞;+∞)

Pengolahan + dan x pada gugus bilangan nyata tertutup akan membentuk kaidah-kaidah medan : K1. Kaidah komutasi atau pertukaran tempat pada penjumlahan Untuk setiap a dan b R, a + b = b + a ε K2. Kaidah komutasi pada penggandaan Untuk setiap a dan b R, ab = ba ε K3. Kaidah asosiasi atau penghimpunan pada penjumlahan Untuk setiap a, b dan c R, a + (b + c) = (a + b) + c ε K4. Kaidah asosiasi pada penggandaan Untuk setiap a, b dan c R, a (bc) = (ab) c ε

K5. Kaidah keidentikan untuk penjumlahan Untuk setiap a R, ada unsur keidentikan z untuk penjumlahan sehingga ε a + z = z + a = a z = 0 K6. Kaidah keidentikan untuk penggandaan Untuk setiap a R dan a ≠ 0, ada unsur keindentikan e untuk penggandaan sehingga ae = ea =a. ε Untuk bilangan nyata e (einheit) adalah bilangan 1 K7. Kaidah invers untuk penjumlahan ε Untuk setiap a R, ada unsur invers untuk penjumlahan –a sehingga a + (-a) = z = 0 Unsur invers untuk penjumlahan ini, yaitu –a disebut juga lawan unsur a

K8. Kaidah invers untuk penggandaan Untuk setiap a R dan a ≠ 0, ada unsur invers untuk penggandaan a-1, sehingga ε aa-1 = a-1a = e = 1 Unsur bilangan nyata a-1 lazim ditulis . 1 a Unsur invers untuk penggandaan ini disebut kebalikan a. K9. Kaidah penyebaran penggandaan melalui penjumlahan ε Untuk setiap a, b dan c R ;  a (b + c) = ab + ac ; sifat menyebar ke kiri  (b + c) a = ba + ca ; sifat menyebar ke kanan

Bila diperhatikan kaidah-kaidah untuk suatu gugus, maka :  Gugus bilangan asli A hanya berlaku pada kaidah : K1, K2, K3, K4, K6 & K9  Gugus bilangan cacah C hanya berlaku pada kaidah : K1, K2, K3, K4, K5, K6 & K9  Gugus bilangan bulat B hanya berlaku pada kaidah : K1, K2, K3, K4, K5, K6, K7 & K9  Gugus bilangan nyata R memenuhi kesembilan kaidah dan dinyatakan sebagai medan.

CL GBN-01 SL GBN-01 a. Gambarkan selang-selang berikut pada garis bilangan nyata yang sama : JCL GBN-01A -3,0 < x < -1,5 -0,5 ≤ x < 2,0 (12,0 ; 14,5)) b. Gambarkan pula selang-selang berikut : JCL GBN-01B { (2 ; 3)) , (4 ; 8) } { (-2 ; 0) , (0 ; 2)) } c. Gambarkan selang-selang berikut : JCL GBN-01C {x ; x R, |x| > 0} ε {x ; x R, |x-1| < 0} ε