DASAR-DASAR LOGIKA Septi Fajarwati, S.Pd.

Ilmu Logika Ilmu logika berhubungan dengan kalimat-kalimat (argumen-argumen) dan hubungan yang ada di antara kalimat-kalimat tersebut. Tujuannya adalah memberikan aturan-aturan sehingga orang dapat menentukan apakah suatu kalimat bernilai benar. Ilmu logika lebih mengarah pada bentuk kalimat (sintaks) daripada arti kalimat itu sendiri (semantik).

Kalimat Deklaratif / Proposisi adalah suatu kalimat yang memiliki nilai kebenaran (truth value) benar (true) dengan notasi T, atau nilai kebenaran salah (false) dengan notasi F tetapi tidak kedua-duanya. Contoh Proposisi : “Hari ini hujan.” (Situasinya diberitahukan) “Beijing adalah ibu kota China.” “1 + 2 = 3” “6 adalah bilangan ganjil.” Berikut ini yang BUKAN proposisi: “Siapa itu?” (pertanyaan) “x + y = 7” “Lakukan saja!” (perintah) “Ya, sepertinya begitu” (tidak jelas) “1 + 2” (expresi tanpa nilai benar/salah)

PENGHUBUNG KALIMAT ↔ Simbol Arti Bentuk ¬ Tidak / NOT / Negasi tidak….  Dan / AND / Konjungsi ….dan….  Atau / OR / Disjungsi .…atau….  atau XOR / Exclusive-OR / Disjungsi eksklusif ....atau….tetapi tdk keduanya  Implikasi Jika.…maka.... ↔ Biimplikasi (Biconditional) ...jika dan hanya jika…

Notasi Alternatif

TABEL KEBENARAN Perhatikan bahwa secara umum, jika ada n variabel (p,q,…), maka tabel kebenaran memuat 2n baris.

Keterangan : Negasi / Ingkaran suatu kalimat akan mempunyai nilai kebenaran yang berlawanan dengan nilai kebenaran kalimat aslinya. Contoh : p = “Saya seorang dosen” ¬p = “ Saya bukan seorang dosen” p = “Semua/setiap mahasiswa Amikom memakai dasi” ¬p = “Ada/beberapa/terdapat mahasiswa Amikom memakai dasi” Kalimat p  q akan bernilai benar jika baik p maupun q bernilai benar. Jika salah satunya bernilai salah maka p  q bernilai salah. Contoh : 2 adalah bilangan prima dan bilangan genap. Kalimat p  q mempunyai 2 macam arti : p  q disebut Inclusive OR (akan bernilai benar jika p benar, atau q benar, atau keduanya bernilai benar)

Contoh : “Catur seorang wanita atau pria tetapi tidak keduanya” Contoh : “Dalam perayaan itu, tamu boleh menyumbang uang atau barang." p q atau p  q disebut Exclusive OR (akan bernilai benar jika p benar, atau q benar, tapi tidak dua-duanya benar). Contoh : “Catur seorang wanita atau pria tetapi tidak keduanya” Kalimat implikasi p  q, p disebut hipotesis (anteseden) dan q disebut konklusi (konsekuen). Kalimat berbentuk p  q disebut kalimat berkondisi, karena kebenaran kalimat q tergantung pada kebenaran kalimat p. Contoh : “Jika segitiga ABC sama sisi maka ketiga sudutnya sama besar.”

Kalimat p  q dapat dibaca: “jika p, maka q (bila p maka q)” “p hanya jika q”, karena jka tdk q (q salah), maka p juga tdk terjadi (p salah) “jika p, q” “kalau p, q” “setiap saat p, q” “q jika p” q apabila p “p syarat cukup utk q” “q syarat perlu utk p” “q mengikuti p” “q disebabkan p” “p menyebabkan q” “q kapanpun p” “q ketika p”

p q p  q q  p p ↔ q atau (p  q)  (q  p) T F Kalimat Biimplikasi atau kondisi ganda (biconditional) p ↔ q berarti (p  q)  (q  p) Supaya p ↔ q bernilai benar, maka baik p  q maupun q  p keduanya harus bernilai benar karena dihubungkan dengan kata penghubung ‘dan’. p ↔ q bernilai benar jika p dan q keduanya bernilai benar atau keduanya bernilai salah. p q p  q q  p p ↔ q atau (p  q)  (q  p) T F

Contoh : 1. Misalkan : p = “dia tinggi” q = “dia tampan” Nyatakan kalimat dibawah ini dgn simbol logika ! Dia tinggi dan tampan. Dia tinggi tetapi tidak tampan. Dia tinggi, atau dia rendah dan tampan. Tidak benar bahwa dia rendah atau tidak tampan. Jika dia rendah, maka dia tidak tampan. Dia tampan jika dan hanya jika dia tinggi.

Contoh : 2. Tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan berikut : a. Paris ada di Perancis dan 2 + 2 = 5.T  F  F b. Kopenhagen ada di Denmark, atau 1 + 5 = 9 dan 3 + 3 = 6. T  (F  T)  T  F  T c. Jika 2 + 4 = 6, maka 3 + 1 = 5 dan 1 + 1 = 2 d. Jika 2 + 4 = 6, maka 3 + 1 = 7 jika dan hanya jika 1 + 1 = 4.

Latihan 1. Misalkan : p = “Erik membaca Newsweek” q = “Erik membaca The New Yorker” r = “Erik membaca Time” Tuliskan setiap pernyataan berikut dalam bentuk simbolik : a. Erik membaca Newsweek atau The New Yorker, tetapi bukan Time. b. Erik membaca Newsweek dan The New Yorker, atau dia tidak membaca Newsweek dan Time. c. Tidak benar bahwa Erik membaca Newsweek tetapi bukan Time. d. Tidak benar bahwa Erik membaca Time atau The New Yorker tetapi tidak Newsweek.

Latihan 2. Tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan berikut : a. Jika 9 < 4, maka – 4 < – 9. b. 1 + 1 = 2 jika dan hanya jika 2 + 2 = 6. c. Paris ada di Inggris, dan 3 + 2 = 5 dan 1 + 3 = 4.

Latihan : 3. Buatlah tabel kebenaran untuk kalimat dalam bentuk simbol-simbol logika di bawah ini! a. ¬(¬ p  ¬ q) b. ¬(¬ p  q) c. (p  q)  ¬(p  q) d. (¬ p  (¬ q  r))  (q  r)  (p  r)

Penyelesaian : a. ¬ (¬p  ¬q) p q ￢p ￢q ￢p  ￢q ¬(¬ p  ¬ q) T F

c. (p  q)  ¬(p  q) p q p  q p  q ¬(p  q) (p  q)  ¬(p  q) T F

d. (¬ p  (¬ q  r))  (q  r)  (p  r) T F

Latihan : 4. Jika p dan q bernilai benar (T) r dan s bernilai salah (F) Tentukan nilai kebenaran kalimat berikut : p  (q  r) (p  q  r)  ¬((p  q) ∧ (r  s)) (¬( p  q)  ¬ r)  (((¬ p  q)  ¬ r)  s) Penyelesaian : a. T  (T  F)  T  F  T

Penyelesaian : b. (T  T  F)  ¬((T  T) ∧ (F  F))  (T  F)  ¬(T ∧ F)  (F  ¬F)  (F  T)  T c. (¬( T  T)  ¬ F)  (((¬ T  T)  ¬ F)  F)  (¬ T  T)  (((F  T)  T)  F)  (F  T)  ((F  T)  F)  T  ( T  F)  T  F

Ekuivalen Dua kalimat disebut Ekuivalen (secara logika) bila dan hanya bila keduanya mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua substitusi nilai kebenaran masing – masing kalimat penyusunannya. Jika p dan q adalah kalimat yang ekuivalen, maka dituliskan p ≡ q atau p  q . Jika p ≡ q maka q ≡ p juga.

Contoh : Buktikan: pq  (p  q). F T T T F T T F F T T F T F T T F

Latihan : Tentukan apakah pasangan kalimat-kalimat dibawah ini ekuivalen : ¬(¬ p) dengan p ¬(p  q) dengan ¬ p  ¬ q p  q dengan ¬ p  q

Beberapa hukum ekuivalen logika : 1. Hk Komutatif p  q  q  p , p  q  q  p 2. Hk. Asosiatif (p  q)  r  p  (q  r) (p  q)  r  p  (q  r) 3. Hk. Distributif p  (q  r)  (p  q)  (p  r) p  (q  r)  (p  q)  (p  r) 4. Hk. Identitas p  T  p , p  F  p 5. Hk. Ikatan p  T  T , p  F  F

6. Hk. Negasi p  ¬ p  T , p  ¬ p  F 7. Hk. Negasi Ganda ¬(¬ p )  p 8. Hk. Indempoten p  p  p , p  p  p 9. Hk. De Morgan ¬(p  q)  ¬ p  ¬ q , ¬(p  q)  ¬ p  ¬ q 10. Hk. Absorbsi p  (p  q)  p , p  (p  q)  p 11. Negasi T dan F ¬ T  F , ¬ F  T

Contoh : 1. Sederhanakan bentuk ¬(¬ p  q)  (p  q) Jawab : De Morgan ¬(¬ p  q)  (p  q)  (¬(¬ p)  ¬ q)  (p  q)  (p  ¬ q)  (p  q) Negasi  p  (¬ q  q) Identitas  p  F  p Jadi ¬(¬ p  q)  (p  q)  p

Contoh : 2. Buktikan ekuivalensi kalimat di bawah ini tanpa menggunakan tabel kebenaran! a. ¬(p  ¬ q)  (¬ p  ¬ q)  ¬ p  (¬ p  ¬(¬ q))  (¬ p  ¬ q) de Morgan  (¬ p  q)  (¬ p  ¬ q) negasi ganda  ¬ p  (q  ¬ q) distributif  ¬ p  T negasi  ¬ p identitas

Contoh : b. (p  (q  r))  ( (p  q) r)  ¬ p  (q  r) Transformasi dr  ke   ¬ p  (¬ q  r) Transformasi dr  ke   (¬ p  ¬ q )  r Asosiatif  ¬( p  q)  r De Morgan  (p  q) r Transformasi dr  ke 

Tautologi dan Kontradiksi Tautologi adalah proposisi majemuk yang selalu bernilai true tidak peduli apa nilai kebenaran proposisi penyusunnya! Contoh: p  p [tabel kebenarann?] p  p Kontradiksi adalah proposisi majemuk yang selalu bernilai false tidak peduli apapun! Contoh: p  p [tabel kebenaran?] (p ↔ q)  ( p ↔ q)

Konvers, Invers, Kontraposisi Beberapa terminologi dalam implikasi p  q : Konvers-nya adalah: q  p Invers-nya adalah: ¬p  ¬q Kontraposisi-nya adalah: ¬q  ¬ p Implikasi selalu ekuivalen dengan kontraposisi.

CONTOH: “Jika A merupakan suatu bujursangkar, maka A merupakan suatu empat persegi panjang.” Konvers : “Jika A merupakan empat persegi panjang, maka A adalah suatu bujursangkar.” Invers : “Jika A bukan bujursangkar, maka A bukan empat persegi panjang.” Kontraposisi : “Jika A bukan empat persegi panjang, maka A bukan bujursangkar.”

ALJABAR BOOLE Merupakan suatu jenis simbol – simbol untuk memanipulasi nilai – nilai kebenaran logika secara aljabar. Cocok untuk diaplikasikan dalam komputer.

Aljabar Boole sebagai suatu struktur aljabar Aljabar Boole didefinisikan sebagai suatu himpunan dengan operasi “”, “”, dan “¬” (atau ‘) serta 0 dan 1. (ditulis sebagai atau atau ) yang memenuhi sifat – sifat sbb : Hukum komutatif 6. Hukum idempoten Hukum Asosiatif 7. Hukum Ikatan Hukum Distributif 8. Hukum Absorbsi Hukum identitas 9. Hukum De Morgan Hukum Negasi (Komplemen)