LOGIKA MATEMATIKA BAG 1: PROPOSISI

LOGIKA MATEMATIKA Cabang matematika yang memberikan dasar cara berpikir yang sistematis dan logis

Kalimat bukan pernyataan Kalimat yg belum dapat ditentukan nilai kebenarannya Contohnya: a. Kalimat terbuka b. kalimat perintah c. Kalimat pertanyaan d. kalimat harapan

Proposisi/Pernyataan/kalimat matematika tertutup/kalimat tertutup/kalimat deklaratif/statement Kalimat yang mempunyai nilai kebenaran benar saja atau salah saja dan tidak keduanya Lambang proposisi menggunakan huruf kecil Contoh: 1. p: Indonesia terdiri dari 33 propinsi 2. q: Semarang ibukota Jawa Timur

Pernyataan dibedakan menjadi 2 yaitu Pernyataan tunggal adl pernyataan yg tidak memuat pernyataan lain atau sebagai bagiannya Pernyataan majemuk adl kalimat baru yg diperoleh dgn cara menggabungkan beberapa pernyataan majemuk

Operasi logika untuk membentuk pernyataan majemuk Negasi, kata perangkainya tidak benar, simbolnya “∼” Konjungsi, kata perangkainya dan simbolnya “ ” Disjungsi, kata perangkainya atau, simbolnya “ ” Implikasi, kata perangkainya jika…maka…, simbolnya “⇒ ” Biimplikasi, kata perangkainya …jika dan hanya jika…, simbolnya “⇔ ”

Negasi (Ingkaran) Misalkan p adalah suatu pernyataan Negasi dr p dinotasikan ∼p dibaca tidak benar bahwa p Misalkan p bernilai benar maka ∼p bernilai salah Misalkan p bernilai salah maka ∼p bernilai benar Tabel kebenarannya p ∼p B S

Konjungsi Misalkan p dan q adalah suatu pernyataan tunggal Pernyataan majemuk dengan cara menggab kan p, q menggunakan kata perangkai “dan” disebut konjungsi, disimbolkan p  q Tabel kebenarannya p q p  q B S

Disjungsi Misalkan p dan q adalah suatu pernyataan tunggal Pernyataan majemuk dengan cara menggab kan p, q menggunakan kata perangkai “atau” disebut disjungsi, disimbolkan p  q Tabel kebenarannya p q p  q B S

Disjungsi Inklusif Contohnya: p q p  q B S Contohnya: p : Mahasiswa Jurusan Matematika mahir membuat karya tulis q : mahasiswa Jurusan Matematika rajin bekerja p  q : Mahasiswa Jurusan Matematika mahir membuat karya tulis atau rajin bekerja Maknanya Mahasiswa Jurusan Matematika mahir membuat karya tulis saja atau rajin bekerja saja tetapi tidak keduanya 2. Mahasiswa Jurusan Matematika mahir membuat karya tulis saja atau rajin bekerja saja tetapi mungkin juga keduanya

Disjungsi Eksklusif Contohnya: p : Pardi naik pesawat terbang q p V q B S Contohnya: p : Pardi naik pesawat terbang q : Pardi naik sepeda motor p V q : Pardi naik pesawat atau naik sepeda motor Maknanya Pardi naik pesawat terbang saja atau naik sepeda motor saja tetapi tidak mungkin naik pesawat terbang sekaligus sepeda motor

Implikasi Misalkan p dan q adalah suatu pernyataan tunggal Pernyataan majemuk dengan cara menggab kan p, q menggunakan kata perangkai “jika p maka q” disebut implikasi, disimbolkan p ⇒ q Tabel kebenarannya p q p⇒q B S

Biimplikasi Misalkan p dan q adalah suatu pernyataan tunggal Pernyataan majemuk dengan cara menggab kan p, q menggunakan kata perangkai “p jika dan hanya jika q” disebut biimplikasi, disimbolkan p ⇔ q Tabel kebenarannya p q p⇔ q B S

Konvers, Invers, dan kontraposisi Dipunyai p ⇒ q Konvers dari p ⇒ q adalah q ⇒ p Invers dari p ⇒ q adalah ∼ p ⇒ ∼ q Kontraposisi dari p ⇒ q adalah ∼q ⇒ ∼p Tabel kebenarannya p q p ⇒ q q ⇒ p ∼ p ⇒ ∼ q ∼q ⇒ ∼p B S

Bentuk-bentuk pernyataan Kontradiksi Pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran komponen-komponennya Pernyataan majemuk yang benar dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran komponen-komponennya Kontradiksi Kontradiksi Pernyataan majemuk bukan kontadiksi maupun tautologi

Contoh Diketahui p dan q suatu pernyataan tunggal. Buat tabel kebenaran untuk (p  q) ⇒ p (p  q) ⇒ p merupakan suatu kontingensi p q p  q (p  q) ⇒ p B S

Implikasi logis dan ekivalen logis Suatu bentuk implikasi yg merupakan tautologi disebut implikasi logis Contoh p q p⇒q (p⇒q)  p [(p⇒q)  p] ⇒p B S

Dua atau lebih pernyataan majemuk yg mempunyai nilai kebenaran sama disebut ekivalen logis dengan notasi atau Contohnya p q p⇔q p⇒q q⇒p (p⇒q)  (q⇒p) B S Ternyata diperoleh p⇔q mempunyai nilai kebenaran yg sama dengan (p⇒q)  (q⇒p) maka keduanya disebut ekivalen logis disimbolkan p⇔q (p⇒q)  (q⇒p)

Ingat implikasi, konvers, invers dan kontraposisi Implikasi ekivalen dengan kontraposisi Konvers ekivalen dengan invers p q p ⇒ q q ⇒ p ∼ p ⇒ ∼ q ∼q ⇒ ∼p B S

Soal latihan 1. Jika p pernyataan yang bernilai benar dan q pernyataan yang bernilai salah, tentukanlah nilai kebenaran proposisi berikut ini: (~p  q)  (~p  ~q) (p  ~ q) V (~p  ~q) 2. Buatlah tabel kebenaran proposisi ( ~p  r)  (q ~r) 3. Selidikilah menggunakan tabel kebenaran apakah proposisi berikut ini merupakan tautologi atau merupakan kontradiksi. {( p q )  ~q}  ~p {( p q ) ( q  r )} ( p  r )

Soal latihan 4. Tentukan invers, konves dan kontraposisi dari proposisi berikut ini: (p ~q)  (q  r) (~q  ~r)  (~p q) (q  ~r)  (p  r) 5. Tentukan invers, konvers, dan kontraposisi pernyataan: Jika hasil produksi melimpah maka harganya turun.

Soal latihan 6. Lengkapilah tabel kebenaran berikut ini q -p -q p  q -(p  q) -p v -q B S Apa yang Saudara peroleh?

Soal latihan 7. Lengkapilah tabel kebenaran berikut ini q -p -q p v q -(p v q) -p -q B S Apa yang Saudara peroleh?

Soal latihan 8. Lengkapilah tabel kebenaran berikut ini q -q p⇒q -(p⇒q) p  -q B S Apa yang Saudara peroleh?

Soal latihan 9. Lengkapilah tabel kebenaran berikut ini q -p -q p⇔q -(p⇔q) p  -q q  -p (p  -q) v (q  -p) B S Apa yang Saudara peroleh?