LIMIT FUNGSI

Pengertian Secara Intuisi Coba Gambarkan grafik fungsi-fungsi berikut.

Dari grafik fungsi yang kamu peroleh, apa yang dapat kamu katakan tentang nilai-nilai ketiga fungsi tersebut di semua titik pada interval ? . Bagaimanakah nilai-nilai ketiga fungsi di atas di titik dengan menentukan (jika ada) nilai dari ? Tentukan nilai-nilai ketiga fungsi di atas di sekitar (dekat) baik dekat di sebelah kiri maupun dekat di sebelah kanan , dengan melengkapi tabel berikut.

Berdasarkan tabel dan grafik yang telah kamu peroleh, maka dapat kita simpulkan untuk ketiga fungsi di atas mengenai nilai fungsi di titik-titik yang dekat dan semakin dekat dengan , sebagai berikut. Untuk fungsi f. Apabila x mendekati 1 (baik dari kiri maupun dari kanan) maka nilai f(x) ……………......... Untuk fungsi g. ............................................................... .............................. .............................................................. Untuk fungsi h. ................................................................ ............................................................................................ Dalam lambang matematik, kesimpulan a) dituliskan sebagai , dibaca " limit f(x) untuk x mendekati 1 sama dengan 2". Dalam hal ini 2 dikatakan sebagai nilai limit f(x) di x = 1. Untuk b) dituliskan sebagai ................................................... Untuk c) dituliskan sebagai ...................................................

Dengan menggunakan hasil pekerjaan kamu tadi, sekarang coba kamu definisikan dengan kalimat sendiri tentang pengertian limit fungsi f untuk x mendekati c sama dengan L, yaitu . Definisi 1 (Pengertian limit fungsi secara intuisi) berarti ........................................................... ...................................................................................... ....... .............................................................................. ..........................................................................................................................................................................

Dari definisi yang kamu buat, sekarang periksalah tentang keberadaan Soal Pemantapan 1 Dari definisi yang kamu buat, sekarang periksalah tentang keberadaan (ada tidaknya) nilai limit fungsi berikut. .

Limit Satu Sisi (Sepihak) Gambarlah grafik fungsi-fungsi berikut, kemudian selidikilah limit fungsi di x = 0. Apa yang dapat kamu simpulkan mengenai nilai limit ketiga fungsi di atas?

Tentukan nilai-nilai ketiga fungsi di atas di sekitar (dekat) pada sebelah kiri , dengan melengkapi tabel berikut? Dari tabel dan grafik disimpulkan untuk ketiga fungsi di atas mengenai nilai fungsi di titik-titik yang dekat dan semakin dekat dengan dari sebelah kiri, sebagai berikut. Untuk fungsi f. Apabila x mendekati 1 dari sebelah kiri maka nilai f(x) ………… Untuk fungsi g............................................................................ Untuk fungsi h............................................................................

Dalam lambang matematik, kesimpulan a) dituliskan sebagai , dibaca " limit kiri untuk x mendekati 1 sama dengan 0". Dalam hal ini 0 dikatakan sebagai nilai limit kiri f(x) di x = 1. Tuliskan dalam lambang matematik masing-masing untuk kesimpulan b) dan kesimpulan c).

Dengan menggunakan hasil pekerjaan kamu di atas, sekarang coba kamu definisikan dengan kalimat sendiri tentang pengertian limit kiri fungsi f untuk x mendekati c sama dengan L, yaitu Definisi 2 (Pengertian limit kiri fungsi secara intuisi) berarti ................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................. Analog dengan cara pendefinisian limit kiri di atas, coba kamu definisikan dengan kalimat sendiri tentang pengertian limit kanan fungsi f untuk x mendekati c sama dengan L, yaitu Definisi 3 (Pengertian limit kanan fungsi secara intuisi) berarti ................................................................................ .................................................................................................................................................................................................................

Setelah kamu memahami konsep limit, limit kiri dan limit kanan, berikan komentar kamu tentang hubungan antara limit, limit kiri, dan limit kanan berikut. Jika limit suatu fungsi f(x) ada untuk x mendekati c, maka limit kiri dan limit kanan dari f(x) untuk x mendekati c ada dan sama dengan nilai limit tersebut. Demikian sebaliknya, jika limit kiri dan limit kanan f(x) untuk x mendekati c ada dan bernilai sama, maka limit f(x) untuk x mendekati c ada dan sama dengan niliai limit sepihak tadi. Selanjutnya tulislah dengan kalimat sendiri pernyataan yang setara dengan pernyataan di atas.

Bandingkan pernyataan kamu dengan teorema berikut. jika dan hanya jika dan Refleksi Setelah mempelajari konsep limit, limit kiri, dan limit kanan, bagaimana cara kamu mengetahui keberadaan limit suatu fungsi di suatu titik, kemudian berikan contoh cara kamu tersebut? ……………………………………………………………………………………………..……………………. ………………… … ………………………………………………………..…… ………………………………. ……….....................................

Teknik Menghitung Limit Sekarang bagaimana kita menghitung nilai limit suatu fungsi satu persamaan di suatu titik . Coba kamu hitung limit fungsi berikut di titik x = 1 , kemudian di titik x = 2. Fungsi Konstan Fungsi Linear Fungsi Kuadrat Fungsi Suku Banyak (Polinom) Fungsi Rasional Fungsi Irrasional Dari hasil perhitungan kamu, apa yang dapat kamu simpulkan tentang cara/teknik menghitung limit fungsi satu persamaan?

Bila Lim f(x) = A dan Lim g(x) = B x a x a Maka LIMIT FUNGSI ALJABAR Berapa teorema limit: Bila Lim f(x) = A dan Lim g(x) = B x a x a Maka 1. Lim [k.f(x)] = k Lim f(x) x a x a = k. A 2. Lim [f(x)+g(x)] = Lim f(x) + Lim g(x) x a x a x a = A + B Hal.: 14 LIMIT FUNGSI

Limit fungsi aljabar 3. Lim {f(x) x g(x)} x a x a = Lim f(x) x Lim g(x) x a x a = A x B 4. Hal.: 15 LIMIT FUNGSI

Limit fungsi aljabar 5. 6. Hal.: 16 LIMIT FUNGSI

Nilai dari Lim 3x adalah…. x 2 a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 6 Limit fungsi aljabar Soal latihan: Nilai dari Lim 3x adalah…. x 2 a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 6 Hal.: 17 LIMIT FUNGSI

Pembahasan 1: Lim 3x = 3(2) = 6 Pembahasan 2: Lim 3x = 3 Lim X Limit fungsi aljabar Pembahasan 1: Lim 3x = 3(2) x 2 = 6 Pembahasan 2: Lim 3x = 3 Lim X x 2 x 2 = 3(2) = 6 Hal.: 18 LIMIT FUNGSI

Nilai dari Lim 3x adalah…. x 2 a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 6 Limit fungsi aljabar Jawab: Nilai dari Lim 3x adalah…. x 2 a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 6 Hal.: 19 LIMIT FUNGSI

2. Nilai dari Lim (2x+4) adalah…. x 2 Limit fungsi aljabar 2. Nilai dari Lim (2x+4) adalah…. x 2 a. -2 b. 2 c. 4 d. 6 e. 8 Hal.: 20 LIMIT FUNGSI

Pembahasan: Lim (2x+4) = 2(2) + 4 x 2 = 4 + 4 = 8 Limit fungsi aljabar Hal.: 21 LIMIT FUNGSI

3. Nilai dari Lim [6x-2x] adalah…. x 3 a. -6 b. 8 c. 12 d. 14 e. 16 Limit fungsi aljabar 3. Nilai dari Lim [6x-2x] adalah…. x 3 a. -6 b. 8 c. 12 d. 14 e. 16 Hal.: 22 LIMIT FUNGSI

Pembahasan 1: Lim [6x-2x] = Lim 4x = 4(3) = 12 Pembahasan 2: Limit fungsi aljabar Pembahasan 1: Lim [6x-2x] = Lim 4x = 4(3) = 12 X 3 x 3 Pembahasan 2: Lim [6x-2x] = Lim 6x – Lim 2x X 3 x 3 x 3 = 6(3) – 2(3) = 18 – 6 = 12 Hal.: 23 LIMIT FUNGSI

LIMIT FUNGSI ALJABAR Limit fungsi bentuk Jika f(x) = (x-a).h(x) g(x) = (x-a).k(x) Maka: Hal.: 24 LIMIT FUNGSI

~ LIMIT FUNGSI ALJABAR Limit Fungsi Bentuk Jika diketahui limit tak hingga (~) Sebagai berikut: Maka: 1. R= 0 jika n<m 2. R= a jika n=m 3. R= ~ jika n>m Hal.: 25 LIMIT FUNGSI

Limit Fungsi Bentuk (~ - ~) a. LIMIT FUNGSI ALJABAR Limit Fungsi Bentuk (~ - ~) a. 1. R= ~ jika a>p 2. R= 0 jika a=p 3. R= -~ jika a<p Hal.: 26 LIMIT FUNGSI

LIMIT FUNGSI ALJABAR b. 1. R= ~ jika a>p 2. jika a=p Hal.: 27 LIMIT FUNGSI

Soal latihan: 4. Nilai dari adalah…. a. 3 d. b. 2 c. 1 e. -2 LIMIT FUNGSI ALJABAR Soal latihan: 4. Nilai dari adalah…. a. 3 d. b. 2 c. 1 e. -2 Hal.: 28 LIMIT FUNGSI

LIMIT FUNGSI ALJABAR Pembahasan: Jika 0 didistribusikan menghasilkan ~ (bukan solusi) sehingga soal diselesaikan dengan cara faktorisasi Hal.: 29 LIMIT FUNGSI

LIMIT FUNGSI ALJABAR Maka: Hal.: 30 LIMIT FUNGSI

Soal latihan: 4. Nilai dari adalah…. a. 3 d. b. 2 c. 1 e. -2 LIMIT FUNGSI ALJABAR Soal latihan: 4. Nilai dari adalah…. a. 3 d. b. 2 c. 1 e. -2 Hal.: 31 LIMIT FUNGSI

LIMIT FUNGSI ALJABAR 5. Nilai dari adalah…. Hal.: 32 LIMIT FUNGSI

LIMIT FUNGSI ALJABAR Pembahasan: Hal.: 33 LIMIT FUNGSI

LIMIT FUNGSI ALJABAR 5. Nilai dari adalah…. Hal.: 34 LIMIT FUNGSI

6. Nilai dari adalah …. a. -6 d. 16 b. 2 e. 32 c. 10 LIMIT FUNGSI ALJABAR 6. Nilai dari adalah …. a. -6 d. 16 b. 2 e. 32 c. 10 Hal.: 35 LIMIT FUNGSI

LIMIT FUNGSI ALJABAR Pembahasan 1: Hal.: 36 LIMIT FUNGSI

LIMIT FUNGSI ALJABAR Pembahasan 1: Hal.: 37 LIMIT FUNGSI

LIMIT FUNGSI ALBAJAR Pembahasan 2: Perhatikan bahwa pangkat diatas sama dengan pangkat bawah sehingga p = q (p dibagi q) Hal.: 38 LIMIT FUNGSI

6. Nilai dari adalah …. a. -6 d. 16 b. 2 e. 32 c. 10 LIMIT FUNGSI ALJABAR 6. Nilai dari adalah …. a. -6 d. 16 b. 2 e. 32 c. 10 Hal.: 39 LIMIT FUNGSI

LIMIT FUNGSI ALJABAR 7. Nilai dari adalah…. a. -3 d. 0 b. -2 e. 1 c. -1 Hal.: 40 LIMIT FUNGSI

LIMIT FUNGSI ALJABAR Pembahasan: Hal.: 41 LIMIT FUNGSI

7. Nilai dari adalah…. a. -3 d. 0 b. -2 e. 1 c. -1 LIMIT FUNGSI ALJABAR 7. Nilai dari adalah…. a. -3 d. 0 b. -2 e. 1 c. -1 Hal.: 42 LIMIT FUNGSI

8. Nilai dari adalah…. a. -4 d. 4 b. 0 e. 8 c. 2 Limit fungsi sljabar Hal.: 43 LIMIT FUNGSI

LIMIT FUNGSI ALJABAR Pembahasan: Hal.: 44 LIMIT FUNGSI

LIMIT FUNGSI ALJABAR 8. Nilai dari adalah…. a. -4 d. 4 b. 0 e. 8 c. 2 Hal.: 45 LIMIT FUNGSI

LIMIT FUNGSI ALJABAR 9. Nilai dari adalah…. a. -~ d. 0 b. -2 c. e. Hal.: 46 LIMIT FUNGSI

Limit fungsi aljabar Pembahasan: Hal.: 47 LIMIT FUNGSI

9. Nilai dari adalah…. a. -~ d. 0 b. -2 c. e. Limit fungsi aljabar Hal.: 48 LIMIT FUNGSI

Limit fungsi aljabar 10. Nilai dari adalah…. a. d. 2 b. 0 e. 3 c. Hal.: 49 LIMIT FUNGSI

Limit fungsi aljabar Pembahasan: Perhatikan Pangkat tertinggi diatas 3 Pangkat tertinggi dibawah 4 Jadi n < m Nilai R = 0 Hal.: 50 LIMIT FUNGSI

10. Nilai dari adalah…. a. d. 2 b. 0 e. 3 c. Limit fungsi aljabar Hal.: 51 LIMIT FUNGSI

Limit fungsi aljabar 11. Nilai dari adalah…. Hal.: 52 LIMIT FUNGSI

Limit fungsi aljabar Pembahasan: Hal.: 53 LIMIT FUNGSI

Limit fungsi aljabar 12. Nilai dari adalah…. a. d. -1 b. 0 e. -6 c. Hal.: 54 LIMIT FUNGSI

Pangkat diatas = Pangkat dibawah Maka Limit fungsi aljabar Pembahasan: Pangkat diatas = Pangkat dibawah Maka Hal.: 55 LIMIT FUNGSI

Limit fungsi aljabar 12. Nilai dari adalah…. a. d. -1 b. 0 e. -6 c. Hal.: 56 LIMIT FUNGSI

Limit Fungsi Trigonometri 1. Bentuk lim f(x) = f(a) Contoh : Tentukan nilai lim sin 2x. Jawab : Lim sin 2x = sin 2 = sin = 1 Hal.: 57 LIMIT FUNGSI

Limit Fungsi Trigonometri 2. Bentuk lim , dengan f(a) = 0 dan g(a) = 0 Ingat !!! Contoh : Tentukan nilai dari : Jawab : Hal.: 58 LIMIT FUNGSI

Limit Fungsi Trigonometri 3. Bentuk atau Catatan : 1. 2. Secara umum Hal.: 59 LIMIT FUNGSI

Limit Fungsi Trigonometri Contoh 1 : Tentukan nilai limit fungsi trigonometri berikut! Jawab : Hal.: 60 LIMIT FUNGSI

Limit Fungsi Trigonometri Hal.: 61 LIMIT FUNGSI

Limit Fungsi Trigonometri Contoh 2 : Tentukan nilai dari Jawab : Hal.: 62 LIMIT FUNGSI

SELAMAT BELAJAR Hal.: 63 LIMIT FUNGSI