Transformations of Stress and Strain MODUL III

Pada suatu elemen benda tegar berbentuk kubus yang bertitik pusat pada Q dan pada kondisi seimbang, maka gaya-gaya tersebut dapat diuraikan menjadi gaya yang bekerja pada arah normal dari kubus tersebut yaitu σx, σy, dan σz dan gaya-gaya yneg bekerja tangensial yaitu gaya geser yaitu τxy, τyz dan τzx (gb 7.1.a). Kondisi yang sama juga akan berlaku jika kubus kita rotasikan (gb 7.1.b). Dalam transformasi tegangan dan regangan, yang dibahas hanyalah tegangan bidang (plane stress) yang berarti hanya bekerja pada dua sumbu kartesian saja (2D) misalnya x, dan y dimana sumbu z tegak lurus terhadap x dan y. Karenanya komponen tegangan dan regangan σz, τzx dan τzy dia baikan atau σz = τzx = τzy = 0 (gb 7.2)

TRANSFORMASI TEGANGAN BIDANG Perlu diingat, bahwasannya tegangan bidang (plane stress) hanya bekerja pada dua sumbu misal x dan y. Jika sumbu z dilibatkan, maka kondisi tegangan bukan pane stress, tapi 3D state of stresses. Seperti yang ditunjukkan pada Gb. 7.5.a yang menunjukkan tegangan bidang yang dirotasikan pada sumbu z sebesar ϴ, maka untuk menentukan besarnya tegangan normal σx’ dan tegangan geser τx’y’ yang bekerja pada x’ maka dapat kita gunakan asumsi seperti yang ditunjukkan pada gambar 7.6.

Dengan metode statika, keseimbangan gaya pada arah x’ dan y’ adalah: Yang kemudian dpat disederhanakan untuk mendapatkan σx’ dan τx’y’ menjadi Dengan mengingat bahw a dalam trigonometri berlaku persamaan:

maka Untuk σy’ yang tegak lurus terhadap σx’ berlaku ϴ + 90o dan karena cos(2ϴ+180o) = -cos 2ϴ dan sin (2ϴ+180o) = -sin 2ϴ, maka Persamaan 7.5 dan 7.6 adalah persamaan parametrik yang memiliki absis dan ordinat σx’ dan τx’y’. Jika kita membuat sebuah titik M pada koordinat (σx’,τx’y’) maka untuk nilai ϴ berapa saja titik M akan selalu berada pada sebuah lingkaran (gb. 7.7).

Jika persamaan 7.5 dan 7.6 kita bawa ke bentuk persamaan lingkaran sedemikian rupa (coba anda cari bentuk umum persamaan parametrik lingkaran) akan diperoleh persamaan: Jika Maka 7.10 dapat dirubah menjadi Yang merupaka persamaan lingkaran dengan radius R dengan pusat lingkaran C, absis σave dan ordinat 0 (gb 7.7).

Perhatikan titik A dan B yang menunukkan harga maksimum dan minimum σx’ dan keduanya berada pada titik nol tegangan geser τx’y’. Besarnya ϴp yang berkaitan dengan A dan B dapat diperoleh dengan persamaan (gb 7.9): Persamaan 7,12 mendefinisikan besaran 2ϴp yaitu jarak tegangan normal maksimal sebesar 180o dan besar ϴp yaitu 90o jarak sudut tegangan normal maksimum dan minimum (gb. 7.9). Tegangan normal maksimum dan minimum tersebut disebut dengan tegangan utama (principal stress) pada titik Q dan padanya tidak ada tegangan geser yang terjadi karena τx’y’ adalah nol. Dati gb. 7.7. dapat dilihat bahwa: maka

Dengan memperhatikan gb. 7 Dengan memperhatikan gb. 7.7 dapat kita simpulkan pula bahwa titik D dan E yang terletak pada diameter vertikal lingkaran menunjukkan angka terbesar dari tegangan geser τx’y’ . Karena absis titk D dan E adalah σave = ½ (σx + σy) maka besarnya ϴ didapat dengan σx’ = ½ (σx + σy). Hal tersebut mensyaratkan dua suku terakhirpersamaan tersebut harus sama dengan nol, dan dengan menyatakan ϴ = ϴs maka: atau Persamaan ini mendefinisikan dua nilai 2ϴ yang berjarak 180o sehingga terdapat dua nilai ϴs yang berbeda. Persamaan ini digunakan untuk menentukan orientasi elemen yang berkaitan dengan tegangan geser maksimum (gb. 7.10)

Dengan memperhatikan gb. 7 Dengan memperhatikan gb. 7.7 bahwa tegangan geser maksimum sama dengan jejari R lingkaran, maka dari persamaan Dapat kita gantikan dengan Dan tegangan normal yang berkaitan dengan tegangan geser maksimum adalah Komparasi 7.12 dan 7.15 dapat kita simpulkan bahwa bidang dengan tegangan geser maksimum berada pada dufut 45o dari bidang utama (principal planes) yang padanya terletak tegangan utama (principal plane). Ini sesuai dengan hasil pada definisi tegangan regangan dan puntiran (torsi) yang sudah dibahas sebelumnya. Perlu dicatat bahwa uraian diatas berlaku hanya pada rotasi tegangan bidang (2D). Jika rotasi dilakukan pada sumbu selain sumbu z, maka bidang tersebut akan mengalami tegangan geser lebih besar dan ini akan dibahas pada pertemuan berikutnya.

LATIHAN SOAL