InversRANK MATRIKS

SEBELUMNYA.... Latihan dulu OBE (menentukan invers)

INVERS MATRIKS Definisi Misal Ip merupakan matriks diagonal pxp Matriks Ik berukuran kxk disebut identitas kanan untuk setiap himpunan matriks berukuran nxk Matriks In berukuran nxn disebut identitas kiri untuk setiap himpunan matriks berukuran nxk Jika n=k maka In = Ik = I disebut identitas untuk setiap himpunan matriks berukuran nxn

Definisi Misal X adalah matriks kxk. Invers dari X dinotasikan X-1 merupakan matriks kxk sedemikian hingga XX-1 =X-1X =I Jika matriks ada, maka X disebut invertible atau nonsingular, selain itu matriks disebut noninvertible atau singular. Sifat-sifat invers Jika X nonsingular, maka X-1 nonsingular dan (X-1)-1=X Jika X dan Y keduanya nonsingular berukuran kxk, maka XY nonsingular dan (XY)-1=Y-1X-1 Jika X nonsingular, maka X’ nonsingular dan (X’)-1=(X-1)’

ORTOGONALITAS Definisi Misal X merupakan matriks kxk sedemikian hingga X’X=I. Maka X disebut ortogonal. Misal x dan y merupakan vektor nx1. Jika Maka x dan y dikatakan ortogonal. Misal x merupakan vektor nx1. Panjang x dinotasikan adalah

ORTOGONALITAS (2) Definisi Misal {x1, x2, ... ,xk} merupakan himpunan vektor ortogonal berukuran nx1. Jika masing-masing vektor mempunyai panjang maka vektor-vektor membentuk himpunan ortonormal. Teorema Misal X merupakan matriks kxk, X ortogonal jika hanya jika kolom-kolomnya merupakan himpunan ortonormal.

NILAI EIGEN Definisi Misal A merupakan matriks kxk dan x merupakan vektor taknol berukuran kx1. Nilai eigen atau akar ciri dari A adalah bilangan  sedemikian hingga Ax = x Vektor x yang memenuhi persamaan ini disebut vektor eigen. Contoh Diketahui tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks tersebut

NILAI EIGEN (2) Sifat-sifat nilai Eigen Jika A merupakan matriks simetri kxk, maka nilai eigen dari A semuanya bilangan riil Jika A merupakan matriks kxk dan C matriks ortogonal kxk, maka nilai eigen C’AC sama dengan nilai eigen A. Jika A merupakan matriks simetri kxk, maka vektor eigen yang diperoleh dari nilai eigen matriks A adalah ortogonal.

NILAI EIGEN (3) Teorema Misal A merupakan matriks kxk, maka matriks ortogonal P ada sedemikian hingga Dimana i untuk i = 1, 2, ... , k merupakan nilai eigen dari A

RANK MATRIKS Definisi Misal {x1, x2, ... ,xk} merupakan himpunan k vektor kolom. Jika bilangan riil a1, a2, ... , ak tidak semuanya nol sedemikian hingga ada, maka vektor x1, x2, ... , xk disebut bergantung linier. Selain itu disebut bebas linier. Misal X matriks berukuran nxk, setiap kolom dari matriks merupakan vektor kolom. Matriks X dalam bentuk vektor kolom ditulis X = [x1 x2 x3 ... xk]. Rank dari X, dinyatakan dengan r(X) didefinisikan sebagai jumlah terbanyak vektor-vektor bebas linier pada himpunan {x1, x2, x3, ... , xk}

RANK MATRIKS (2) Sifat-sifat Rank Misal X adalah matriks nxk dengan rank k dimana nk. Misal X rank penuh (full rank) maka r(X)=r(X’)=r(X’X)=k. Misal X adalah matriks kxk. Maka X nonsingular jika dan hanya jika r(X)=k. Misal X adalah matriks nxk, P adalah matriks nonsingular nxn dan Q adalah matriks nonsingular kxk. Maka r(X) = r(PX) = r(XQ). Rank dari matriks diagonal sama dengan bilangan tak nol kolom-kolom dari matriks Rank dari XY kurang dari atau sama dengan rank X dan kurang dari atau sama dengan rank Y

MATRIKS IDEMPOTEN Contoh Misal X matriks nxk memiliki rank penuh. Matriks nxn H=X(X ’X)-1X ‘ merupakan matriks idempoten. Saat X memiliki rank penuh, r(X)=k. Saat r(X)=r(X’X), maka r(X’X)=k. X’X merupakan matriks kxk. Sebarang matriks kxk dengan rank k adalah nonsingular. Sehingga, (X’X)-1 ada. Untuk menunjukkan H idempoten, H2 =[X(X ’X)-1X ‘] [X(X’X)-1X ‘] Gunakan sifat asosiatif untuk perkalian matriks, sehingga diperoleh H2 =X(X ’X)-1 (X‘X)(X ’X)-1X’ Saat (X ‘X)(X ’X)-1X=I maka H2 =X(X ’X)-1 X ‘=H (H merupakan matriks idempoten)

TRACE MATRIKS Definisi Trace matriks kxk dinotasikan dengan tr(X), didefinisikan sebagai jumlah elemen-elemen dari diagonal utama. Sifat-sifat Trace Misal c bilangan riil, maka tr(cX)=c tr(X) tr(XY) = tr(X)  tr(Y) Jika X berukuran nxp dan Y berukuran pxn, maka tr(XY)=tr(YX)

TRACE MATRIKS (2) Teorema Nilai eigen dari matriks idempoten selalu nol atau satu. Misal A matriks simetri kxk dan idempoten dengan rank r. Maka rank A sama dengan trace nya, r(A)=tr(A). Misal A1, A2, ... , Am adalah gabungan matriks simetri kxk. Syarat cukup dan syarat perlu untuk matriks ortogonal P sedemikian hingga P’AiP diagonal untuk i=1, 2, 3, ... , m adalah AiAj = AjAi untuk setiap pasangan (i,j).

Teorema Misal A1, A2, ... , Am adalah gabungan matriks simetri kxk. Maka: Setiap Ai dimana i=1, 2, 3, ... , m adalah idempoten adalah idempoten Ai Aj = 0 untuk ij Misal A1, A2, ... , Am adalah gabungan matriks simetri kxk. Misal r menyatakan rank dan misal ri menyatakan rank Ai dimana i=1, 2, 3, ... , m. Jika minimal dua pernyataan benar, maka

GENERALIZED INVERSE CONDITIONAL INVERSE Jika Anxn adalah matriks nonsingular, maka solusi SPL Ax = g ada dan unik. Solusi persamaannya adalah x = A-1g Jika A tidak bujursangkar, atau bujursangkar tapi singular maka solusinya bisa dicari menggunakan Generalized Inverse (matriks kebalikan umum) dan Conditional Inverse (matriks kebalikan bersyarat).

GENERALIZED INVERSE Definisi Misal A adalah matriks mxn. Jika matriks A- ada dan memenuhi 4 kondisi berikut, maka A- disebut generalized inverse dari A: AA- simetris A-A simetris AA-A = A A-AA- = A- generalized inverse dapat dinyatakan sebagai g-invers

GENERALIZED INVERSE (2) Teorema Misal A matriks mxn. Jika rank A adalah m maka A- = A’(AA’)-1 dan AA- = I. Jika rank A adalah n maka A- = (A’A)-1A’ dan A-A = I. Jika rank A adalah r, maka g-invers dari A dapat dihitung menggunakan langkah: Hitung B = A’A atau B = A A’ C1 = I Ci+1 = I(1/i)tr(CiB) – CiB, untuk i=1,2,..r-1 A- = rCrA’/tr(CrB) Catatan: Cr+1B = 0 dan tr(CrB) ≠ 0