KARAKTERISTIK BILANGAN BULAT MODULO m YANG MEMILIKI AKAR PRIMITIF Oleh Isty Yulianti 0700781 JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010

LATAR BELAKANG TEORI BILANGAN TEOREMA EULER ORDER BILANGAN BULAT AKAR PRIMITIF

Bilangan bulat modulo m yang bagaimanakah yang memiliki akar primitif? RUMUSAN MASALAH Bilangan bulat modulo m yang bagaimanakah yang memiliki akar primitif? 1 Berapa banyak akar primitif yang ada pada suatu bilangan bulat modulo m? 2

ORDER BILANGAN BULAT MODULO m Misalkan a, m dengan m > 0 dan ppb(a,m) = 1. Order dari a modulo m, dinotasikan dengan ordma adalah bilangan bulat positif terkecil n sehingga an ≡1 mod m.

Contoh Order dari 2 modulo 7 dapat diperoleh dengan mencari pangkat positif dari 2 yang menghasilkan residu 1 (modulo 7). Maka, 21 ≡ 2 mod 7, 22 ≡ 4 mod 7, dan 23 ≡ 1 mod 7. Jadi order dari 2 modulo 7 adalah 3, yang dinotasikan dengan ord72 = 3.

Bagaimanakah hubungan dari n dan 𝜱(m)? TEOREMA EULER Jika ppb(a, m) = 1, maka a(m) mod m = 1 atau a(m)  1 (mod m). DEFINISI ORDER Jika a, m dengan m > 0 dan ppb(a,m) = 1. Order dari a modulo m, dinotasikan dengan ordma adalah bilangan bulat positif terkecil n sehingga an  1 (mod m). Bagaimanakah hubungan dari n dan 𝜱(m)?

AKAR PRIMITIF Jika ada suatu bilangan bulat r dan order dari r modulo m adalah 𝜱(m), maka r disebut akar primitif modulo m Ordmr = 𝜱(m)

Apakah semua bilangan bulat modulo m memiliki akar primitif? Apakah akar primitif modulo 7? Perhatikan Bilangan Bulat Modulo 7! Banyaknya bilangan bulat yang relatif prim dengan 7 adalah 6 1 bukan akar primitif modulo 7 karena ord71 = 1 ≠ 𝜙(7). 2 bukan akar primitif modulo 7 karena ord72 = 3 ≠ 𝜙(7). 3 adalah akar primitif modulo 7 karena ord73 = 6 = 𝜙 (7). Apakah semua bilangan bulat modulo m memiliki akar primitif?

Tidak semua bilangan bulat modulo m memiliki akar primitif Perhatikan Modulo 8! Banyaknya bilangan bulat yang relatif prim dengan 8 adalah 4 yaitu 1, 3, 5, dan 7 sehingga 𝜙 (8) = 4. Berdasarkan definisi, maka uji untuk bilangan bulat yang relatif prim dengan 8. ord81 = 1 ord83 = 2 ord85 = 2 dan ord87 = 2 Jadi, modulo 8 tidak memiliki akar primitif. Tidak semua bilangan bulat modulo m memiliki akar primitif

Apakah akar primitif modulo m itu unik? Perhatikan Modulo 14! Banyaknya bilangan bulat yang relatif prim dengan 14 adalah 6 yaitu 1, 3, 5, 9, 11, dan 13. Berdasarkan definisi, uji bilangan bulat yang relatif prim dengan 14 tersebut! ord141 = 1 karena 11  1 (mod 14) ord143 = 6 karena 36  1 (mod 14) ord145 = 6 karena 56  1 (mod 14) ord149 = 3 karena 93  1 (mod 14) ord1411 = 3 karena 113  1 (mod 14) ord1413 = 2 karena 132  1 (mod 14) Jadi, 3 dan 5 adalah akar primitif modulo 14.

Bagaimana cara mengatahui berapa banyak akar primitif pada bilangan bulat modulo m? TEOREMA Jika akar primitif modulo m ada, maka terdapat tepat sebanyak 𝜙 (𝜙(m)) akar primitif yang tidak saling kongruen _______

Bagaimanakah akar primitif pada bilangan prima? Misal p sebuah bilangan prima dan d∊ 𝜡 dengan d > 0 dan d‌‌∣ p -1. Maka terdapat tepat sebanyak 𝜙(d) bilangan bulat yang tidak saling kongruen yang mempunyai order d modulo p.

akar primitif dari suatu bilangan prima selalu ada Misal p bilangan prima, maka terdapat tepat sebanyak 𝜙(p – 1) akar primitif yang tidak saling kongruen modulo p.

Adakah bilangan lain yang memiliki akar primitif? Dari contoh sebelumnya, Modulo 7 memiliki akar primitif Modulo 8 tidak memiliki akar primitif Semua bilangan prima memiliki akar primitif Adakah bilangan lain yang memiliki akar primitif?

Modulo 2 Modulo 4 Modulo 2n Modulo 8 Modulo 16

Tidak ada akar primitif modulo 2n dimana n ∊ 𝜡 dan n ≥ 3. _________

Bagaimana akar primitif pada bilangan yang berbentuk mn dengan m dan n yang relatif prim? Contoh 1. Diketahui 1 dan 2 saling relatif prim. Maka akar primitif modulo (1.2) atau modulo 2 adalah 1. 11  1 (mod 2) ⇒ ord21 = 1 = 𝜙(2) Contoh 2. Diketahui 3 dan 4 saling relatif prim. Maka akan dicari akar primitif modulo (3.4) atau modulo 12. 𝜙(12)= 4 yaitu 1, 5, 7 dan 11. 11  1 (mod 12) ⇒ ord121 = 1 ≠ 𝜙(12) 52  1 (mod 12) ⇒ ord125 = 2 ≠ 𝜙(12) 72  1 (mod 12) ⇒ ord127 = 2 ≠ 𝜙(12) 112  1 (mod 12) ⇒ ord1211 = 2 ≠ 𝜙(12) Jadi, modulo 12 tidak memiliki akar primitif

Tidak ada akar primitif modulo mn dimana m, n ∊ 𝜡 , m, n > 2 dan ppb(m, n)=1. _______

TEOREMA AKIBAT Misalkan m dengan m > 0. Jika m dapat dibagi oleh dua bilangan prima ganjil yang berbeda atau m dapat dibagi oleh bilangan prima ganjil dan 4, maka tidak akan ada akar primitif modulo m. ------------

KARAKTERISTIK BILANGAN BULAT MODULO m YANG MEMILIKI AKAR PRIMITIF Jika akar primitif modulo m ada, maka m harus sama dengan 1, 2, 4, pn, atau 2pn dimana p adalah bilangan prima ganjil dan n adalah bilangan bulat positif.