ENERGI FERMI UNTUK ELEKTRON BEBAS DALAM TIGA DIMENSI Seminar Fisika Oleh : Andhi Muttaqin K2304014 FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2008

Gerak Partikel Bebas Dalam Ruang Satu Dimensi A. PERSAMAAN SCHRODINGER PADA GERAK PARTIKEL BEBAS DALAM RUANG TIGA DIMENSI Gerak Partikel Bebas Dalam Ruang Satu Dimensi Pada sistem konservatif berlaku hukum kekekalan energi, yaitu jumlah energi kinetik ditambah energi potensial bersifat kekal: artinya tidak bergantung pada waktu dan posisi. Sebagaimana diketahui, hukum kekekalan energi tersebut telah dapat dijelaskan baik oleh fisika klasik. Dengan demikian, sebagai teori yang lebih baru, persamaan Schodinger harus konsisten dengan hukum kekekalan energi p2/2m + Ep = Em

Persamaaan Schodinger merupakan persamaan differensial yang akan menghasilkan penyelesaian yang tepat terhadap masalah-masalah fisika kuantum. Persamaan demikian ini haruslah memenuhi kriteria sebagai berikut : a. Konsisten dengan hokum kekekalan energi, Ek + Ep = Em … (2.1) b. Persamaan ini bagaimanapun bentuknya, harus konsisten dengan persamaan deBroglie. Oleh karena itu untuk partikel bebas dengan momentum p dan panjang gelombang λ = h/p, maka energi kinetik Ek = p2/2m =ћ2k2 /2m ……………………...…… (2.2) c. Karena persamaan ini menunjukkan peluang untuk menemukan partikel, maka persamaan ini haruslah berharga tunggal , tidak boleh ada dua peluang yang berbeda untuk menemukan partikel pada titik yang sama dalam ruang. Persamaan ini harus linier, sehingga gelombang itu memiliki sifat superposisi.

ψ(x,t) = A sin (kx – ωt) ………………………………… (2.3) Oleh karena itu dipostulatkan gelombang de Broglie untuk partikel bebas juga mempunyai bentuk yang sama ψ(x,t) = A sin (kx – ωt) ………………………………… (2.3) Gelombang ini mempunyai panjang gelombang λ=2л/k dan frekuensi v= ω/ 2л. Untuk sementara diambil bahwa t = 0, sehingga ψ(x,t) menjadi ψ(x,t = 0), sehinnga ψ x = A sin kx …………………………….. (2.4) Sebelumnya telah didapatkan bahwa Ek = ћ2k2 /2m dan satu-satunya cara untuk mendapatkan bentuk k adalah dengan mengambil turunan kedua dari y(x) = A sin kx terhadap x, ψx = A sin kx Dψ/dx = kA cos kx ……………………………………………… (2.5) D2ψ/dx2 = - k2 A sin kx (- ħ2/2m) d2ψ/dx2 + Ep ψ = Em ψ ………………………………… (2.6) Persamaan inilah yang memenuhi ketiga kriteria tersebut dan inilah persamaan Schodinger bebas waktu dalam satu dimensi

2. Persamaan Schrodinger Pada Gerak Partikel Bebas Dalam Ruang Tiga Dimensi Partikel yang berada didalam kotak potensial berukuran x, y dan z seperti gambar (a). Setiap dinding kotak berpotensial besar sekali, Ep ~ . Sedangkan potensial didalam kotak sama dengan nol. Gambar 1. Kotak potensial tiga dimensi Untuk tiga dimensi persamaan Schodinger menjadi : E = Ex + Ey + Ez x y z

Dalam pembahasan Fisika Modern telah digetahui bahwa, persamaan Schodinger untuk partikel bebas ( energi potensial Ep = 0 ) dalam tiga dimensi biasa ditulis sebagai berikut : (- ħ2/2m)(d2/dx2+d2/dy2+d2/dz2) ψ(r) = Em ψ(r) karena Ek + Ep = Em sedangkan untuk nilai energi potensial Ep = 0, maka Ek = Em sehingga persamaan Schodinger ­untuk partikel bebas dalam tiga dimensi dapat ditulis (- ħ2/2m)(d2/dx2+d2/dy2+d2/dz2) ψ(r) = Ek ψ(r) …..…….………. (2.7)

B. PERSAMAAN ENERGI KINETIK ELEKTRON YANG BERGERAK BEBAS DALAM RUANG TIGA DIMENSI 1. Partikel Bergerak Secara Bebas Dalam Daerah Satu Dimensi Bila suatu partikel bebas bergerak dalam suatu kotak satu dimensi yang panjangnya L, maka partikel tersebut terkurung dalam kotak. x=0 x = L Gambar 2. Partikel bergerak bebas dalam arah satu dimensi Secara matematis, hukum kekekalan energi dapat diungkapkan dengan rumusan p2/2m + Ep = Em

2. Partikel Bergerak Secara Bebas Dalam Daerah Tiga Dimensi Partikel yang terperangkap dalam suatu kotak sama seperti suatu gelombang tegak dalam suatu tali yang direntangkan antara dinding-dinding kotak. Karena itu panjang gelombang deBrolie dari partikel dalam kotak ditentukan oleh lebar kotak L seperti gambar berikut. L Gambar 3. Partikel terbatas dalam kotak yang lebarnya L

ψ(r) = A sin(лnxx/L)sin(лnyy/L)sin лnzz/L) …………………….. (2.8) Jika elektron-elektron itu diletakkan didalam sebuah kubus dengan panjang sisi-sisinya sebesar L, maka fungsi gelombangnya adalah gelombang berdiri yang mirip dengan penggabungan tiga fungsi gelombang elektron dalam sebuah sumur potensial satu dimensi yang kedalamanya tak hingga, yaitu sebagai berikut : ψ(r) = A sin(лnxx/L)sin(лnyy/L)sin лnzz/L) …………………….. (2.8) Dimana nx, ny, nz adalah bilangan bulat positif. Biasanya sangat menyenangkan jika menggunakan sebuah fungsi gelombang yang periodik, artinya : ψ(x,y,z)= ψ(x+L,y,z)= ψ(x,y+L,z)= ψ(x,y,z+L) …………….. (2.9) Fungsi gelombang yang memenuhi persamaan Schodinger (2.7) dan yang periodik adalah berbentuk gelombang berjalan sebagai berikut : ψ(r) = exp (ik.r) ……………………………………… (2.10) Dapat diperhatikan bahwa komponen k.r adalah perkalian vektor yang menghasilkan skalar (dot product). Nilai komponen-komponen k pada persamaan (2.10) diatas adalah sebagai berikut : kx,ky,kz = 0,±2л/L, ±4л/L, ±6л/L, ±8л/L, . …±2nл/L, ……… (2.11)

Ek= - ħ2/2m(kx2+ky2+kz2) Ek = (- ħ2/2m)k2 …………………………………….. (2.14) Selanjutnya akan dihitung energi elektron bebas dalam tiga dimensi. Yaitu dengan cara mensubtitusikan persamaan (2.10) kedalam persamaan (2.7), dengan cara sebagai berikut: ψ(r) = exp (ik.r) disubtitusikan ke persamaan - ħ2/2m(d2/dx2+d2/dy2+d2/dz2) ψ(r) = Ek ψ(r) sehingga akan didapatkan nilai Ek sama dengan Ek= - ħ2/2m(kx2+ky2+kz2) Ek = (- ħ2/2m)k2 …………………………………….. (2.14)

Persamaan (2.14) ini menyatakan energi kinetik elektron bebas dalam ruang tiga dimensi. Ingat bahwa energi potensial elektron bebas adalah nol sehingga energi elektron sama dengan energi kinetiknya. Nilai k ini sering dikaitkan dengan nilai panjang gelombang elektron melalui persamaan berikut : k = 2л/λ, dimana adalah panjang gelombang disamping itu momentum sudut linear juga sering dikaitkan dengan vektor gelombang k melalui persamaan, P = ħk

C. PERSAMAAN ENERGI FERMI PADA ELEKTRON YANG BERGERAK BEBAS DALAM RUANG TIGA DIMENSI Tinjauan secara klasik ternyata hasilnya kurang cermat, sehingga dalam pembahasan selanjutnya akan digunakan konsep secara kuantum bahwa energi elektron itu terkuantisasi, dan dapat ditunjukkan dalam bentuk level-level energi serta menurut Bohr bahwa elektron dalam atom hanya dapat memancarkan kuanta cahaya utuh, bukan potongan-potongan kecil. Jadi, elektron tidak mungkin terpelintir kedalam, elektron hanya dapat melompat dari satu orbit ke orbit lainnya tepat satu kuantum energi lebih dekat ke inti. Seperti terlukis dalam gambar dibawah ini.

Gambar 4. Level energi Gambar 5. Fungsi distribusi f(E) vs E Ef 1 Ef T = 0 K T > 0 K 0 E Ef Gambar 4. Level energi Gambar 5. Fungsi distribusi f(E) vs E Gambar diatas (4) melukiskan level-level energi yang terkuantisasi. Elektron-elektron didalam logam menempati level-level energi tersebut. Menurut prinsip larangan Pauli, satu level energi dapat terisi oleh dua elektron yang berspin, dan pengisian level energi, dimulai dari yang terendah sampai yang tertinggi. Level energi tertinggi yang dapat terisi disebut level energi Fermi.

Bola tersebut dapat dilihat pada gambar berikut : Dalam keadaan dasar (T = 0 K ) semua energi yang terletak dibawah energi Fermi dan energi Fermi itu sendiri akan ditempati elektron. Oleh karena itu, vektor gelombang terbesar adalah vektor gelombang untuk elektron yang berada pada tingkat energi Fermi. Dengan demikian, jika dimisalkan vektor gelombang Fermi dengan huruf kf, maka energi Fermi dapat dituliskan sebagai berikut Ef = (- ħ2/2m)kf2………………………(2.15) Dalam ruang k (ruang resiprok) kita dapat menggambarkan sebuah bola dengan jari-jari kf yang menampung semua elektron didalamnya. Artinya tidak ada elektron lain yang terletak diluar bola, karena vektor gelombang terbesar pada keadaan dasar adalah kf. volume bola ini tentunya sama dengan (4/3)лkf3 , dimana kf menyatakan jari-jari bola. Bola tersebut dapat dilihat pada gambar berikut : Gambar 6. Elektron terletak didalam bola yang berjari-jari kf,Dimana kf adalah vektor gelombang Fermi kz Ef Ef ky ky kx

Dari persamaan (2.11) dapat diketahui bahwa nilai terkecil dari kx,ky dan kz adalah 2л/L (bukan nol, karena jika k = 0 berarti tidak ada elektron). Sehingga jika diambil elemen volume (volume terkecil yang berbentuk kubus dengan sisi-sisi kx,ky dan kz dari bola tadi, maka volumenya menjadi(2л/L)3. Gambar 7. Elemen volume kubus dengan sisi-sisinya (2) pada bola kz Ef ky kx

dapat dilihat vektor gelombang Fermi adalah bergantung pada konsentrasi elektron (n = N/V), sehingga kf dapat dituliskan sebagai berikut : kf = (3л2N/V)⅓ = (3л2n)⅓ ……………… (2.18) Dengan demikian, energi Fermi dalam sistem tiga dimensi dapat diperoleh dengan mensubtitusikan persamaan (2.18) kedalam persamaan (2.15) sehingga diperoleh sebagai berikut : Ef = (ħ2/2m)(3л2n)2/3………………………. (2.19) Persamaan (2.19) diatas ini mengaitkan energi Fermi dengan konsentrasi elektron n =N/V