System koordinat Polar pada Integral Lipat dua Misalkan diketahui Integral Lipat dua : Sedangkan D adalah daerah bidang sebagai batas integral lipat dua dan berupa lingkaran maka integral lipat dua tersebut dapat juga diselesaikan dengan transformasi ke system koordinat polar sebagai berikut : Transformasi ke system koordinat polar : Perhatikan OPQ : OP = r = jari-jari lingkaran OQ = x = r cos PQ = y = r sin .x2 + y2 = r2 .dydx = rdrd. Sehingga integral lipat dua Dengan Transformasi ke sistem koordinat Polar seperti pada ketentuan di bawah ini :
jajaran genjang x Diketahui integral lipat dua , dan U=f(x,y) dan V = g(x,y), vektor posisi merupakan fungsidari U dan V, Untuk lengkungan U konstan U=Uo maka dU =0 sehingga (merupakan vektor singgung pada lengkungan dimana U konstan ) Untuk lengkungan V konstan V=Vo maka dV =0 sehingga (merupakan vektor singgung pada lengkungan dimana V konstan ) . Contoh-contoh: 1.Hitunglah integral lipat dua Jika D daerah yang dibatasi oleh x2 + y2 = 25 di kwadran I. Jawab: Pemakaian variabel-variabel baru pada integral lipat dua V=Vo Y U=Uo
Luas jajaran genjang yang terbentuk : Dimana Sehingga: : disebut Determinan Jacobi Sehingga integral lipat dua
Determinan Jacobi dalam koordinat polar Determinan Jacobi : Sehingga integral lipat dua dalam koordinat Polar : Contoh-contoh: 1.Hitunglah integral lipat dua Jika D daerah yang dibatasi oleh x2 + y2 = 25 di kwadran I. Jawab:
Transformasi ke koordinat Polar : integral lipat dua 2.Hitunglah integral lipat dua Jika D daerah yang dibatasi oleh x2 + y2 = 16 dipotong oleh y = x dan sumbu x di kwadran I. Jawab:
TUGAS: Hitunglah integral lipat dua Jika D daerah yang dibatasi oleh x2 +y2 =4 dipotong oleh y = x Dan sumbu y bagian atas. 2. Hitunglah integral lipat dua Jika D daerah yang dibatasi oleh x2 +y2 = 9 di kwadran I 3. Hitunglah integral lipat dua Jika D daerah yang dibatasi oleh (x-4)2 + y2 = 16 di kwadran I Jika D daerah yang dibatasi oleh (x-4)2 + y2 = 16 dipotong oleh y = x dan di kwadran I 5. Hitunglah integral lipat dua Jika D daerah yang dibatasi oleh x2 + (y-2)2 = 4 di kwadran I