KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKS PEMROGRAMAN LINEAR KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKS Jurusan Matematika - FMIPA Universitas Udayana 2012

PRESENTASI OLEH LUH PUTU ARI DEWIYANTI 10084050011 KELOMPOK 1 LUH PUTU ARI DEWIYANTI 10084050011 NI PUTU NIA IRFAGUTAMI 1008405002 EVI NOVIANTARI 1008405003 I GUSTI NGR MAHAYOGA 1008405004 I GEDE AGUS JIWADIANA 1008405009 IMADE KESUMAYASA 1008405011 A.a.i.a CANDRA ISWARI 1008405053 HANY DEVITA 1008405059 PRESENTASI OLEH

KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKS Kasus khusus pada metode simpleks: Alternatif penyelesaian Penyelesaian tak terbatas Soal tidak fisibel Kemerosotan (Degenerasi) Variabel penyusun tak bersyarat

ALTERNATIF PENYELESAIAN KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKS ALTERNATIF PENYELESAIAN Ketika fungsi tujuan sejajar dengan satu batasan yang mengikat (yaitu, satu batasan yang dipenuhi dalam bentuk persamaan oleh pemecahan optimal), fungsi tujuan akan memiliki nilai optimal yang sama di lebih dari satu titik. Alternatif penyelesaian berarti adanya 2 penyelesaian atau lebih yang menghasilkan nilai optimal yang sama. Adanya alternatif penyelesaian dalam metode simpleks dapat dilihat pada table optimalnya. Perhatikan elemen pada baris cj – zj yang bernilai 0 pada table optimal. Nilai 0 pada baris cj – zj selalu bersesuaian dengan variable basis. Jika ck – zk = 0 dalam table optimal, sedangkan variable pada kolom tersebut (= xk) bukanlah variable basis, maka hal ini menunjukkan adanya alternative penyelesaian. Alternatif penyelesaian didapat dengan “memaksa” variable xk menjadi basis (meskipun sebenarnya tabelnya sudah maksimal).

EXAMPLE Maksimumkan f(x1, x2)= 3x1 + x2 Kendala x1 + 2x2 ≤ 20 KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKS ALTERNATIF PENYELESAIAN EXAMPLE Maksimumkan f(x1, x2)= 3x1 + x2 Kendala x1 + 2x2 ≤ 20 3x1 + x2 ≤ 20 x1, x2 ≥ 0 SOLUTION Bentuk standar: Maksimumkan f(x1, x2, x3, x4) = 3x1 + x2 + 0x3 + 0x4 Kendala x1 + 2x2 + x3 = 20 3x1 + x2 + x4 = 20 x1, x2, x3, x4 = 0 Tampak bahwa tabel sudah optimal dengan penyelesaian optimal x1 = 4 dan x2 = 8. Perhatikan bahwa pada tabel di atas juga mengandung alternative penyelesaian karena x3 bukan merupakan variable basis, tapi c3 – z3 = 0. Jika kemudian table direvisi lagi dengan cara memaksakan x3 untuk menjadi basis, maka akan diperoleh kembali table optimal pada tabel diatas. Tampak bahwa pada table optimalnya, c2 – z2 = 0 meskipun x2 bukan variable basis. Ini menunjukkan adanya alternatif penyelesaian yang bisa diperoleh dengan memaksa x2 untuk menjadi basis.

PENYELESAIAN TAK TERBATAS KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKS PENYELESAIAN TAK TERBATAS Penyelesaian tak terbatas berarti f(x) bisa diperbesar (atau diperkecil) sampai titik tak berhingga. Setelah mendapatkan calon basis, langkah berikutnya adalah menguji apakah ada elemen aik (elemen dalam kotak vertikal) yang > 0. Jika ada maka langkah berikutnya adalah menghitung nilai 𝜽 dan menentukan variable yang harus keluar dari basis. Akan tetapi apabila semua aik ≤ 0, maka berarti penyelesaiannya tak terbatas (bisa dikatakan juga bahwa soal tidak memiliki penyelesaian).

EXAMPLE 1 Maksimumkan f(x1, x2) = 2x1 + 3x2 Kendala x1 – 2x2 ≤ 4 KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKS PENYELESAIAN TAK TERBATAS EXAMPLE 1 Maksimumkan f(x1, x2) = 2x1 + 3x2 Kendala x1 – 2x2 ≤ 4 x1 + x2 ≥ 3 x1, x2 ≥ 0 SOLUTION Bentuk standar: Maksimumkan f(x1 … x5) = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4 – Mx5 Kendala x1 – 2x2 + x3 =4 x1+ x2 - x4 + x5 = 3 x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0 Pada iterasi kedua, c4-z4 = 3 > 0. Karena satu-satunya yang masih bernilai positif, maka x4 menjadi calon basis. Akan tetapi a14 =-2 < 0 dan a24 = -1 <0 sehingga nilai 𝜽 tidak dapat dicari. Ini berarti bahwa soal memiliki penyelesaian tak terbatas

EXAMPLE 2 Minimumkan f(x1, x2) = -x1 - 2x2 Kendala -x1+x2 ≤ 2 KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKS PENYELESAIAN TAK TERBATAS EXAMPLE 2 Minimumkan f(x1, x2) = -x1 - 2x2 Kendala -x1+x2 ≤ 2 -2x1+x2 ≤ 1 x1, x2 ≥0 SOLUTION Bentuk standar: Minimumkan f(x1 … x5) = -x1-2x2+0x3+0x4 Kendala -x1+x2+x3 = 2 -2x1+x2+x4 = 1 x1 … x4 ≥ 0 Pada iterasi kedua, c4 - z4 = 3 > 0. Karena satu-satunya yang masih bernilai negatif, maka x4 menjadi calon basis. Akan tetapi a14 = -1 < 0 dan a24 = -1 < 0 sehingga nilai 𝜽 tidak dapat dicari. Ini berarti bahwa soal memiliki penyelesaian tak terbatas

KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKS Soal tidak fisibel Pengecekan soal yang tidak fisibel dapat dilihat pada nilai Cj – Zj. Setelah tidak ada Cj–Zj > 0 (untuk kasus memaksimumkan) atau Cj-Zj < 0 (untuk kasus meminimumkan), maka proses dilanjutkan dengan meneliti apakah ada variable semu yang masih bernilai positif. Jika tidak ada, maka penyelesaian optimal didapatkan. Akan tetapi, jika ada variable semu yang masih bernilai positif berarti soalnya tidak fisibel. Soal tak fisibel berarti soal tidak memiliki daerah fisibel (tidak memiliki titik yang memenuhi semua kendala) Dalam metode simpleks, variable semu berfungsi sebagai katalisator agar muncul matriks identitas sehingga proses simpleks dapat dilakukan. Pada iterasi pertama, variable semu akan dipakai sebagai variable basis. Untuk mempercepat keluarnya variable semu dari variable basis, maka pada fungsi sasarannya diberi koefisien M (untuk kasus meminimumkan) atau –M (untuk kasus memaksimumkan). Akan tetapi ada kalanya variable semu tetap merupakan variable basis pada table optimalnya. Hal ini menunjukkan bahwa soalnya tidak fisibel.

EXAMPLE 1 Maksimumkan f(x1, x2) = 4x1 + 3x2 Kendala x1 + x2 ≤ 3 KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKS Soal tidak fisibel EXAMPLE 1 Maksimumkan f(x1, x2) = 4x1 + 3x2 Kendala x1 + x2 ≤ 3 2x1 – x2 ≤ 3 x1 ≥ 4 x1, x2 ≥ 0 SOLUTION Bentuk standar: Maksimumkan f(x1 … x6)= 4x1 + 3x2 + 0x3+ 0x4 + 0x5 - Mx6 Kendala x1 + x2 + x3 = 3 2x1 - x2 + x4 = 3 x1 – x5 + x6 = 4 x1 … x6 ≥ 0 Pada iterasi terakhir, semua Cj–Zj ≤ 0. Ini menunjukkan bahwa table sudah optimal. Akan tetapi x6 yang merupakan variable semu masih tetap menjadi variable basis. Ini berarti bahwa soalnya tidak fisibel sehingga tidak memiliki penyelesaian optimal.

f(x1 … x6)= 2y1+4y2+0y3+0y4+My5+My6 KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKS Soal tidak fisibel EXAMPLE 2 Minimumkan f(x1, x2) = 2y1+4y2 Kendala 2y1-3y2 ≥ 2 -y1+y2 ≥ 2 y1, y2 ≥ 0 SOLUTION Bentuk standar: Minimumkan f(x1 … x6)= 2y1+4y2+0y3+0y4+My5+My6 Kendala 2y1 - 3y2 - y3 + My5 = 2 -y1+y2 - y4 + My6 = 3 y1 … y6 ≥0 Dapat dilihat bahwa pada iterasi pertama, variable Y6 keluar dari variable basis kemudian pada iterasi ke-2 variabel Y6 kembali menjadi variable basis. Karena kedua variable semu Y5 dan Y6 menjadi variable basis dan tidak dapat mencapai penyelesaian optimum, maka soal tidak fisibel.

KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKS KEMEROSOTAN (DEGENERASI) Kasus degenerasi terjadi apabila satu atau variable basis berharga nol sehingga iterasi yang dilakukan selanjutnya bisa menjadi suatu loop yang akan kembali pada bentuk sebelumnya. Kejadian ini disebut cycling atau circling. Namun ada kalanya pada iterasi berikutnya degenerasi ini menghilang. Kasus seperti ini disebut degenerasi temporer.

KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKS KEMEROSOTAN (DEGENERASI) EXAMPLE Maksimumkan f(x1, x2) = 5x1 + 3x2 Kendala 4x1 + 2x2 ≤ 12 4x1+ x2 ≤ 10 x1 + x2 ≤ 4 x1, x2 ≥ 0 SOLUTION Bentuk standar: Maksimumkan f(x1 … x5) = 5x1+3x2+0x3+0x4+0x5 Kendala 4x1+2x2+x3 = 12 4x1+x2+x4 = 10 x1+x2+x5 =4 x1 … x5 ≥ 0 Table 2 merupakan kelanjutan iterasi jika x5 keluar dari basis. Perhatikan bahwa meskipun jumlah iterasi hingga mencapai optimal pada Tabel 1 dan Tabel 2 tidak sama, namun keduanya menghasilkan penyelesaian optimal yang sama yaitu x1 = 2 dan x2 = 2 Pada iterasi ke-2 terdapat 2 buah nilai 𝜽 minimum yang sama-sama bernilai 2. Untuk itu dipilih salah satunya (x3 atau x5) secara sembarang. Perhatikan bahwa table 1 merupakan kelanjutan iterasi jika x3 keluar dari basis

KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKS KEMEROSOTAN (DEGENERASI) EXAMPLE DEGENERASI TEMPORER Maksimumkan z = 3x1 + 2x2 Kendala 4x1 + 3x2 ≤ 12 4x1 + x2 ≤ 8 4x1 - x2 ≤ 8 x1, x2 ≥ 0 SOLUTION Bentuk standar: Maksimumkan z = 3x1+2x2+0x3+0x4+0x5 Kendala 4x1+3x2+x3=12 4x1+x2+x4=8 4x1-x2+x5=8 x1…x5 ≥ 0

KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKS VARIABEL PENYUSUn TAK BERSYARAT Dalam bentuk standar program linier diisyaratkan bahwa semua variable penyusun harus ≥ 0. Apabila ada variable penyusun yang bernilai bebas (boleh negatif), maka sebelum masuk ke proses simpleks, masalah tersebut harus terlebih dahulu ditransformasi sehingga semua variable penyusun ≥ 0. Caranya adalah dengan menyatakan variable yang bernilai bebas tersebut sebagai selisih 2 variabel baru yang keduanya ≥ 0.

EXAMPLE 1 Maksimumkan f(x1, x2, x3) = 3x1+2x2+x3 Kendala KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKS VARIABEL PENYUSUn TAK BERSYARAT EXAMPLE 1 Maksimumkan f(x1, x2, x3) = 3x1+2x2+x3 Kendala 2x1+5x2+x3 ≤ 12 6x1+8x2 ≤ 22 x2, x3 ≥ 0 Perhatikan bahwa yang diisyaratkan ≥ hanyalah x2 dan x3 saja, sedangkan x1 bernilai sembarang. Untuk menjadikan ke bentuk standar program linier, maka x1 dinyatakan sebagai selisih 2 variabel baru x4 dan x5. x1=x4-x5 Kemudian substitusikan ke model SOLUTION Bentuk standar: Maksimumkan f(x2, x3, x4, x5)= 2x2+x3+3x4-3x5+0x6+0x7 Kendala 5x2+x3+2x4-2x5+x6 = 12 8x2+6x4-6x5+x7 = 22 x2…x7 ≥ 0 Sehingga soal menjadi: Maksimumkan f(x2, x3, x4, x5)= 3(x4-x5)+2x2+x3 Kendala 2(x4-x5)+5x2+x3 ≤ 12 6(x4-x5)+8x2 ≤ 22 x2, x3, x4, x5 ≥ 0 Penyelesaian optimal x2 = 0, x3 = 28/6 = 14/3, x4 = 22/6 = 11/3, x5 = x6 = x7 = 0. Jika dikembalikan ke soal aslinya, maka x1 = 11/3, x2 = 0 dan x3 = 14/3. Perhatikan di sini bahwa x1 yang bernilai sembarang tidak berarti harus bernilai negatif. Akan tetapi juga tidak boleh diasumsikan ≥ 0 sehingga proses simpleks juga tidak dapat langsung digunakan.

KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKS VARIABEL PENYUSUn TAK BERSYARAT EXAMPLE 2 Maksimumkan z = -2x1 + x2 Kendala x1+x2 ≤ 4 x1 - x2 ≤ 6 x1 ≥ 0 Perhatikan bahwa yang diisyaratkan ≥ 0 hanyalah x1 saja, sedangkan x2 bernilai sembarang. Untuk menjadikan ke bentuk standar program linier, maka x2 dinyatakan sebagai selisih 2 variabel baru x5 dan x6 x2= x5 – x6 SOLUTION Bentuk standar: Maksimumkan z = -2x1 + x5 - x6 + 0x3 + 0x4 Kendala x1+ x5 - x6 + x3 = 4 x1 – x5 + x6 + x4 = 6 x1, x3, x4, x5, x6 ≥ 0 Didapat solusi optimum x1 = 5, x6 = 1, x3 = x4 = x5 = 0. Jika dikembalikan ke soal aslinya maka akan didapat x1 = 5 dan x2 = -1 (di mana x2 = x5 – x6).

KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKS PEMROGRAMAN LINEAR KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKS Jurusan Matematika - FMIPA Universitas Udayana 2012