Proses Stokastik Semester Ganjil 2011

Solusi dari Birth and Death Process yang Tergantung Waktu Peluang bahwa proses berada pada state i pada waktu t: Pada waktu (t+∆t) proses dapat mengalami transisi ke state j dengan peluang: πj(t +∆t) Kemungkinan state j yang dituju adalah: i+1 or i-1 πi(t +∆t) didefinisikan dengan menjumlah aliran masuk dan keluar dari state i Sebagian tetap di i, sisanya keluar dengan laju ∆t λi dan ∆t µi Laju aliran masuk dari state sebelumnya ∆t λi-1 Laju aliran masuk dari state sesudahnya ∆t µi+1

Pure Birth Process Proses di mana hanya terdapat kelahiran (birth) tanpa kematian (death) Laju kematian nol Laju kelahiran sama untuk setiap state

Solusi dari Pure Birth Process Turunan pertama dari peluang pada saat t Dengan substitusi laju kelahiran λi = λ untuk semua i dan laju kematian μi = 0 untuk semua i, berawal dari state 0

Dengan definisi baru untuk menyelesaikan persamaan diferensial v

Secara rekursif: dst

Contoh: Suatu proses kelahiran murni dengan parameter kelahiran λ=2 individu/hari Berapa peluang bahwa pada hari ke dua tidak terdapat individu di dalam sistem? Berapa peluang bahwa pada hari ke dua terdapat paling banyak 1 individu?

Solusi dari Pure Death Process Proses di mana terdapat kematian tanpa kelahiran Laju kelahiran λ=0 Laju kematian tergantung dari jumlah individu i yang ada, dan setiap individu mempunyai laju kematian μi = μ untuk setiap i

Turunan pertama peluang pada waktu t Dengan substitusi laju kelahiran dan kematian yang sesuai, dimulai dari state ke n Solusi untuk state ke n:

Digunakan Q untuk menyelesaikan persamaan diferensial: v

Solusinya diperoleh secara rekursi dimulai dari state ke – n. Solusi untu state ke (n – 1)

Solusi untuk state ke (n-2)

Secara umum, solusi yang diperoleh adalah sistem mempunyai sebaran Binomial dengan peluang survival pada waktu t adalah e-µt

Contoh: Suatu populasi diawali dengan 10 individu, dan mengikuti proses kematian murni dengan parameter kematian µ=1 individu/hari. Berapa peluang kepunahan dari suatu individu pada populasi tersebut pada suatu hari ke t? Berapa peluang kepunahan dari suatu individu pada hari ke 10?

Single Server System, Kasus Khusus Birth and Death Process Suatu sistem dengan laju kelahiran dan laju kematian konstan Suatu kelahiran: kedatangan seorang pelanggan Suatu kematian: seorang pelanggan menyelesaikan layanannya. Hanya terdapat dua state 0 and 1

Solusi dari Single Server System Dari persamaan turunan pertama bagi peluang pada waktu t Substitusi nilai laju kelahiran dan kematian pada state 0 Substitusi nilai laju kelahiran dan kematian pada state 1

Penjumlahan dari kedua persamaan + Penggunaan Q untuk menyelesaikan perseamaan differensial

Solusi bagi persamaan diferensial Pada t = 0, sistem berada pada state 0 secara pasti dan mengarah pada kondisi awal untuk Q:

Menyelesaikan C untuk kondisi awal Definisi awal bagi Q:

Menyamakan (*) dan (**), menyelesaikannya untuk π0