Luas Daerah ( Integral )

Menghitung luas daerah dengan menggunakan integral

Luas daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva dapat ditentukan dengan menghitung integral tertentu.

Andaikan kurva y = f(x) dan kurva y = g(x) kontinu pada interval a ≤ x ≤ b, dan kurva y = f(x) terletak di atas atau pada kurva y = g(x), maka luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x), kurva y = g(x), garis x = a Dan x = b adalah sebagai berikut:

y1 =f(x) X Y O y2 =g(x) Luasnya ? x = a x = b L = ; f(x) > g(x)

Contoh 1: Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y = 3x2 + 6x , sumbu X, dan garis-garis x = 0 dan x = 2

Penyelesaian: Sketsalah terlebih dahulu grafik y = 3x2 + 6x Titik potong dengan sumbu X y = 0 → 3x2 + 6x = 0 → 3x(x + 2) = 0 x = 0 atau x = -2 sehingga titik potong dengan sumbu X adalah di (0,0) dan (-2,0)

Sketsa grafik y = 3x2 + 6x X Y O y = 3x2 + 6x L=? -2 x =2

y = 3x2 + 6x X Y O L=? -2 x =2 L =

Contoh 2: Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x3, sumbu Y, garis y = 8 adalah…

Penyelesaian: Sketsa grafik fungsi y = x3 dan garis y = 8 y = x3 y = 8 O

X Y O y = x3 y = 8

Jadi, luasnya adalah

Contoh 3: Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu X, dan garis y = x + 6 adalah…

Penyelesaian: Sketsa grafik y = x2 dan garis y = x + 6 y = x + 6 –6

? y = x + 6 y = x2 batas atas ditentukan oleh perpotongan kedua grafik –6 6 y = x2 y = x + 6 ? batas atas ditentukan oleh perpotongan kedua grafik

Titik potong antara y = x2 dan y = x + 6 x2 = x + 6  x2 – x – 6 = 0 –6 6 y = x2 y = x + 6 Titik potong antara y = x2 dan y = x + 6 x2 = x + 6  x2 – x – 6 = 0 (x – 3)(x + 2) = 0

(x – 3)(x + 2) = 0 x = 3  y = 9  (3,9) y = 4  (-2,4) x = -2  Y –6 6 y = x2 y = x + 6 9 -2 3 (x – 3)(x + 2) = 0 x = 3  y = 9  (3,9) y = 4  (-2,4) x = -2 

Jadi batas-batas pengintegralannya adalah x1 = 0 dan x2 = 3 –6 6 y = x2 y = x + 6 9 -2 3 Jadi batas-batas pengintegralannya adalah x1 = 0 dan x2 = 3

X Y –6 6 y = x2 y = x + 6 3 9 -2 L =

L = Jadi, luasnya adalah satuan luas

Pembahasan soal LUAS DAERAH (INTEGRAL)

Soal 1: Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 6x + 8 dan sumbu X adalah…

Penyelesaian: Sketsa grafik kurva y = x2 - 6x + 8 Titik potong dengan sumbu X y = 0 → x2 - 6x + 8 = 0 → (x - 2)(x - 4) = 0 → x1 = 2 dan x2 = 4 Sehingga titik potong dengan sumbu X di (2,0) dan (4,0)

L = Titik potong dengan sumbu X di (2,0) dan (4,0) X Y O y = x2 – 6x + 8 2 4 L=? L =

L = Jadi, luasnya adalah

Soal 2: Luas daerah yang dibatasi oleh Kurva y = x3 – 1, sumbu X, garis x = -1 dan x = 2 adalah…

Penyelesaian: Sketsa grafik y = x3 – 1 diperoleh dengan menggeser grafik y = x3 sejauh 1 satuan ke bawah

y = x3 Y y = x3 – 1 X –1 1 2 O x = 2 –1 x = –1 L =

L =

Jadi, luasnya adalah 4¾ satuan luas

Contoh 3: Luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi y = 2 – x2, dan garis y = x adalah…

Penyelesaian: Karena kedua titik batas pengintegralan belum diketahui, maka kita harus menentukannya, dengan cara menentukan titik potong kedua grafik fungsi

Penyelesaian: Titik potong grafik fungsi y = 2 – x2 dan y = x sebagai berikut; 2 – x2 = x x2 + x – 2 = 0 (x + 2)(x – 1) = 0  x1 = -2 dan x2 = 1 Luas daerah yang dimaksud seperti gambar berikut:

Luas daerah yang dimaksud seperti gambar berikut: X Y 2 y = x –2 1 y = 2 - x2

X Y –2 2 y = 2 - x2 y = x 1 L =

L = Jadi, luasnya adalah satuan luas