Daerah Integral dan Field

Daerah integral adalah ring komutatif dengan anggota satuan dan tidak mempunyai pembagi nol sedangkan field adalah ring komutatif dengan anggota satuan dan setiap anggota yang tidak nol mempunyai invers. Dalam bab ini akan dibahas tentang sifat-sifat dasar dari daerah integral dan field.

Teorema XII.1 (1) Jika a dalam A dan a mempunyai invers maka a bukan pembagi nol. (2) Jika A field maka A daerah integral.

Teorema XII.2 Jika A daerah integral berhingga maka field.

Teorema XII.3 Diketahui D daerah integral dan a, b dan c anggota dalam D dengan a ≠ 0. Sifat – sifat berikut ini berlaku : (1) Jika ab = ca maka b = c (kanselasi kiri). (2) Jika ba = ca maka b = c (kanselasi kanan). (3) Persamaan ax + b = 0 dengan x tidak diketahui paling banyak mempunyai satu penyelesaian.

Meskipun teorema tersebut di atas dinyatakan berlaku pada daerah integral tetapi sebenarnya juga berlaku pada sebarang ring yang tidak mempunyai pembagi nol sejati. Persamaan ax + b = 0 tidak perlu mempunyai suatu penyelesaian dalam Z tetapi bila a dan b anggota suatu field dan tidak nol maka teorema berikut ini menjamin adanya persamaan ax + b = 0.

Teorema XII.4 Diketahui F field dan a, b dalam F dengan a ≠ 0. Persamaan ax + b = 0 mempunyai tepat satu penyelesaian dalam F. Bukti : Karena a dalam F dan a tidak nol maka terdapatlah a-1 sehingga persamaan ax + b = 0 menjadi ax = - b x = a-1 (-b) x = - a-1 b. ▀

Soal XII.2 Buktikan bahwa satu-satunya elemen nilpoten dalam suatu daerah integral adalah elemen netral terhadap operasi penjumlahan atau 0. Jawab Misalkan a elemen nilpoten dalam suatu daerah integral maka terdapat bilangan bulat positif n sehingga an = 0. Jika n = 1 maka jelas a = 0 dan jika n > 1 maka an = a a n-1 = 0 dan karena dalam daerah integral tidak ada pembagi nol sejati maka a = 0. Terbukti satu-satunya elemen nilpotent dalam suatu daerah integral adalah elemen netral 0.

Soal XII.3 Buktikan bahwa selain 0 hanya elemen e yang merupakan elemen idempoten dalam suatu daerah integral. Jawab Misalkan a ≠ 0 dan a2 = a (a elemen idempoten). Karena ea = a maka ea = a2 = a sehingga ea – a2 = 0. Diperoleh (a – e) a = 0. Karena daerah integral tidak mempunyai pembagi nol sejati maka a – e = 0 sehingga a = e.