DISTRIBUSI NORMAL Srikandi Kumadji

DISTRIBUSI NORMAL Ciri-ciri distribusi/kurva Normal  

Model Matematika

DISTRIBUSI NORMAL Kurvanya berbentuk garis lengkung yang halus dan berbentuk seperti genta. Simetris terhadap mean  Kedua ekor/ujungnya semakin mendekati sumbu absisnya tetapi tidak pernah memotong. Jarak titik belok kurva tersebut dengan sumbu simetrisnya sama dengan  Luas daerah di bawah lengkungan kurva tersebut dari - ~ sampai + ~ sama dengan 1 atau 100%.

DISTRIBUSI NORMAL Karena persamaan kurva normal tersebut di atas tergantung pada nilai-nilai  dan , maka kita akan mempunyai bermacam-macam bentuk kurva tergantung dengan nilai  dan  tersebut. Untuk menyederhanakan kemudian dibuat kurva normal standard.

KURVA NORMAL STANDARD adalah kurva normal yang sudah diubah menjadi distribusi nilai Z, di mana distribusi tersebut akan mempunyai  = 0 dan deviasi standard  =1. Z =

KURVA NORMAL STANDARD

Kira-kira 68% dari data observasi akan berada dalam daerah satu  disekitar . Jadi antara  -  dan  + . Kira-kira 95% dari data observasi akan berada dalam daerah  - 2 dan  + 2. Kira-kira 99% dari data observasi akan berada dalam daerah  - 3 dan  + 3.

Nilai Z (standard units) angka yang menunjukkan penyimpangan suatu nilai variabel (X) dari mean μ dihitung dalam satuan deviasi standard 

Untuk mengetahui berbagai luas di bawah lengkungan kurva normal standard sudah tersedia tabelnya yakni Tabel - Luas Kurva Normal.

Luas Kurva Normal Contoh: Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,2390 0,0279 0,2790 0,0359 0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0753 0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 1,2 0,3944 Contoh: Misalkan dipunyai kurva normal dengan  = 100 dan  = 20. a. Hitunglah luas kurva normal antara 100-125. ini sama saja dengan mencari P (100  X 125). Z = = = 1,25 Menurut Tabel luasnya 0,3944 atau 39,44%

= = -1 b. Hitunglah luas kurva normal antara 80—100. Dinyatakan dengan P(80  X  100). Z = = = -1 Menurut Tabel luasnya 0,3413 atau 34,13%

Luas Kurva Normal c.Hitunglah luas kurva normal antara 75—120. Dinyatakan dgn P(75  X  120). Luasnya = area Z2 – Z1 Z1 = = = -1,25 luasnya 0,3944 Z 2 = = + 1 luasnya 0,3413 Jadi luas seluruhnya adalah 0,3944+0,3413=0,7357 atau 73,57%.

Luas yang ditanyakan = 0,4332 - 0,1915 = 0,2417 atau 24,17%. d. Hitunglah luas kurva normal antara 110—130. Dinyatakan dengan P(110X 130). Luasnya = area Z2 – Z1 Z2 = = 1,5 luasnya 0,4332 Z1 = = 0,5 luasnya 0,1915 Luas yang ditanyakan = 0,4332 - 0,1915 = 0,2417 atau 24,17%.

Luas yang ditanyakan = 0,4772 — 0,2734 = 0,2038 atau 20,38% e.Hitunglah luas kurva normal antara 60—85. Dinyatakan dgn P(60 X 85). Luasnya = area Z2 – Z1 Z 1 = = - 2 luasnya 0,4772 Z2 = = - 0,75 luasnya 0,2734 Luas yang ditanyakan = 0,4772 — 0,2734 = 0,2038 atau 20,38%

Luas yang ditanyakan = 0,5 — 0,4599 = 0,0401 atau 4,01%. f. Hitunglah luas kurva normal 135 ke kanan. Di sini sama saja menghitung probabilitas untuk nilai X yang sama atau lebih besar dari 135. Dinyatakan dengan P(X 135). Luasnya = area 0,5 — Z = = 1,75 luasnya 0,4599 Luas yang ditanyakan = 0,5 — 0,4599 = 0,0401 atau 4,01%.

Luasnya = area 0,5 - Z = - 0,5 luas 0,1915 = 0,3085 atau 30,85%. g. Hitunglah luas kurva normal 90 ke kiri. Dinyatakan dengan P(X<90). Luasnya = area 0,5 - Z Z = = - 0,5 luas 0,1915 P(X 90) = 0,5 — 0,1915 = 0,3085 atau 30,85%.

h. Hitunglah luas kurva normal 135 ke. kiri h. Hitunglah luas kurva normal 135 ke kiri. Di sini sama saja menghitung probabilitas untuk nilai X yang sama atau kurang dari dari 135. Dinyatakan dengan P(X ≤135).

i. Hitunglah luas kurva normal 90 ke kanan. Dinyatakan dengan P(X≥90)

Diselidiki hasil panenan pada dari 300 orang petani di suatu daerah Diselidiki hasil panenan pada dari 300 orang petani di suatu daerah. Dari hasil penyelidikan tersebut kita ketahui bahwa hasil panenan rata-rata (μ) = 50 kw dengan standar deviasi (σ) = 10 kw. Seandainya hasil panenan padi dari 300 orang petani tersebut mendekati distribusi normal, ditanyakan: Berapa probabilitasnya dari petani-petani tersebut yang hasil panenannya yang berkisar 40 sampai dengan 65 kw. Ditanyakan dengan P(40≤X ≤65).

Berapa proporsi petani yang hasil panenannya berkisar antara 50 sampai dengan 70 kw?

c. Berapa persen petani yang hasil panennya 75 kw atau lebih? Z = = 2,50 Luasnya = 0,4938 Luasnya daerah yang diarsir = 0,50 — 0,4938 = 0,0062 atau 0,62%. d. Berapa proporsi petani yang hasil panenannya 35 kw atau kurang? = - 1,50 Luasnya = 0,4332 Z = Luas daerah yang diarsir 0,50 — 0,4332 = 0,0668.

e. Sepuluh persen (10%) dari para petani tersebut mempunyai hasil panenan beberapa kw. Di dalam tabel yang mendekati 45% adalah 44,95%, terletak pada nilai Z = 1,64. Z1 = Z2 = X2 – 50 - 1,64 = 1,64 (10) = X2 —50 -1,64 (10) = X1 – 50 X2 = 66,4 X1 = 33,6

f.Berapa hasil panenan paling rendah bagi 25% petani yang mempunyai hasil panenan tinggi. Di dalam tabel yang mendekati 25% adalah 24,86%, terletak pada nilai Z = 0,67. 0,67 = 0,67(10) = X - 50 X = 56,7.

PENDEKATAN KURVA NORMAL UNTUK DISTRIBUSI BINOMIAL Apabila p sama dengan 1/2 dan n adalah besar, maka distribusi binomial akan mendekati distribusi normal. Di dalam praktiknya, daerah kurva normal dapat dipergunakan untuk menghitung probabilitas binomial, walaupun n adalah relatif kecil dan p tidak sama dengan 1/2. Oleh karena distribusi binomial mempunyai variabel discrete, sedangkan distribusi normal bervariabel kontinyu, maka dalam menggunakan distribusi normal untuk memecahkan persoalan bino­mial perlu diadakan penyesuaian sebagai berikut: untuk harga variabel X batas bawah diundurkan 0,5 dan harga variabel X batas atas diajukan 0,5.

Contoh1: Besarnya probabilitas untuk memperoleh 5 permukaan A dalam 12 kali lemparan dari mata uang logam yang masih baik, dapat dihitung sebagai berikut: N = 12, X =5, dan p = l/2 P(5; 12) = = 792 x 1/32 x 1/128 = = 0,1934

PENDEKATAN KURVA UNTUK DISTRIBUSI BINOMIAL Apabila kita gunakan kurva normal  = np = 12(1/2) = 6  = = 1,732 Z1 = Z2= Luasnya masing-masing adalah 0,3078 dan 0,1141. Jadi luas 4,5 sampai 5,5 = 0,3078-0,1141 = 0,1937. Perbedaan antara hasil rumus binomial dengan normal = 0,1937 —0,1934 = 0,0003, karena kecil sekali dapat kita abaikan.

Contoh 2: n = 400, P =10%  = np = 400. 10% = 40  = = 1,75 Sebuah mesin pencetak menghasilkan barang cetakan yang rusak sebanyak 10%. Dari sampel sebanyak 400 barang cetakan dari proses produksi yang sedang berjalan, tentukan probabilitasnya: n = 400, P =10%  = np = 400. 10% = 40  = a. Yang rusak 50. = 1,75 Z1 = luasnya 0,4599 Z2 = = = 1,58 luasnya 0,4429 Jadi luas antara 49,5 — 50,5 adalah: 0,4599 — 0,4429 = 0,1170.

PENDEKATAN KURVA UNTUK DISTRIBUSI BINOMIAL b.Yang rusak antara 30 dan 50. Z1 = = = - 1,75 luasnya 4599 Z2 = = 1,75 luasnya 0,4599 Jadi luas antara 29,5 – 50,5 adalah: 0,4599 + 0,4599 = 0,9198

PENDEKATAN KURVA UNTUK DISTRIBUSI BINOMIAL c. Yang rusak paling banyak 30. Z = = = -1,58 luasnya 0,4429 Jadi luas 30,5 ke kiri adalah 0,5 – 0,4429 = 0,0571. d. 55 atau lebih akan rusak Z = = 2,42 luasnya 0,4922 jadi 54,5 ke kanan adalah: 0,5 – 0,4922 = 0,078

KALAU BEGITU……. TERIMA KASIH