RUANG VEKTOR (1)

RV. 1. PENDAHULUAN Ruang vektor dengan dimensi terhingga Ruang Vektor V, yang elemennya disebut vektor , melibatkan sembarang bagian (medan) K , yang elemennya disebut skalar. Notasi yang akan dipergunakan dalam pembahasan berikutnya dalam bab ini (kecuali diberikan petunjuk khusus) adalah ; V : yang vektor yang diketahui u,v,w : vektor-vektor di dalam V K : medan bilangan yang di ketahui a,b,c dan k : skalar-skalar di dalam K a A : Elemen a termasuk dalam himpunan A a,b  A : elemen a dan b termasuk dalam himpunan A  x  A : untuk setiap x di dalam A A  B : A adalah subhimpunan bagian dari B A  B : Irisan A dan B A  B : Gabungan A dan B  : Himpunan kosong

RV. 2 RUANG VEKTOR Definisi :misalkan V adalah suatu himpunan bukan kosong dengan dua operasi : Penjumlahan vektor : untuk sembarang u,v V, jumlah u + v di dalam V (ii) Perkalian Skalar : untuk sembarang u  V, k K, hasilkali ku  V Maka V disebut ruang vektor (atas medan K )jika aksioma-aksioma berikut ini dipenuhi untuk sembarang vektor u,v,w  V [A1 ] (u+v) + w = u + (v + w) [A2 ] terdapat vektor di dalam V , yang dilambangkan dengan 0 dan disebut vektor nol, sedemikain rupa sehingga untuk sembarang  V , u + 0 = 0 + u = 0 [A3 ] untuk setiap u  V, terdapat vektor di dalam V , yang dilambangkan dengan –u dan disebut negatif dari u sedemikian rupa sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0 [A4 ] u+v = v + u [M1 ] k (u+v) = ku +kv , untuk sembarang skalar k  K [M2 ] (a + b)u = au + bu, untuk sembarang skalar a,b  K [M3 ] (ab)u = a(bu), untuk sembarang skalar a,b  K [M4 ] 1u = u, untuk skalar 1 K

Aksioma-aksioma di atas secara alami terbagi ke dalam dua himpunan. Empat aksioma bagian pertama [A1…A4] berhubungan hanya dengan struktur penjumlahan pada V, dan dapat diringkas dengan mengatakan V adalah kelompok komutatif dalam penjumlahan. Ini berarti : (a) Sembarang penjumlahan vektor-vektor v1 + v2 + … + vm tidak membutuhkan tanda kurung dan tidak bergantung pada urutan operasi penjumlahan Vektor nol (0) adalah unik dan bentuk negatif (-u) dari vektor U , adalah unik Hukum pembatalan: jika u + w = v + w, maka u = v Empat aksioma sisanya berkaitan dengan “tindakan” medan skalar K pada ruang vektor V TEOREMA : RV.1 : Misalkan V adalah ruang vektor atas medan K . untuk sembarang skalar kK dan 0  V, k0 = 0. Untuk 0K dan sembarang vektor u V, 0u = 0 Jika ku = 0, di mana kK dan u  V, maka k = 0 atau u = 0. Untuk sembarang kK dan sembarang uV, (-k)u = k(-u) = -ku

Contoh-Contoh Ruang Vektor 1. Ruang Vektor K n K adalah sembarang medan. Notasi K n merupakan ruang vektor atas dengan menggunakan operasi-operasi berikut : Penjumlahan vektor : (a1, a2,a3,...,an) + (b1,b2,b3,…,bn) = (a1+b1, a2 +b2, a3+b3, ….,an +bn) Perkalian skalar : k(a1,a2,a3,…,an) = ka1,ka2,ka3,..,kan

P(t) = a0 +a1t +a2t2 +a3t3 +….+ asts ; (s = 1,2,3,…) 2. Ruang Polinomial P(t) P(t) = a0 +a1t +a2t2 +a3t3 +….+ asts ; (s = 1,2,3,…) dimana as termasuk dalam suatu medan K. maka P(t) adalah ruang vektor atas K dengan menggunakan operasi berikut ; Penjumlahan vektor : disini p(t) + q(t) dalam P(t) adalah operasi biasa untuk penjumlahan polinomial Perkalian Skalar : disini kp(t) dalam P(t) adalah operasi perkalian biasa antara skalar k dan polinomial p(t). Polinomial nol 0 adalah vektor nol dalam P(t)

3. Ruang Matrik Mm,n Notasi Mm,n atau disingkat dengan M, akan digunakan untuk melambangkan himpunan semua matriks mxn dengan entri-entri dalam suatu medan K. Maka Mm,n adalah ruang vektor atas K dalam kaitannya dengan operasi penjumlahan matriks dan operasi perkalian skalar matriks.

4. Ruang Fungsi F(x) misalkan X adalah himpunan bukan-kosong dan misalkan K adalah sebarang medan. Misalkan F(x) melambangkan himpunan semua fungsi X kedalam K . Maka F(x) adalah ruang vektor atas K dalam kaitannya dengan operasi-operasi berikut : Penjumlahan Vektor Perkalian Vektor :

(i) Penjumlahan Vektor Jumlah dari dua fungsi f dan g dalam F(X) adalah fungsi f + g dalam F(X) yang didefinisikan sebagai : (f+g)(x) = f(x) + g(x) x  X

(ii) Perkalian Skalar Hasil kali dari skalar k K dan fungsi f dalam F(X) adalah fungsi kf dalam F(X) yang didefinisikan sebagai : (kf)(x) = kf(x) x  X Vektor nol dalam F(X) adalah fungsi nol 0, yang memetakan setiap x  X ke dalam elemen nol 0  K, yaitu 0(x) = 0 x  X Selain itu untuk sebarang fungsi f dalam F(X), fungsi –f dan F(X) yang didefinisikan sebagai : (-f)(x) = - f(x) x  X adalah negatif dari fungsi f.

5. Medan dan Submedan anggaplah medan E adalah perluasan medan K, dengan kata lain anggaplah E adalah medan dengan K sebagai submedannya. Maka E dapat dilihat sebagai ruang vektor atas K dengan menggunakan operasi-operasiberikut ini : Penjumlahan Vektor : disini u + v dalam E adalah penjumlahan biasadi dalam E Perkalian vektor : di sini ku dalam E, dimana k  K dan u  E, adalah hasilkali biasa antara k dan u sebagai elemen-elemen E

RV. 4 Kombinasi Linier dan Himpunan Rentangan Misalkan V adalah suatu ruang vektor atas medan K. vektor v dalam Vadalah kombinasi linier dari vektor-vektor u1, u2, … , um dalam V jika terdapat skalar-skalar a1,a2,…, am dalam K sedemikian rupa sehingga : v = a1u1 +a2u2 + … + amum Atau , v adalah kombinasi linier dari u1,u2, …, um jika terdapat solusi bagi persamaan vektor v = x1u1 + x2u2 + … + xmum dimana x1,x2,..,xm adalah skalar-skalar diketahui.

contoh V = (3,7,-4) pada R3 sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor : U1 = (1,2,3); u2= (2,3,7); u3 = (3,5,6) Kita tentukan skalar-skalar dari x,y,z sedemikian rupa sehingga v = xu1 + yu2 + zu3; yaitu : atau : x + 2y +3z = 3 2x + 3y + 5z = 7 3x + 7y + 6z = -4 Sehingga di dapat ; x = 2; y =-4; z = 3 Jadi v = 2 u1 – 4 u2 + 3 u3

RV. 5 SUB RUANG Definisi : misalkan V adalah ruang vektor atas medan K dan misalkan W adalah subhimpunan dari V. maka W adalah subruang dari V, jika W itu sendiri adalah ruang vektor atas K dalam kaitannya dengan operasi penjumlahan vektor dan operasi perkalian skalar pada V.

TEOREMA (b’) untuk setiap u,v W, a,b K, kombinasi linier au + bv  W Anggaplah W adalah subhimpunan dari ruang vektor V. maka W adalah subruang dari V jika dua syarat berikut ini terpenuhi : (i) vektor nol 0 termasuk dalam W (ii) untuk setiap u,v W, k K : (a) jumlah u + v  W (b) kelipatan ku W Sifat (i) pada (b) menyatakan bahwa W tertutup dalam penjumlahan vektor, dan sifat (ii) pada (b) menyatakan bahwa W tertutup dalam perkalian skalar. Kedua sifat ini dapat digabungkan menjadi sebuah pernyataan tunggal yang ekuivalen berikut : (b’) untuk setiap u,v W, a,b K, kombinasi linier au + bv  W

Contoh 2 Kombinasi linier dalam polinomial P(t) adalah v = 3t2 + 5t – 5, sbg kombinasi linier dari polinomial : p1 = t2 + 2t + 1; p2= 2t2 + 5t + 4 ; p3= t2 + 3t +6 Tentukan x,y,z sedemikian rupa sehingga v = xp1 + yp2 + zp3

PR Nyatakan v = (2,-5,3) dalam R3 sbg kombinasi linier dari vektor u1= (1,-3,2); u2=(2,-4,-1); u3= (1,-5,7) Nyatakan polinomial dari v = t2 + 4t – 3 dalam P(t) sebagai kombinasi linier dari polinomial dari : p1 = t2 – 2t +5 p2 = 2t2 - 3t p3 = t +1

RV. 6 Rentang Linier, Ruang Baris dari Matriks Anggap u1,u2,…,um adalah sebarang vektor-vektor pada ruang vektor V. Kumpulan dari semua kombinasi linier semacam ini, yang dinyatakan sebagai : Rentang (u1,u2,..,um) atau rentang (ui) Disebut rentang linier (linier span) dari u1,u2,u3,..,um. Jelas bahwa vektor nol 0 termasuk dalam rentang (ui), karena 0 = 0u1 +0u1 + 0u3 + … + 0um Lebih lanjut anggaplah v dan v’ termasuk dalam rentang (ui), misal : v = a1u1 + a2u2 +…. + amum dan v’ = b1u1 + b2u2 +…+ bmum Maka untuk sembarang skalar k  K, kita memperoleh : V + v’ = (a1+b1) u1 + (a2+b2)u2 + … + (am+bm) um Dan kv = ka1u1 + ka2u2 + …..+ kamum