RELASI (Relation) FUNGSI PROPOSIONAL RELASI RELASI SEBAGAI PASANGAN TERURUT RELASI INVERS RELASI REFLEKTIF RELASI SIMETRIS RELASI ANTI SIMETRIS RELASI TRANSITIF RELASI EKIVALEN DOMAIN DAN DAERAH RELASI RELASI DAN FUNGSI

FUNGSI PROPOSIONAL Didefinisikan pada Perkalian Cartesian AB dari dua himpunan A dan B oleh sebuah ekspresi yang ditulis P(x,y) P(x,y) disebut kalimat terbuka dari dua variabel (open sentence) P(a,b) dengan a dan b sebagai subsitusi dari variabel x dan y Untuk setiap (a,b) AB, P(a,b) bisa salah atau benar

P(x,y) = “x menulis y” P(Shakespeare,Hamlet)  benar P(Shakespeare, Faust)  salah P(x,y) = “x lebih kecil dari y” P(x,y) = “x beratnya y kg” P(x,y) = “x dapat membagi y” P(x,y) = “x adalah istri dari y” P(x,y) = “segitiga x mirip dengan segitiga y”

RELASI Sebuah relasi terdiri dari : 1. Sebuah himpunan A 2. Sebuah himpunan B 3. Sebuah kalimat terbuka P(x,y) dimana P(a,b) bisa benar atau salah untuk setiap pasangan terurut (a,b) AB. Relasi dari A ke B : R = (A,B,P(x,y))

Bila P(a,b) benar ditulis a R b Bila P(a,b) salah ditulis a R b R1 = (N,N, P(x,y)), N = bilangan bulat, P(x,y)=“x dapat membagi y” 3 R1 12 2 R1 7 5 R1 15 6 R1 13 R1 adalah suatu relasi

R2 = (A,B, P(x,y)), A = himpunan pria, B = himpunan wanita P(x,y) = “ x dapat membagi y” P(x,y) tidak mempunyai arti R2 bukan suatu relasi

HIMPUNAN JAWAB DARI RELASI Himpunan Jawab (Solution sets) : R* = {(a,b)|aA, b B, P(a,b) adalah benar} R*  AB  R* dapat digambarkan pada diagram koordinat AB Grafik Relasi dari A ke B terdiri dari titik-titik pada diagram koordinat AB yang merupakan anggota/elemen dari R*

P(x,y) =“x dapat membagi y” R* = {(2,4), 2,6),3,3), (3,6), (4,4)} Misalkan R = (A,B,P(x,y)), A = {2, 3, 4} B = {3,4,5,6} P(x,y) =“x dapat membagi y” R* = {(2,4), 2,6),3,3), (3,6), (4,4)} 6 5 4 3 2 3 4

Misalkan R = (R#, R#,P(x,y)) R# = bilangan nyata P(x,y) =“y lebih kecil dari x + 1” y=x+1 2 1 -1 -2 -2 -1 1 2

RELASI SEBAGAI HIMPUNAN DARI PASANGAN TERURUT Misalkan R*  AB Dapat didefinisikan R=(A,B, P(x,y)) P(x,y) = “pasangan terurut (x,y)  R*”

RELASI INVERS Setiap relasi R dari A ke B mempunyai sebuah relasi invers R-1 dari B ke A yang didefinisikan sebagai : R-1 = {(b,a)| (a,b) R} Misalkan A={1, 2, 3} dan B = {a, b} R = {(1,a), (1,b), (3,a)} R-1 = {(a,1), (b,1), (a,3)}

RELASI REFLEKSIF Misalkan R = (A, A, P(x,y)) R adalah relasi refleksif bila : Untuk setiap a A, (a,a) R Misalkan V={1, 2, 3, 4} R = {(1,1), (2,4), (3,3), (4,1), (4,4)} (2,2) R  R bukan relasi refleksif

RELASI SIMETRIS Misalkan R = (A, A, P(x,y)) R adalah relasi simetris bila : (a,b) R  (b,a) R Misalkan S={1, 2, 3, 4} R = {(1,3), (4,2), (2,4), (2,3), (3,1)} (2,3) R tetapi (3,2) R  R bukan relasi simetris Misalkan R = (N,N,P(x,y)) P(x,y) = “x dapat membagi y” (2,4) R tetapi (4,2) R  R bukan relasi simetris R = R-1  R = simetris

RELASI ANTI-SIMETRIS Misalkan R = (A, A, P(x,y)) R adalah relasi antisimetris bila : (a,b) R dan (b,a) R  a = b Misalkan W={1, 2, 3, 4} R = {(1,3), (4,2), (4,4), (2,4)} (4,2) R dan (2,4)  R  R bukan relasi anti-simetris

RELASI TRANSITIF Misalkan R = (A, A, P(x,y)) R adalah relasi transitif bila : (a,b) R dan (b,c) R  (a,c) R R =(R#, R#,P(x,y) P(x,y) = “ x lebih kecil dari y” a < b dan b < c  a < c R  R adalah relasi transitif

RELASI EKIVALEN R disebut relasi ekivalen bila : R = relasi reflektif R = simetris R = transitif R =(R#, R#,P(x,y)) P(x,y) = “ x sama dengan y” a=a  R reflektif a=b  b = a  R simetris a= b dan b = c  a = c  R transitif R adalah relasi ekivalen

DOMAIN DAN DAERAH RELASI Misalkan R = (A, B, P(x,y)) dan R AB Domain dari R adalah : D = {a|a A, (a,b) R Range dari R adalah : E ={b|b B, (a,b) R Misalkan A = {1, 2, 3, 4} dan B = {a, b, c} R = {(2,a), (4,a), (4,c)} Domain dari R = {2,4} Range dari R = {a,c}

RELASI DAN FUNGSI Fungsi dari A ke B f:AB  AB dimana setiap a A, akan muncul dalam satu dan hanya satu pasangan terurut  f Oleh karena setiap himpunan bagian dari AB adalah suatu relasi, maka : Fungsi adalah tipe spesial dari relasi. Satu persoalan penting dalam matematika adalah apakah suatu relasi dalam bilangan nyata yang didefinisikan dengan persamaan berbentuk : F (x,y) = 0 adalah suatu sebuah fungsi ? Dapat dinyatakan sebagai y = f(x) ?

P(x,y) = “Jumlah kuadrat x dan kuadrat y adalah 25” R = (R#, R#,P(x,y)) P(x,y) = “Jumlah kuadrat x dan kuadrat y adalah 25” x2 + y2 = 25  F(x,y) = x2 + y2 - 25 = 0 5 -5 - 5 (3,4) (3,- 4) (3,4)  R (3, - 4)  R Relasi R bukan sebuah Fungsi

TEORI HIMPUNAN LANJUT ALJABAR HIMPUNAN PRINSIP DUALITAS HIMPUNAN TERINDEKS PARTISI RELASI EKIVALEN DAN PARTISI

ALJABAR HIMPUNAN Hukum-hukum Idem : 1a) A  A = A 1b) A A = A Hukum-hukum Asosiatif : 2a) (A  B)  C= A  (B  C) 2b) (A  B)  C= A  (B  C)

Hukum-hukum Komutatif : 3a) A  B = B  A 3b) A  B= B  A Hukum-hukum Distributif : 4a) A  (B  C) = (A  B) (A C) 4b) A  (B  C) = (A  B) (A  C) Hukum-hukum Identitas : 5a) A   = A 5b) A  U =A 6a) A  U = U 6b) A   = 

Hukum-hukum Komplemen : 7a) A  A’ = U 7b) A A’ =  8a) (A’)’ = A 8b) U’ =  ’ = U Hukum-hukum Morgan : 9a) (A  B)’ = A’ B’ 9b) (A  B)’ = A’  B’