Estimasi Model ARCH untuk Volatility dari Return Aset dengan Menggunakan Metode MCMC Imam Malik Safrudin Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Salatiga imammaliks@live.com www.arian.web.id/imam

PENDAHALUAN

Latar Belakang Pemodelan volatility pada return aset merupakan salah satu dari sekian banyak topik dalam dasar teori runtun waktu ekonomi keuangan, termasuk autoregressive conditional heterescedacity (ARCH) yang diperkenalkan oleh Engle (1982). Kemudian pada tahun 1986 Bollerslev memperumum model ARCH ke model Generalized Conditional Heteroscedastic (GARCH). Suatu model yang jauh lebih realistis dari model-model jenis GARCH yaitu model stochastic volatility (SV) diperkenalkan oleh Taylor (1982) dan realized variance (RV) diperkenalkan oleh Anderson dkk. (2001). Menurut Jones dan Wilson (1989) volatility mempresentasikan perubahan harga aset atau presentasi harga aset. Volatility mengacu pada tingkat pergerakan harga aset yang berubah-ubah. Pemantau risiko dari harga aset mengukur dan memprediksi volatility sebagai indikator utama, karena nilai-nilai yang lebih tinggi menyiratkan kesempatan yang lebih tinggi dari suatu perubahan harga aset yang besar.

Lanjutan Kebanyakan studi keuangan melibatkan return daripada harga aset. Campbell dkk. dalam Tsay (2010), memberikan dua alasan mengapa menggunakan return. Pertama, untuk investor pada umumnya, return pada sebuah aset merupakan hasil akhir atau ringkasan skala kebebasan dari peluang investasi. Kedua, runtun return lebih mudah untuk ditangani dari pada runtun harga, karena return memiliki sifat statistik yang lebih menarik. Nastiti (2012) sudah mendiskusikan volatility yang mengikuti model ARCH pada saham yang mengasumsikan return berdistribusi normal dan diselesaikan dengan metode Lagrange Multiplier (LM). Dalam studi ini akan difokuskan pada model volatility menggunakan ARCH model dengan mengasumsikan bahwa return berdistribusi normal dan student-t. Dalam hal ini model akan diestimasi dengan menggunakan metode Markov Chain Monte Carlo (MCMC). Carlin dan Chib (1995) menjelaskan metode MCMC dapat memudahkan permodelan yang cukup kompleks dalam analisis Bayes.

Perumusan Masalah Bagaimana mengestimasi model ARCH untuk volatility dengan menggunakan metode MCMC dan mengaplikasikannya untuk kurs nilai jual rupiah terhadap Euro (EUR), Japanese Yen (JPY) dan US Dollar (USD) untuk periode mendatang.

Tujuan Penelitian Menyajikan model ARCH untuk volatility dengan distribusi normal dan student-𝑡 untuk error dari return. Menyediakan algoritma MCMC untuk mengestimasi model ARCH. Menyajikan hasil studi empiris dari model ARCH untuk data nyata.

Batasan Masalah Pembahasan dan analisis difokuskan pada data kurs nilai jual rupiah terhadap Euro (EUR), Japanese Yen (JPY) dan US Dollar (USD) periode 5 Januari 2009–31 Desember 2014 yang diambil dari arsip Bank Indonesia (BI) melalui laman http://www.bi.go.id/id/moneter/informasi-kurs/transaksi-bi/Default.aspx. Penghitungan menggunakan alat bantu Matlab R2009a.

DASAR TEORI

Return dalam Pemodelan Keuangan Dalam beberapa masalah dalam keuangan, titik pangkalnya adalah suatu runtun waktu dari harga aset. Contoh aset antara lain yaitu yang diperdagangkan dalam pasar forex (mata uang), bursa saham (saham dan surat berharga (bond)), dan pasar komoditas (misalnya kelapa sawit, karet, dan komoditas lainnya). Untuk beberapa alasan statistis, ini lebih baik untuk tidak bekerja secara langsung dengan data runtun harga aset, sehingga runtun harga aset biasanya dikonversikan ke runtun return. Naskah keuangan akademik pada umumnya menggunakan rumus persentase log-return (Brooks, 2000): 𝑅 𝑡 =100×ln 𝑆 𝑡 𝑆 𝑡−1 , (1) dimana St adalah harga aset pada waktu t. Rumus di atas juga dikenal sebagai return majemuk kontinu (continuously compounded return) atau return geometrik. Dua alasan utama dari penggunaan rumus tersebut dapat dilihat dalam Brooks (2000).

Teori Bayes (Koop et al., 2007) Teorema Bayes memungkinkan sumber informasi sampel (fungsi likelihood) dan distribusi prior dapat digabung menjadi distribusi posterior. Fungsi likelihood merupakan probabilitas data yang tergantung pada parameter model, sedangkan distribusi prior merupakan sebuah distribusi parameter yang sudah ditetapkan sebelumnya. Diperhatikan: 𝑝 𝑦,𝜃 =𝑝 𝜃 𝑝 𝑦 𝜃 =𝑝 𝑦 𝑝 𝜃 𝑦 (2) dimana 𝑝 𝜃 merupakan distribusi prior dan 𝑝 𝜃 𝑦 adalah distribusi posterior. Dalam hal ini 𝑝 𝑦 𝜃 dipandang sebagai fungsi 𝜃 untuk 𝑦 yang sudah diketahui yaitu sembarang fungsi yang sebanding dengan fungsi likelihood yang dinotasikan 𝐿 𝜃 . Dengan kata lain, 𝐿 𝜃 =𝑝 𝑦 𝜃 . Dicatat bahwa: 𝑝 𝑦 = Θ 𝑝 𝜃 𝐿 𝜃 𝑑𝜃 (3) adalah distribusi marginal dari data yang diamati (dikenal juga sebagai marginal likelihood), dimana Θ adalah ruang parameter. Dari (1), teorema Bayes untuk distribusi posterior yaitu: 𝑝 𝜃 𝑦 = 𝑝 𝜃 𝐿 𝜃 𝑝 𝑦 ∝𝑝 𝜃 𝐿 𝜃 (4)

Metode MCMC Menurut Casella dan Berger (2002), Markov Chain Monte Carlo (MCMC) merupakan sebuah metode untuk membangkitkan peubah- peubah acak yang didasarkan pada rantai markov. Pengambilan sampel pada MCMC digunakan untuk mengatasi masalah kompleksitas komputasi yang merupakan kelemahan utama dari pendekatan Bayesian. MCMC sering digunakan karena merupakan salah satu alat estimasi terbaik (Anderson dkk., 1999).

Langkah-langkah MCMC Langkah-langkah yang harus dilakukan dalam implementasi metode MCMC melibatkan dua langkah (Nugroho, 2014). Langkah pertama yaitu membangun Markov Chain yang merupakan urutan variabel acak 𝜃 (𝑖) 𝑖=1 𝐺 , yang konvergen ke distribusi posterior 𝑝(𝜃|𝑦). Variabel-variabel tersebut dibangkitkan sesuai degan model dimana keadaan berikutnya, 𝜃 (𝑖+1) . Dengan kata lain dibangkitkan dari distribusi bersyarat satu langkah didepan, 𝑝( 𝜃 (𝑖+1) | 𝜃 (𝑖) ), yang hanya tergantung pada keadaan saat ini dari rantai, 𝜃 (𝑖) . Berikut merupakan langkah-langkah membangun rantai Markov: Pilih nilai awal 𝜃 𝑠 (0) 𝑠=1 𝑆 , 𝑖=1,2…,𝐺 Ambil 𝜃 1 (𝑖) dari 𝑝 𝜃 1 𝑖 𝑦, 𝜃 2 𝑖 , 𝜃 3 𝑖 …, 𝜃 𝑆 𝑖−1 , Ambil 𝜃 2 (𝑖) dari 𝑝 𝜃 2 𝑖 𝑦, 𝜃 1 𝑖 , 𝜃 3 𝑖 …, 𝜃 𝑆 𝑖−1 , ulangi hingga 𝜃 𝑆 (𝑖) dari 𝑝( 𝜃 𝑆 𝑖 |𝑦, 𝜃 1 𝑖 , 𝜃 2 𝑖 …, 𝜃 𝑆−1 (𝑖) ).

Lanjutan Langkah kedua, metode Monte Carlo digunakan untuk meringkas distribusi posterior pada parameter 𝜃 sebagai keluaran MCMC. Dengan menggunakan proses burn-in (banyaknya sampel yang dikeluarkan dari awal rantai), katakanlah sebanyak 𝑔 iterasi, nilai-nilai simulasi (sampel yang disimpan) dari rantai Markov, 𝜃 (𝑖) 𝑖=1,…,𝑁 , dimana 𝑁=𝐺−𝑔, digunakan untuk membuat beberapa kesimpulan Bayeian seperti rata- rata posterior, varians, dan estimasi interval.

MCMC Sampler (Nugroho, 2014) Terdapat dua algoritma utama dalam MCMC, yaitu Metropolis Hasting Update dan Gibbs Update (Gamerman, 1997). Dibawah ini akan dijelaskan teknik-teknik tersebut. Untuk mengerjakan langkah pertama dari MCMC, terdapat beberapa teknik yang telah digunakan untuk menghasilkan sampel dari suatu distribusi posterior. Teknnik-teknik tersebut dijelaskan secara singkat seperti berikut ini: Gibbs Sampling Gibbs Sampling diperkenalkan oleh Geman dan Geman (1984). Pada Gibbs Update, distribusi proposal untuk meng-update komponen s-th pada 𝜃 adalah: 𝑞 𝜃 𝑠 ∗ | 𝜃 𝑠 𝑖−1 =𝑝 𝜃 𝑠 ∗ |𝑦 (5) Substitusikan persamaan (5) kedalam persamaan (4) mendapatkan probabilitas penerimaan 1 (proposal Gibbs Sampler selalu diterima). Dengan demikian, Gibbs Sampler konsisiten dengan sampel dari distribusi posterior bersyarat. Dengan kata lain, Gibbs Sampler berlaku ketika ditribusi posterior gabungan pada tiap-tiap parameter diketahui dan dengan mudah untuk penyempelan.

Lanjutan Metropolis Hasting Sampling Algoritma MCMC pertama diterbitkan oleh Metropolis dkk. (1953) dan kemudian dikenal sebagai algoritma Metropolis (C. Robert dan Casella, 2011). Hastings (1970) menemukan kemudahan dalam mengatasi permasalahan dalam kimia dan fisika dengan algoritma Metropolis Hasting. Algoritma Metropolis Hasting, dijelaskan oleh Johannes dan Polson (2010) dan Geyer (2011), menggunakan langkah-langkah berikut untuk memperbarui komponen 𝑠-th pada 𝜃 dari sebuah posterior bersyarat distribusi 𝑝( 𝜃 𝑠 |𝑦) pada iterasi ke-i: Membentuk proposal 𝜃 𝑠 ∗ dari proposal yang sudah diketahui distribusinya, 𝑞( 𝜃 𝑠 ∗ | 𝜃 𝑠 (𝑖−1) Hitung rasio Hasting: 𝒓( 𝜃 𝑠 𝑖−1 , 𝜃 𝑠 ∗ = 𝑝( 𝜃 𝑠 ∗ |y)×𝑞 𝜃 𝑠 𝑖−1 | 𝜃 𝑠 ∗ 𝑞 𝜃 𝑠 𝑖−1 |𝑦 ×𝑞 𝜃 𝑠 ∗ | 𝜃 𝑠 𝑖−1 (6) Tentukan 𝑢 dari distribusi Uniform [0,1] Terima proposal ketika 𝜃 𝑠 (𝑖) = 𝜃 𝑠 ∗ jika 𝑢<𝑚𝑖𝑛 1,𝒓( 𝜃 𝑠 𝑖−1 , 𝜃 𝑠 ∗ , selain itu tolak proposal ketika 𝜃 𝑠 (𝑖) = 𝜃 𝑠 (𝑖−1) .

Volatility Menggunakan Model ARCH (m) Nastiti dan Suharsono (2012) mempelajari model volatilitas menggunakan model ARCH-GARCH. Dalam studi ini akan dipelajari model ARCH untuk volatility yang diselesaikan dengan metode MCMC. Secara spesifik, model ARCH (m) untuk volatility memiliki fungsi: 𝑎 𝑡 = 𝜎 𝑡 𝜀 𝑡 , 𝜀 𝑡 ~𝑁(0,1) (7) 𝜎 𝑡 2 = 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑎 𝑡−1 2 +…+ 𝑎 𝑚 𝑎 𝑡−𝑚 2 (8) dimana 𝑎 0 >0, dan 𝑎 1 ≥0 untuk 𝑖>0. 𝜀 𝑡 merupakan variabel random yang independen dan identik dengan mean nol dan variance 1. Sedangkan 𝜎 𝑡 2 variansi bersyarat. Lebih lanjut, model dikembangkan dengan memperhatikan distribusi Student-t untuk error dari return.

METODOLOGI PENELITIAN

Data yang Diamati Pembahasan dan analisis difokuskan pada data kurs nilai jual Euro (EUR), Japanese Yen (JPY), dan US Dollar (USD) terhadap rupiah atas periode 5 Januari 2009 sampai dengan 31 Desember 2014 yang diambil dari laman (http://www.bi.go.id/id/moneter/informasi-kurs/transaksi- bi/Default.aspx) Bank Indonesia (BI).

Grafik Grafik 1. Grafik nilai jual mata uang EUR (atas), USD (tengah), dan EUR (bawah) terhadap rupiah. Grafik 2. Grafik hasil return nilai jual mata uang EUR (atas), USD (tengah), dan EUR (bawah) terhadap rupiah.

Langkah-langkah penelitian Pemilihan data mata uang asing terhadap kurs nilai jual rupiah. Pengumpulan data kurs nilai jual Euro (EUR), Japanese Yen (JPY), dan US Dollar (USD) terhadap rupiah atas periode 5 Januari 2009 sampai dengan 31 Desember 2014 yang diambil dari laman Bank Indonesia (BI). Telaah teori studi tentang teori volatility dan metode MCMC. Hasil estimasi parameter model MCMC. Analisis menggunakan data nyata. Hasil estimasi model dari studi empiris selanjutnya diambil kesimpulan.

ANALISA DAN PEMBAHASAN AWAL

LB Q test (auto korelasi) Statistik deskriptif return dari tiap nilai tukar rupiah terhadap mata uang JPY, USD, dan EUR. Mata Uang Mean SD Skewness Kurtosis JB Test (normalitas) LB Q test (auto korelasi) JPY 0.0039 0.3625 0.2210 5.6211 tidak normal tidak ada korelasi USD -0.0038 0.2150 0.3970 8.8809 ada korelasi EUR 8.7288e-005 0.2943 0.1522 4.7107

JADUAL PENELITIAN

Jadual Penelitian No. Kegiatan Bulan 1 2 3 4 5 Presentasi Proposal   Mencari data Pembuatan program komputer simulasi ARCH Modifikasi ARCH Estimasi model ARCH 6 Pembuatan Laporan : Seminar Hasil

DAFTAR PUSTAKA Andersen, T. G., Bollerslev, T., Diebold, F. X., and Labys, P. (2001). The distribution of realized exchange rate volatility, Journal of the American Statistical Association, 96 (453), pp. 42–55. Andersen, T. G., Chung, H.-J., dan Srensen, B. E. (1999). Efficient method of moments estimation of a stochastic volatility model: A Monte Carlo study, Journal of Econometrics, 91, pp. 6187. Bollerslev, T. (1986). Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity, Journal of Econometrics, 31, pp. 307–327. Brooks, C. (2008). Introductory econometrics for finance, Edisi ke-2, Cambridge University Press. Carlin, B. P., dan Chib, S. (1995). Bayesian model choice via markov chain monte carlo methods, Journal of The Royal Statistical Society, 57 (3), pp. 473–484. Casella, G. dan Berger R., L. (2002). Statistical inference, Thomson Learning, Duxbury. Engle, R. F. (1982). Autoregressive conditional heteroskedasticity with estimates of the variance of the united kingdom inflation. Econometrica, 50, pp. 987–1007. Engle, R., F. (2001). The use of arch/garch models in applied econometrics. Journal of Economic Persepective, 4, pp. 157158. Gamerman, D. (1997). Markov chain monte carlo: stochastic simulation for bayesian inference. Chapman & Hall, London. Geman, S. dan Geman, D. (1984). Stochastic relaxation, gibbs distribution, and the bayesian restoration of images, IEE Transaction on Pattern Analysis and Machine Intelligence.

DAFTAR PUSTAKA Geyer, C. J. (2011). Introduction to markov chain monte carlo, handbook of markov chain monte carlo (eds. S. P. Brooks, A. Gelman, G. L. Jones, and X.-L. Meng), pp. 348, Chapman & Hall/CRC. Gilks, W., Richardson, S., dan Spiegelhalter, D. J. (1996). Introducing markov chain monte carlo, markov chain monte carlo in practice (eds. R. S. Gilks W. and D. J. Spiegelhalter), pp. 119. Chapman & Hall/CRC, London. Hasting, W. K. (1970). Monte carlo sampling methods using markov chains and their applications. Biometrika, 57, pp. 97109. Hestiningtyas, R. dan Sulandari, W. (2009). Pemodelan tarch pada nilai tukar kurs euro terhadap rupiah, seminar nasional matematika dan pendidikan matematika, S-9, pp. 59598. Johannes, M. and Polson, N. G. (2010). MCMC methods for continuoustime financial econometrics, handbook of financial econometrics (Y. Ait-Sahalia and L. P. Hansen), pp. 172. Elsevier B. V., North-Holland Jones, C. P., and Wilson, J. W. (1989). Is stock price volatility increasing?, Financial Analysts Journal, 45, pp. 7. Judge, G. G. et. al. (1988). Introduction to the theory and practice of econometrics. John Wiley & Sons. Kim, S., Shephard, N., and Chib, S. (1998). Stochastic volatility: likelihood inference and comparison with arch models, in N. Shephard (Ed.), stochastic volatility: selected readings, Oxford University Press.

DAFTAR PUSTAKA Koop. G., Poirier, D. J. dan Tobias, J. L. (2007). Bayesian econometri methods. Cambridge University Press, New York. Metropolis, N., Rosenbluth, A. W., Marshall, N. R., Teller, A. H., dan Teller, E. (1953). Equations of state calculations by fast computing machines. Journal of Chemical Physics, 21 (6), pp. 10871091. Nastiti, K. L. A. dan Suharsono A. (2012). Analisis volatilitas saham perusahaa go public dengan metode archgarch. Jurnal Sains dan Seni ITS, 1, (1), pp. D259­D264. Nugroho, D. B. (2014). Realized stocastic volatility model using generalized student’s t-error distributions and power transformations, Dissertation. Kwansei Gakuin University, Japan. Robert, C. dan Casella, G. (2011). A short history of markov chain monte carlo: subjective recollections from incomplete data. Statistical Science, 26 (1), pp. 102115. Taylor, S. J. (1982). Financial returns modelled by the product of two stochastic processes—a study of the daily sugar prices 1961–75, in N. Shephard (Ed.), stochastic volatility: selected readings, pp. 60–82. Oxford University Press, New York. Tsay, R. S., (2010). Analysis of financial time series. John Willey and Sons, Inc. New York.

TERIMA KASIH