TIM DOSEN MATEMATIKA DISKRIT RELASI TIM DOSEN MATEMATIKA DISKRIT

Pendahuluan Relasi dalam kehidupan sehari-hari: 2 mahasiswa berelasi jika mereka memiliki jenis kelamin sama Berasal dari daerah yang sama Dalam ilmu komputer misal dua buah program berelasi jika keduanya mengakses data yang sama atau menghasilkan output yang sama Konsep relasi banyak digunakan dalam basis data (data base), yang menggambarkan hubungan yang ada diantara data-data.

Hasil Kali Kartesian Hasil kali kartesian A dengan B, Simbol A x B Himpunan semua pasangan berurut (a,b) dimana a Є A dan b Є B. Contoh Misalkan A= {a,b,c} ; B= {α,β,θ} ; C= {1,2}

Relasi Contoh Misalkan A = {1,2} dan B = {1,2,3}. Relasi R dari A ke B: x Є A berelasi dengan y Є B bila dan hanya bila (x-y) genap. a. Apakah 1R3, 2R3, 2R2 b. Tulis anggota R

Operasi-Operasi pada Relasi Irisan dan Gabungan Misalkan R dan S 2 buah relasi dari himpunan A ke B. Contoh Misalkan A={-1,0,1} B={0,1}. Relasi R dan S dari A ke B sebagai berikut: R={(-1,0),(-1,1),(0,1)} S={(0,0),(1,1),(-1,1)} Carilah

Operasi-Operasi pada Relasi 2. Komposisi Relasi Misalkan A,B dan C himpunan. Komposisi R1 dan R2, R1 • R2 adalah relasi dimana elemen pertama adalah elemen pertama R1 dan elemen kedua adalah Elemen kedua R2. Contoh: Misalkan R1 = {(a,a),(a,b),(c,d)} R2 = {(a,a),(b,c),(b,d)} Hitung R1 • R2.

Relasi Ekuivalensi Salah satu alat yang dipakai dalam proses abstraksi, yaitu meniadakan perbedaan-perbedaan tidak relevan yang terjadi dan mengambil sifat penting yang dibutuhkan. 2 objek dikatakan ekuivalen apabila perbedaan diantara keduanya tidak dipersoalkan. Contoh pembayaran di kasir Ekuivalensi tergantung konteks. Contoh penyimpanan uang dalam dompet. Ekuivalensi dapat diartikan juga sebagai cara membagi sesuatu menjadi beberapa kelas yang berbeda.

Objek yang dipandang sama dalam konteksnya ada dalam kelas yang sama, yang saling berelasi satu sama lainnya. Pertama himpunan terbagi dalam kelas-kelas saling asing (partisi) Suatu relasi ekuivalensi didefinisikan sebagai relasi yang refleksif, simetris dan transitif. Relasi ini akan menyaring sifat yang penting saja dan akan membagi himpunan semula menjadi kelas-kelas yang saling asing. Contoh Misal A={0,1,2,3,4}. Relasi R pada didefinisikan sbb; R={(0,0),(0,4),(1,1),(1,3),(2,2)(4,0)(3,3),(3,1),(4,4)} Tunjukan R relasi ekuivalensi dan carilah semua kelasnya.

Tutupan (Closure) Kadang suatu relasi R dikomposisikan dengan dirinya sendiri, dan dilakukan berkali-kali. Rk = relasi R dikomposisikan dengan dirinya sendiri sebanyak k kali. R1 = R dan Rk = Rk-1 •R, untuk k ≥ 1 Kadang suatu relasi tidak transitif, untuk membuat transitif harus dilakukan penambahan anggota-anggota tertentu (tutupan Transitif / R + ) Tutupan transitif refleksif (R*), diperoleh dengan cara menggabungkan tutupan transitif dengan semua elemen yang berelasi dengan dirinya sendiri.

Contoh 1. Misalkan A={a,b,c,d} dan didefinisikan sebagai R= {(a,b),(b,c)(c,d)} Carilah tutupan transitif dan tutupan transitif refleksifnya 2. Misal A={a,b,c,d,e}. Relasi didefinisikan sbb R={(a,a),(a,b),(b,c),(c,d),(c,e),(d,e)} Carilah tutupan transitif secara langsung dan melalui graf

Partial Order Set dan Total Order Misal R relasi biner yang didefinisikan pada himpunan A. R relasi partial order jika dan hanya jika R refleksif, antisimetris dan transitif. Simbol : ≤. Himpunan A beserta relasi partial order ≤ disebut partial ordet set (poset) Contoh Misalkan relasi “|” adalah relasi pembagi pada himpunan bilangan bulat positif A. (a|b berarti adalah faktor dari b atau b kelipatan dari a) Buktikan bahwa “|” adalah relasi partai order.

Diagram Hasse Perhatikan relasi “|” pada himpunan A={1,2,3,9,18}. Gambar graf (362). Graf relasi partial order selalu memuat loop pada setiap titiknya dan memuat garis yang bisa dicapai lewat sifat transitif. Graf yang dihasilkan rumit. Ada graf yang lebih sederhana  diagram Hasse Cara membuat diagram Hasse. Mulai dengan graf berarah relasi dimana semua panah menuju ke tempat yang lebih atas Hilangkan loop pada setiap titik Hilangkan panah yang keberadaannya bisa diimplikasikan dengan sifat transitif Hilangkan penunjuk panahgraf tak berarah

Diagram Hasse Contoh Misalkan A={a,b,c} dan P(A) adalah himpunan kuasa dari himpunan A. Perhatikan relasi “himpunan bagian( ) yang didefinisikan sbb: Buatlah diagram Hassenya.

Diagram Hasse Dalam relasi partial order, 2 buah elemen mungkin berelasi (dapat dibandingkankomparabel) mungkin juga tidak berelasi (tidak dapat dibandingkannon-komparabel). Jika semua elemen dalam relasi partial order berelasi  total order. Misalkan (A, ≤) adalah poset. a Є A disebut elemen maksimal bila dan hanya bila a ≥ semua elemen yang komparabel dengan a (dalam diagram Hasse letaknya lebih atas) a Є A disebut elemen terbesar (greatest) dalam A bila dan hanya bila a ≥ semua elemen A

Diagram Hasse 3. a Є A disebut elemen minimal bila dan hanya bila a ≤ semua elemen yang komparabel dengan a. 4. a Є A disebut elemen terkecil (least) dalam A bila dan hanya bila a ≤ semua elemen A Contoh Misalkan A={a,b,c,d,e,f,g,h,i}. Relasi partial order yang didefinisikan pada himpunan A digambarkan dalam diagram Hasse berikut: (hal 366) Carilah elemen-elemen maksimal, minimal, greatest dan least

Lattice Konsep maksimal, minimal, greates dan least dapat diperluas ke himpunan-himpunan bagian poset. a,b dua elemen poset (A,≤). c Є A disebut batas atas dari a dan b bila dan hanya bila a ≤ c dan b ≤ c. c Є A disebut batas atas terkecil (least upper bound=LUB) dari a dan b bila dan hanya bila: c batas atas dari a dan b Jika d batas atas dari a dan b yang lain, maka c ≤ d.

Lattice c Є A disebut batas bawah terbesar (greatest lower bound=GLB) Dari a dan b bila dan hanya bila: c batas bawah dari a dan b Jika d batas atas dari a dan b yang lain, maka d ≤ c. Dalam suatu poset, kalaupun ada LUB/GLB pasti tunggal. Contoh Tentukan batas atas dan batas bawah dari suatu poset (367) Suatu poset disebut Lattice apabila setiap elemen dalam himpunannya memiliki LUB dan GLB. Contoh (369)

Aplikasi relasi dalam ilmu komputer Model relasional basis data Kelas ekuivalensi rangkaian digital