BAB VI KOMBINATORIL DAN PELUANG DISKRIT

KOMBINATORIAL Kombinatorial adalah cabang Matematika yang mempelajari pengaturan objek-objek. Solusi yang diperoleh dengan kombinatorial adalah jumlah cara pengaturan objek-objek tertentu di dalam himpunannya.

Percobaan Kaidah Dasar Menghitung. Kombinatorial didasarkan pada hasil yang diperoleh dari suatu percobaan. Kaidah dasar menghitung yang digunakan dalam kombinatorial : kaidah perkalian dan kaidah penjumlahan. Kaidah perkalian dan kaidah penjumlahan dapat diperluas hingga mengandung lebih dari dua percobaan.

PERMUTASI Definisi : Permutasi adalah jumlah urutan berbeda dari pengaturan objek-objek dengan memperhatikan urutan. Permutasi merupakan bentuk khusus aplikasi aturan perkalian . Menurut kaidah perkalian permutasi dari n objek adalah : n(n - 1) (n – 2)……(2)(1) = n !

PERMUTASI Jumlah susunan berbeda dari pemilihan r objek yang diambil dari n objek disebut permutasi-r, dilambangkan dengan P(n,r), yaitu : Permutasi r dari n elemen adalah jumlah kemungkinan urutan r buah elemen yang dipilih dari n buah elemen, dengan r  n. Dalam hal ini pada setiap kemungkinan urutan tidak ada elemen yang sama.

KOMBINASI Kombinasi adalah bentuk khusus dari pemutasi. Jika pada permutasi urutan kemunculan diperhitungkan, maka pada kombinasi urutan kemunculan diabaikan atau tidak memperhatikan urutan. Definisi : Kombinasi r elemen dari n elemen adalah jumlah pemilihan yang tidak terurut r elemen yang diambil dari n buah elemen. Rumus :

Contoh Soal Permutasi dan Kombinasi

Berapa banyak cara mengurutkan nama 25 orang mahasiswa ? Berapa banyak cara menyusun menu nasi goreng tiga kali seminggu untuk sarapan pagi? Berapa banyak kelompok jawaban yang dikerjakan mahasiswa dari 5 soal yang diberikan hanya wajib dijawab 3 soal? Enam orang akan melamar pekerjaan untuk 3 pekerjaan yang sama, yang masing-masing akan ditempatkan di Jakarta, Bogor, dan Bandung. Berapakah kemungkinan susunan orang yang diterima untuk menempati posisi tersebut?

Sebuah bioskop mempunyai jajaran kursi yang disusun per baris Sebuah bioskop mempunyai jajaran kursi yang disusun per baris. Tiap baris terdiri dari 6 tempat kursi. Jika dua orang akan duduk, berapa banyak pengaturan temapat duduk yang mungkin pada suatu baris? Berapakah jumlah himpunan bagian dari himpunan B={1,2,3,…,10} yang mempunyai anggota enam? Seorang mempunyai 10 kawan. Dalam berapa banyak cara ia dapat pergi makan ke restoran dengan dua kawannya?

KOEFISIEN BINOMIAL Teorema binomial memberikan cara untuk menjabarkan bentuk perpangkatan ( x + y ) n, yang dalam hal ini, n adalah bilangan bulat positif. Cara ini digunakan sebagai alternatif bagi penggunaan segitiga Pascal.

(x+y)5 = 1x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5x y4 + 1y5 segitiga Pascal 1 2 3 6 4 10 5 (x+y)0 = 1 (x+y)1 = 1x + 1y (x+y)2 = 1x2 + 2xy + 1y2 (x+y)3 = 1x3 + 3x2y + 3xy2 + 1y3 (x+y)4 = 1x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + 1y4 (x+y)5 = 1x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5x y4 + 1y5

Aturan untuk menjabarkan bentuk perpangkatan ( x + y ) n adalah : Suku pertama adalah xn, sedangkan suku terakhir adalah yn. Pada setiap suku berikutnya, pangkat x berkurang 1 sedangkan pangkat y bertambah 1. Untuk setiap suku, jumlah pangkat x dan y adalah n. Koefisien untuk xn-k yk, yaitu suku ke (k+1), adalah nCk. Bilangan nCk disebut koefisien binomial.

TEOREMA BINOMIAL Contoh: ( x + y )n = Σ C(n,k) xn-k yk Misalkan x dan y adalah peubah, dan n adalah bilangan bulat tak-negatif, Maka ( x + y )n = Σ C(n,k) xn-k yk Contoh: Tentukan suku keempat (k +1) dari penjabaran perpangkatan (x – y)5 (x – y)5 = (x + (– y))5  Suku keempat adalah : C (5, 3) x5-3 (-y)3 = - 10 x2y3 ( x + y )n = Σ C(n,k) xn-k yk

Peluang Diskrit Definisi : Misalkan xi adalah sebuah titik contoh di dalam ruang contoh S. Peluang bagi xi adalah ukuran kemungkinan terjadinya atau munculnya xi di antara titik-titik contoh yang lain di dalam S.

Sifat-Sifat Peluang Diskrit 1. 0  p(xi)  1, yaitu nilai peluang adalah bilangan tidak negatif dan selalu lebih kecil atau sama dengan 1. 2.  p (xi) = 1, yaitu jumlah peluang semua titik contoh di dalam ruang contoh S adalah 1.

Kejadian Kejadian atau event disimbolkan E Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang contoh. Kejadian yang hanya mengandung satu titik contoh disebut kejadian sederhana dan kejadian yang mengandung lebih dari satu titik contoh disebut kejadian majemuk.

Definisi Kejadian Definisi : Peluang kejadian E di dalam ruang contoh S adalah p(E)=|E|/|S| Peluang kejadian E juga dapat diartikan sebagai jumlah peluang semua titik contoh di dalam E.