Metoda Simplex Oleh : Hartrisari H.

METODA SIMPLEX Tahun 1947 George Dantzig Memecahkan masalah programa linier yang kompleks (QSB+, STORM) Memecahkan persoalan-persoalan Programa linier dengan iterasi yaitu mengulangi langkah-langkah perhitungan yang sama dalam rangka mendapatkan hasil yang optimum ALGORITMA solusi awal iterasi perhitungan uji optimalitas selesai optimal ? Y T

# Dasar metoda simplex geometri dan aljabar # Persiapan-persiapan sebelum menggunakan metoda simplex BENTUK STANDAR LP Kendala-kendala pertidaksamaan ( / ) harus dikonversi ke dalam bentuk persamaan yang ekivalen. ~ menambahkan var. slack pada sisi kiri pertidaksamaan Mis : x1 + 2x2  6 x1 + 2x2 + S1 = 6 ; S1  0 S1 ~ var. slack ~ mengurangkan dengan var. surplus (sisi kiri > sisi kanan) Mis : 3x1 + 2x2 – 3x3  5 3x1 + 2x2 – 3x3 – S2 = 5; S2  0 S2 var. surplus  =  =

Sisi kanan suatu persamaan yang bernilai (-) dapat selalu dibuat non negatif dengan cara mengalikan ke 2 sisi persamaan dengan -1 Mengalikan pertidaksamaan dengan –1  arah pertidaksamaan berubah Fungsi tujuan dapat berbentuk max./min. (tergantung kebutuhan ~ max/min) max. Z = 5x1 + 2x2 + 3x3 min. (-Z) = -5x1 –2x2 –3x3

DASAR METODE SIMPLEX ~ Solusi grafik * daerah yang memenuhi “constraints” * mencari solusi optimal titik ekstrim Secara tidak sadar ~ melakukan iterasi perhitungan pada titik-titik ekstrim mis : max. Z = 3xE + 2xI + OS1 + OS2 + OS3 + OS4 ~ mengapa ada S1 s/d S4 pada fungsi tujuan ?? = 2 + S4 xI = 1 + S3 -xE = 8 + S2 2xE + = 6 + S1 2xI xE + Kendala : xE, xI, S1, S2, S3, S4  0

~ Cara mencari nilai max dari titik-titik ekstrim (A, B, C, D, E, F) 5 9 4 7 B 3 1 A C F D E 2 6 XI xE + 2x1 + S1 = 6 ~ Cara mencari nilai max dari titik-titik ekstrim (A, B, C, D, E, F) Iterasi ~ Pada garis kendala ~ nilai var. slack = 0

xI xE KESIMPULAN ? Titik ekstrim var. =  var. tidak  A xE, xI F E D C B 5 3 4 1 2 6 xE xI S3=0 S4=0 S1=0 S2=0 Titik ekstrim var. =  var. tidak  A xE, xI S1, S2, S3, S4 B S2, xI S1, xE, S3, S4 C S2, S1 xI, xE, S3, S4 D S4, S1 xI, xE, S3, S2 E S4, S3 xI, xE, S1, S2 F xE, S3 xI, S4, S1, S2 KESIMPULAN ?

KESIMPULAN untuk titik ekstrim mengandung 2 var. bernilai  (var. ) 4 pers. kendala (m) 6 variabel (n; m  n) n – m = 6 – 4 = 2 untuk titik ekstrim yang berhubungan (A-B, A-F, B-C, C-D, D-E, E-F) hanya berbeda pada 1 variabel Iterasi perhitungan ~ mempertukarkan var.  dengan var tidak  mis : dari A B S1, xE, S3, S4 S2, xI B S1, S2, S3, S4 xE, xI A var tidak  var.  var.  : VAR. NON BASIC var tidak  : VAR BASIC Simplex menukar var.non Basic dengan var. Basic ALJABAR

TAHAPAN METODA SIMPLEX Membuat persoalan bentuk standar LP. a) mengubah fungsi tujuan menjadi fungsi implisit b) mengubah fungsi batasan menjadi persamaan dengan menambahkan var. slack c) menambahkan var. slack dalam fungsi dalam fungsi tujuan Dari bentuk standar menentukan solusi awal dengan menetapkan/ memilih var. non basic sebagai variasi bernilai 0. ingat n – m Menyusun tabel simplex Memilih variasi non basic yang harus dipertukarkan menjadi var. basic : a) memilih kolom pivot ~ nilai minimal terbesar pada fungsi tujuan bila fungsi tujuan maksimal. b) mencari index tiap baris dengan cara membagi nilai pada kolom solusi dengan kolom pivot ~ tidak termasuk baris tujuan c) baris pivot nilai positif terkecil.

Pivot = perpotongan kolom pivot dan baris pivot. d) Menghitung baris pivot baru dengan cara membagi semua nilai pada baris pivot lama dengan nilai pivot. e) Menghitung nilai baris-baris lainnya. cara : Baris baru = baris lama – (koef. pada kolom pivot) * Nilai Baru Baris Pivot ~ nilai pada kolom pivot = 0 kenapa ? Susun tabel simplex baru Evaluasi apakah pada fungsi tujuan masih ada nilai (-) Jika ya ulangi tahapan 4 s/d 6 tidak solusi optimal

Maksinumkan 3x1 + 5x2 Kendala : x1  4 2x2  12 3x1 + 2xx  18 x1, x2  0 Jawab : ~ Bentuk standar L.P Fungsi tujuan ~ implisit batasan ~ persamaan (+var. slack) var. slack ~ fungsi tujuan a) Z - 3x1 - 5x2 = 0 ~ maksimumkan b) x1 + S1 = 4 2x2 + S2 = 12 3x1 + 2x2 + S3 = 18 x1, x2, S1, S2, S3  0 Ada xi ada Si ~ seragamkan S1 = x3 S2 = x4 S3 = x5 OPTION

c) Z - 3x1 -5x2 - 0x3 - 0x4 - 0x5 = 0 Kendala : x1 + x3 = 4 2x2 + x4 = 12 3x1 + 2x2 + x5 = 18 x1, x2, x3, x4, x5  0 ~ menentukan solusi awal memilih var  (var. non Basic) Ingat n - m n = variabel ~ 5 m = persamaan ~ 3 5 - 3 = 2 var.  Pemilihan ~ 5 var. (x1, x2, x3, x4, x5) 2 var  = x1, x2 Var. non Basic ALASAN ?

~ menyusun tabel simplex Basic Z x1 x2 x3 x4 x5 Solusi 1 -3 -5 X3 X4 X5 3 2 4 12 18 memilih var. non basic yang akan ditukar a) kolom pivot ~ nilai(-) terbesar pada fungsi tujuan (Z) kolom x2 (nilai (-) terbesar = -5) b) index tiap baris ~ solusi/kolom pivot (Z tidak deperhitungkan) 4/0 = ? 12/2 = 6 18/2 = 9 c) baris pivot ~ nilai terkecil baris 2 x4 pivot = 2 (perpotongan) ARTI : pada tabel berikutnya / iterasi berikutnya x2 menjadi var. basic x4 menjadi var. non basic

Menghitung nilai baris lainnya * baris lama - (koefisien kolom pivot) * nilai baru baris pivot * nilai pada kolom pivot = 0 baris pivot baru : 0 1 0 ½ 0 6 Menghitung baris pivot baru ~ membagi semua nilai pada baris pivot dengan pivot baris pivot lama : 0 2 0 1 0 12 : 2 Z : -3 -5 Pivot baru : 1 1/2 6 (-5) X3 : 1 4 Pivot baru : 1/2 6 (0) X5 : 3 2 1 18 Pivot baru : 1/2 6 -1 (2)

Susun tabel simplex baru Basic Z x1 x2 x3 x4 x5 Solusi 1 -3 -5 5/2 30 X3 X2 X5 3 2 1/2 - 1 4 6 Evaluasi apakah pada fungsi tujuan masih ada nilai (-) ? ~ masih pada kolom x1, nilai = - 3 ARTINYA ? Ulangi langkah perhitungan kolom pivot = kolom x4 (nilai – 3) index tiap baris 4/1 = 4 6/0 = ? 6/3 = 2 baris pivot ~ baris 3  x5 pivot = 3 x5 tukar dengan x1

baris pivot lama : 3 0 0 -1 1 6 : 3 baris pivot baru 1 0 0 -1/3 1/3 2 menghitung nilai-nilai baris lainnya 6 1/2 1 2 1/3 ½ -1/3 x2 : p.b : 4 x3 : 36 3/2 30 5/2 -3 Z : (-3) (1) (0) Tabel baru

S1 S2 S3 Basic Z x1 x2 x3 x4 x5 Solusi 1 -3 -5 3/2 36 X3 X2 X1 2 1/3 1/2 - 1/3 -1/3 6 Evaluasi pada Z tidak ada nilai (-) # optimal # x1 = 2 x2 = 6 Z = 36

Maksinumkan 8x1 + 4x2 Kendala : x1 + xx  18 5 x1 + xx  15 x1, x2  0 Jawab : ~ Bentuk standar L.P Fungsi tujuan ~ implisit batasan ~ persamaan (+var. slack) var. slack ~ fungsi tujuan a) Z - 8x1 - 4x2 = 0 ~ maksimumkan b) x1 + 2x2 + S3 = 10 5x1 + x2 + S3 = 15 x1, x2, S1, S2, S3  0 Ada xi ada Si ~ seragamkan S1 = x3 S2 = x4 OPTION

c) Z - 8x1 -4x2 - 0x3 - sx2 = 0 Kendala : x1 + x2 + s1 = 10 5x1 + x2 + s2 = 15 x1, x2, s1 s2  0 ~ menentukan solusi awal memilih var  (var. non Basic) Ingat n - m n = variabel ~ 5 m = persamaan ~ 3 5 - 3 = 2 var.  Pemilihan ~ 5 var. (x1, x2, x3, x4, x5) 2 var  = x1, x2 Var. non Basic ALASAN ?

~ menyusun tabel simplex 4 12 18 1 2 3 X3 X4 X5 -5 -3 Z Solusi x5 x4 x3 x2 x1 Basic memilih var. non basic yang akan ditukar a) kolom pivot ~ nilai(-) terbesar pada fungsi tujuan (Z) kolom x2 (nilai (-) terbesar = -5) b) index tiap baris ~ solusi/kolom pivot (Z tidak deperhitungkan) 4/0 = ? 12/2 = 6 18/2 = 9 c) baris pivot ~ nilai terkecil baris 2 x4 pivot = 2 (perpotongan) ARTI : pada tabel berikutnya / iterasi berikutnya x2 menjadi var. basic x4 menjadi var. non basic

Menghitung nilai baris lainnya * baris lama - (koefisien kolom pivot) * nilai baru baris pivot * nilai pada kolom pivot = 0 baris pivot baru : 0 1 0 ½ 0 6 Menghitung baris pivot baru ~ membagi semua nilai pada baris pivot dengan pivot baris pivot lama : 0 2 0 1 0 12 : 2 6 1/2 1 -3 Pivot baru : -5 Z : (-5) 4 1 6 1/2 Pivot baru : X3 : (0) 6 1 -1 3 1/2 Pivot baru : 18 2 X5 : (2)