4. SOLUSI PERSAMAAN NON-LINIER

4.2.2 Metode Terbuka Metode terbuka adalah metode yang menggunakan satu tebakan awal akar, atau dua tebakan awal yang tidak perlu mengurung akar. Metode terbuka terdiri dari beberapa jenis, yaitu metode Iterasi Titik Tetap, metode Newton-Raphson, dan metode Secant. Metode Iterasi Titik Tetap Metode ini juga disebut metode sederhana, langsung, atau metode sulih beruntun. Jika terdapat suatu fungsi f (x) dan kita akan mencari akar atau akar-akar dari fungsi tersebut, berarti kita harus menetapkan f (x) = 0 sedemikian rupa sehingga x = g(x)

x = g(x) y y = x g(x)  x x2 x1 x0 O s x3 Gambar 4.1

Algoritma dari metode iterasi titik tetap adalah: Bentuk fungsi f (x) menjadi f (x) = 0 Dari no. 1 susun menjadi bentuk x = g(x) Lakukan tebakan awal xr Hitung xr +1 dengan menggunakan rumus xr+1 = g(xr) Conton 4.4 Tentukan akar dari dari fungsi f (x) = e–x – x Penyelesaian f (x) = 0  e–x – x = 0 x = e–x xr = 1 xr +1 = g(xr)

Nilai hampiran akar dari f (x) = e–x – x xr |rh| 1 0.36788 1.718281828 2 0.6922 0.468536395 3 0.50047 0.383091466 ⋮ 22 0.56714 0.000006933 23 0.000003932 Nilai hampiran akar dari f (x) = e–x – x

Conton 4.5 Tentukan akar dari dari fungsi f (x) = x2 – 3x – 4 = 0 dengan s = 0,000005 Penyelesaian f (x) = 0  x = g(x) Untuk fungsi diatas ada beberapa kemungkinan untuk menyusun fungsi yang memenuhi x = g(x), yaitu a) x2 – 3x – 4 = 0  x2 = 3x + 4  x2 – 3x – 4 = 0  x(x – 3) – 4 = 0  x = 4/(x – 3) c) x2 – 3x – 4 = 0  x = (x2 – 4)/3

i xr rh Konvergen dan monoton 5 - 1 4.3589 0.147079 2 4.1324 0.054812 5 - 1 4.3589 0.147079 2 4.1324 0.054812 3 4.0493 0.020510 4 4.0185 0.007685 4.0069 0.002881 6 4.0026 0.001080 7 4.0010 0.000405 8 4.0004 0.000152 9 4.0001 0.000057 10 0.000021 11 4.0000 0.000008 12 0.000003 Konvergen dan monoton

Konvergen dan berosilasi b) x = 4/(x – 3) i xr rh 5 - 1 2 1.5 -4 3 -0.57143 6 4 -1.12 0.48980 -0.97087 0.15360 -1.00733 0.036200 ⋮ 9 -0.999886 0.000572 10 -1.000031 0.000144 11 -0.1000000 0.000036 12 -1.0000017 0.000009 13 -0.9999996 0.000002 Konvergen dan berosilasi

c) x = (x2 – 4)/3 i xr rh Divergen monoton 5 - 1 7 0.285714 2 15 5 - 1 7 0.285714 2 15 0.533333 3 73.666667 0.796380 4 1807.5926 0.959246 1089128.994 0.998340 6 3.95401E+11 0.999997 5.21139E+22 8 9.05286E+44 9 2.73181E+89 10 2.4876E+178 Divergen monoton

Konvergensi dari metode iterasi titik tetap Konvergen dan monoton y y = x g(x)  x x2 x1 x0 O s x3 Gambar 4.2

Konvergen berosilasi y y = x g(x) x s O x7 x0 x3 x4 x1 x5 x6 x2  x s O x1 x3 x5 x7 x6 x4 x2 x0 Gambar 4.3

Divergen berosilasi y g(x) y = x  x O x3 x1 s x0 x4 x2 Gambar 4.4

Divergen monoton y g(x) y = x  x x0 O s x1 Gambar 4.5

Kriteria konvergensi metode iterasi titik tetap Telah diketahui sebelumnya bahwa untuk menentukan akar atau akar-akar dari suatu fungsi suatu persamaan maka harus ditetapkan f (x) = 0 sedemikian rupa sehingga x = g(x). Selanjutnya dilakukan langkah iterasi dengan menggunakan nilai hampiran xr +1 = g(xr) (4.4) Solusi sejati s = g(s) (4.5) Persamaan (4.4) – (4.5) didapat xr + 1 – s = g(xr ) – g(s ) (4.6) (4.7)

(4.8) Dimana adalah harga rata-rata yang menyatakan bahwa, jika terdapat sebuah fungsi f (x) dan turunan pertamanya kontinu pada selang tertutup [a, b], maka terdapat sekurang-kurangnya satu harga dari x =  dalam selang tersebut yang dilalui oleh sebuah garis yang sejajar garis yang menghubungkan s dan x. Selanjutnya substituis pers. (4.6) ke (4.8) didapat, xr + 1 – s = (xr – s)g() (4.9)

Karena xr – s = r , maka r + 1 = r g( ) (4.10) Perhatikan bahwa, kesalahan sekarang akan menjadi: a) lebih kecil dari kesalahan sebelumnya jika g( ) < 1 b) lebih besar dari kesalahan sebelumnya jika g( ) > 1 Artinya Jika |g( )| < 1 dapat dipastikan bahwa iterasi konvergen Jika |g( )| > 1 mungkin divergen untuk salah satu akar, tapi konvergen untuk akar lainnya. Jika g() positif, kesalahan akan positif hingga iterasi monoton (Gambar 4.2 dan 4.5). Jika g() negatif, kesalahan akan berosilasi hingga iterasi monoton (Gambar 4.3 dan 4.4).

Latihan Dari fungsi f (x) = –0,874x2 + 1,75x + 2,627, tentukan a) Semua kemungkinan prosedur iterasi titik tetap dari f(x) = 0 b) Tentukan akar atau akar-akar dari fungsi tersebut.