Modul 4 : penggunaan turunan Kalkulus Prayudi Modul VI Penggunaan Turunan

Modul VI Penggunaan Turunan PENGGUNAAN TURUNAN, GRAFIK FUNGSI Perhatikanlah sketsa grafik berikut ini Dari sketsa terlihat pula : Fungsi mencapai maksimum di titik x=-2 dan x=2 Fungsi mencapai minimum relatif di titik x=-3,x=1 dan x=4 Titik-titik x=-2,x=2 dan x=4 disebut titik stasioner Ttitik x=-3,x=1 disebut titik singular f′(x)>0, f(x) naik stasioner Maksimum f′(x)=0 f′(x)<0, f(x) turun cekung kebawah stasioner f′′(x)>0 cekung keatas f′′(x)<0 singular Minimum stasioner Dari grafik terlihat bahwa : Grafik fungsi naik pada interval -3<x<-2, 1<x<2, x>4 Grafik fungsi turun pada interval x<-3, -2<x<1, x<x<4 Kalkulus Prayudi Modul VI Penggunaan Turunan

Penggunaan Turunan Pertama Bab 4.1 Bab 4.2 Bab 4.3 Titik Kritis Fungsi Naik/Turun Uji Nilai Ekstrim Titik stasioner f′(c) = 0 Batas interval (titik kritis) x=c adalah titik kritis Titik singular f′(c) tidak ada Fungsi Turun f′(x) < 0  f(x) turun f(c) nilai maksimum x<c, f′(x)>0,x>c, f′(x)<0 f(c) nilai minimum x<c, f′(x)<0,x>c, f′(x)>0 Titik ujung interval Fungsi naik f′(x) > 0 f(x) naik f(c) bukan ekstrim x<c, f′(x)>0,x>c, f′(x)>0 x<c,f′(x)<0, x>c, f′(x)<0 Kalkulus Prayudi Modul VI Penggunaan Turunan

Modul VI Penggunaan Turunan Contoh 1 Buatlah sketsa grafik f(x) =(x–2)2/3(x-6)2 Jawab Turunan pertama Sketsa grafik turun naik Titik kritis (1) stasioner, f′(x) = 0, P(x)=0 adalah x1=3 dan x2=6 (2) singular, f′(x) tidak ada, Q(x)=0 adalah x3=2 maksimum stasioner turun naik Interval fungsi naik turun - - - + + +0- - - - - - 0 + + f′(x) ───┼───┼─────┼─── 2 3 6 turun naik turun naik f(x) ───┼───┼─────┼─── 2 3 6 minimum, singular minimum, stasioner Uji nilai ektrim Dari interval fungsi naik turun diperoleh (1) f(3)= nilai maksimum (2) f(2) = 0, dan f(6) = 0 nilai minimum Kalkulus Prayudi Modul VI Penggunaan Turunan

Modul VI Penggunaan Turunan CONTOH : f(x) = (x2 – 2x – 24)2/3(x-2)2 Kalkulus Prayudi Modul VI Penggunaan Turunan

Modul VI Penggunaan Turunan Contoh 2 Buat sketsa grafik : f(x) = (x-2)3(x2-4x–11) Jawab Turunan pertama f′(x)=5(x-2)2(x2-4x-5) Titik kritis f′(x)=5(x-2)2(x2-4x-5) = 0 (x-2)2(x+1)(x-5) = 0 x1=-1, x2=x3=2, x4=5 Interval fungsi naik/turun ++++0 - - - - -0- - - - - 0 + + f′(x) ───┼────┼────┼─── –1 2 5 naik turun turun naik f(x) ───┼────┼────┼─── Sketsa Grafik maksimum turun titik belok naik turun turun naik minimum Uji nilai ektrim Dari interval fungsi naik turun diperoleh (1) f(–1)= 162 nilai maksimum (2) f(5)= -162 nilai minimum (3) f(2)=0 adalah titik belok Kalkulus Prayudi Modul VI Penggunaan Turunan

Modul VI Penggunaan Turunan TUGAS KHUSUS : Untuk soal-soal berikut ini, hitunglah : Turunan Pertama Titik kritisnya Interval fungsi naik/turun Nilai ekstrim dan jenis ekstrimnya Sketsa grafiknya (3) f(x) = (a – x)3(x2 – (2a – b)x – 2ab) (4) f(x) = (x – b)2(x2 – (2b – a)x – 2ab) Kalkulus Prayudi Modul VI Penggunaan Turunan

Penggunaan Turunan Kedua Titik Belok/Balik Kecekungan Grafik Uji Nilai Ekstrim Titik belok f′′(c) = 0 Batas kecekungan (titik belok) x=c adalah titik stasioner Titik balik f′′(c) tidak ada Fungsi cekung keatas f′′(x)>0  f(x) ck keatas f(c) nilai maksimum f′(c)=0 dan f′′(x)<0 f(c) nilai minimum f′(c)=0, dan f′′(x) >0 Fungsi cekung kebawah f′′(x)<0f(x) ck kebawah uji gagal f(c) bukan ekstrim f′(x)=0,f′′(x)=0 Gunakan Uji turunan pertama Kalkulus Prayudi Modul VI Penggunaan Turunan

Modul VI Penggunaan Turunan Contoh 3 Buat sketsa grafik : f(x) = 0,25(x-1)2(x2-2x–17) Jawab Turunan pertama dan kedua f′(x)=(x–1)(x2-2x-8) f′′(x)=3(x2–2x–2) Titik kritis f′(x)=(x-1)2(x2-2x-8) = 0 (x-1)(x+2)(x-4) = 0 x=-2, x=1, x=4 Interval fungsi naik/turun - - - - 0 + + + 0- - - - - 0 + + f′(x) ───┼────┼────┼─── -2 1 4 turun naik turun naik f(x) ───┼────┼────┼─── –2 1 4 Titik belok f′′(x)=3(x2–2x–2) = 0 x1=1–3 = -0,732; x2=1+3 = 2,732 Kecekungan grafik + + + + +0 - - - - - - - - 0 + + + + + f′′(x) ─────┼───────┼────── -0.732 2,732 ck-keatas ck-kebawah ck keatas f(x) ──────┼───────┼────── -0,7321 2,732 Uji Nilai ekstrim x f′(x) f′′(x) Kesimpulan --------------------------------------------------- –2 0 ( + ) f(-2) =-20,25 minimum 1 0 ( - ) f(1) = 0 maksimum 4 0 ( + ) f(4) = -20,25 minimum ----------------------------------------------------- Kalkulus Prayudi Modul VI Penggunaan Turunan

Modul VI Penggunaan Turunan Sketsa Grafik contoh 3 y turun naik naik turun turun naik cekung keatas cekung keatas cekung kebawah cekung kebawah cekung keatas cekung keatas x=-0,732 x=2,732 maksimum x x=-2 x=4 Titik belok x=1 Titik belok minimum minimum Kalkulus Prayudi Modul VI Penggunaan Turunan

Modul VI Penggunaan Turunan Contoh 4 Buat sketsa grafik : f(x) = (x-2)3(x2-4x–11) Jawab Turunan pertama f′(x)=5(x-2)2(x2-4x-5) f′′(x)=10(x-2)(2x2-8x-1) Titik kritis f′(x)=5(x-2)2(x2-4x-5) = 0 (x-2)2(x+1)(x-5) = 0 x=-1, x=2, x=5 Interval fungsi naik/turun ++++0 - - - - -0- - - - - 0 + + f′(x) ───┼────┼────┼─── –1 2 5 naik turun turun naik f(x) ───┼────┼────┼─── Titik belok f′′(x)=10(x-2)(2x2–8x–1) = 0 x1=–0.121; x2=2; x3 = 4.121 Kecekungan grafik - - - -0 + + + +0 - - - - - - 0 + + + f′′(x) ───┼─────┼─────┼──── -0.121 2 4,121 k-bawah ck-atas ck-bawah ck-atas f(x) ────┼─────┼─────┼──── -0,121 2 4,121 Uji Nilai ekstrim x f′(x) f′′(x) Kesimpulan --------------------------------------------------- –1 0 ( + ) f(-1)=162 maksimum relatif 2 0 ( 0 ) f(2)=0 uji gagal, titik belok 5 0 ( + ) f(4)= -162 minimum relatif ---------------------------------------------------- Kalkulus Prayudi Modul VI Penggunaan Turunan

Modul VI Penggunaan Turunan Grafik contoh 4 y maksimum titik belok cekung kebawah cekung keatas naik titik belok x turun naik cekung kebawah cekung keatas titik belok minimum Kalkulus Prayudi Modul VI Penggunaan Turunan

Modul VI Penggunaan Turunan Tugas Khusus : Penggunaan Turunan pertama dan kedua Untuk fungsi berikut ini, tentukanlah : Turunan pertama dan turunan kedua Titik kritis Interval fungsi naik/turun Titik belok Kecekungan grafik Uji Nilai Ekstrim Sketsa grafik (a) f(x) = (x2 – 5x – 6)(x – a)3 (b) f(x) = (x – a)4(x2 –4x – 12) Kalkulus Prayudi Modul VI Penggunaan Turunan

Modul VI Penggunaan Turunan Model Matematika Langkah-langkah yang digunakan untuk menyelesaian masalah nyata dengan pemodelan matematika adalah sebagai berikut: Langkah 1 : Buatlah sebuah gambar untuk menjelaskan permasalahan, dan berikan variabel-variabel atau konstanta yang diperlukan. Langkah 2 : Tentukan rumus untuk sebuah besaran yang akan dicari nilai ekstrimnya dengan variabel-variabel dan konstanta pada langkah 1. Jika perlu gunakan kondisi-kondisi permasalahan untuk menentukan rumus besaran yang merupakan fungsi satu variabel. 3). Langkah 3 : Gunakan turunan pertama untuk menentukan titik kritis, dan gunakan uji turunan pertama atau uji turunan kedua untuk menentukan jenis nilai ekstrimnya. 4). Langkah 4 : Tariklah kesimpulkan dari langkah 3, untuk menyelesaikan permasalahan. Kalkulus Prayudi Modul VI Penggunaan Turunan

Modul VI Penggunaan Turunan Contoh soal Sebuah pabrik pengalengan ingin membuat kaleng berbentuk silinder lingkaran tegak yang mempunyai volume tetap. Tentukanlah perbandingan ukuran tinggi dan jari-jari alas agar material yang digunakan pabrik sehemat mungkin. Sebuah pembangkit tenaga listrik, P, terletak di tepi sungai lurus lebarnya 400 m. Sebuah pabrik kimia, K, terletak diseberang sungai berjarak 1 km ke arah hilir dari titik A yang berseberangan langsung dengan pabrik. Pabrik kimia ingin membangun suatu jaringan listrik yang menghubungkan pabrik dengan pembangkit tenaga listrik. Apabila biaya pemasangan kabel listrik per seratus meter, di bawah permukaan air lebih mahal 25 persen dari pada biaya pemasangan di darat. Tentukanlah jalur pemasangan kabel yang paling hemat. 3) Sebuah balok kayu persegi panjang dipotong dari sebuah gelondong kayu dengan penampang berbentuk lingkaran. Jika kekuatan balok sebanding dengan hasil kali lebar dan pangkat tiga tebalnya, tentukanlah ukuran balok yang memberikan kekuatan paling kuat. Kalkulus Prayudi Modul VI Penggunaan Turunan

Modul VI Penggunaan Turunan Asumsikan, x : menyatakan rata-rata jumlah listrik yang bisa dihemat per hari dan, f(x) : biaya yang harus dibayarkan. Jika fungsi biayanya adalah Dengan uji turunan kedua berapakah rata-rata listrik yang harus dihemat per harinya, agar supaya biayanya minimum. Catatan : soal ini hanya ditanya nilai ekstrimnya saja. Diberikan fungsi biaya total, TC = Q3 – 3(a+b)Q2 + 3a(a+2b)Q + 4(a+b)3. Dengan uji turunan pertama dan turunan kedua, tentukanlah : Output Q yang meminimalkan biaya total, dan berapakan biaya minimal tersebut. Output Q yang meminimalkan biaya total rata-rata (AC = TC/Q), dan berapakah biayaminimal tersebut. Kalkulus Prayudi Modul VI Penggunaan Turunan

Limit Bentuk Tak Tentu Fungsi f(x)/g(x) dikatakan mempunyai bentuk tak tentu di x=a, jika f(a)=0/ dan g(a)=0/, yakni : Rumus 1. Jika, Contoh : Bentuk tak tentu di x=a Misalkan, adalah bentuk tak tentu di x=2

Contoh Hitunglah, Jawab, Contoh Hitunglah, Jawab, L’H L’H L’H LH

Rumus 2. Jika, Contoh : L’H Contoh, L’H L’H L’H L’H L’H L’H

Bentuk Tak Tentu Lainnya Rumus 3. Jika, Mengingat : L’H Contoh : Hitunglah, Jawab : Tulislah, (0.)

Mengingat, Rumus 4. Jika, L’H L’H L’H L’H Contoh : Hitunglah, Jawab : Tulislah,

Contoh : Contoh : ( – ) ( – ) L’H L’H L’H L’H

Rumus 5 : Jika : (0.)

Contoh : Hitunglah, Jawab L’H L’H L’H Jadi,

Contoh : Hitunglah, Mengingat, L’H L’H L’H Jadi,

Contoh : Hitunglah, Mengingat, L’H L’H L’H

Soal-soal latihan