DISTRIBUSI PROBABLITAS

Pengantar: Di bidang statistika, bentuk distribusi probabilitas perlu dipelajari untuk memahami dan menafsirkan implikasi umum dari studi staistik yang lebih lanjut. Misalnya dalam statistik inferensial yaitu suatu cara pengambilan kesimpulan tentang populasi yang didasarkan pada pengambilan sampel random. Inferensinya bergantung pada bentuk distribusi probabilitas populasi. Kadang-kadang pencatatan hasil percobaan yang kita peroleh tidak selalu berasal dari perubah acak yang tunggal. Ada kalanya diperlukan pencacatan beberapa perubah acak yang terjadi secara serentak (distribusi probabilitas gabungan). Pokok bahasan disini memberikan konsep dasar yang berguna untuk mempermudah perhitungan yang berkaitan dengan distribusi probabilitas.

Setelah mempelajari materi pokok bahasan disini, mahasiswa diharapkan: Kompetensi: Setelah mempelajari materi pokok bahasan disini, mahasiswa diharapkan: Mampu menggunakan konsep-konsep dasar teori distribusi probabilitas secara benar. Mampu dan terampil dalam melakukan hitungan-hitungan yang berkaitan dengan perubah acak, distribusi probabilitas diskrit, kontinyu, fungsi padat gabungan, distribusi marginal, distribusi bersyarat, dan bebas statistik. Terampil dalam mengerjakan soal-soal tugas dan latihan.

Perubah Acak Diskrit dan Kontinyu Distribusi Probabilitas Diskrit Daftar Isi Materi: Perubah Acak Diskrit dan Kontinyu Distribusi Probabilitas Diskrit Distribusi Probabilitas Kontinyu Fungsi Padat gabungan Distribusi Marginal Probabilitas Bersyarat Bebas Statistik

3.1. Perubah acak Suatu percobaan statistika yang dilakukan selalu menghasilkan pengamatan yang berkemungkinan. Sering kali kita mengkaitkan suatu bilangan sebagai pemberian hasil tersebut. Sebagai contoh suatu percobaan dengan ruang sampel yang memberikan secara rinci setiap kemungkinan hasilnya bila ada 3 suku cadang elektronik yang diuji dapat dinyatakan sebagai: Dimana, B menyatakan barang yang baik dan C menyatakan barang yang cacat. Jika kita ingin mengetahui berapa banyaknya barang yang cacat, maka setiap titik dalam ruang sampel dikaitkan dengan bilangan 0, 1, 2, atau 3. Bilangan ini merupakan besaran acak yang ditentukan oleh hasil percobaan, dan dapat dipandang sebagai nilai perubah acak, X, yaitu banyaknya barang yang cacat.

Definisi (3.1): Contoh (3.1): Peubah acak adalah suatu fungsi yang mengkaitkan bilangan riil pada setiap unsur dalam ruang sampel S. Perubah acak dinyatakan dengan huruf besar, misalnya X, sedangkan nilainya dinyatakan dengan huruf kecil padanannya, misalnya x. Pada contoh diatas, Jika X menyatakan banyaknya 2-barang yang cacat, maka Contoh (3.1): Kembali ke contoh (1.2). Jika X menyatakan banyaknya pasien yang sembuh, maka X = {0, 1, 2, 3, 4} Artinya untuk x=0 menyatakan tidak ada yang sebuh, x=1 menyatakan ada satu pasien yang sembuh, analog yang lainya.

Definisi (3.2): Definisi (3.3): Jika suatu ruang sampel memuat titik yang berhingga, atau banyaknya unsur sesuai dengan banyaknya bilangan cacah, maka ruang sampel tersebut dikatakan ruang sampel diskret. Ruang sampel untuk contoh 3.1 dikatakan ruang sampel diskret Definisi (3.3): Jika suatu ruang sampel memuat titk sampel yang takberhingga banyaknya, dan banyaknya unsur sesuai dengan banyaknya titik pada sepotong garis, maka dikatakan ruang sampel kontinyu. Ruang sampel yang datanya diukur seluruh kemungkinan berat badan, tinggi, jarak, temperatur, dan jangka hidup

3.2. Distribusi Probabilitas Diskrit Suatu perubah acak disebut perubah acak diskrit jika himpunan kemungkinan hasilnya terhitung. Pada contoh (3.1) nilai X adalah 0, 1, 2, 3, 4 maka X adalah perubah acak diskrit. Perubah acak diskrit ini menggambarkan data cacah. Lebih mudah jika semua probabilitas dari perubah acak X dinyatakan dalam rumusan, misalnya f(x), g(x), h(x), dst. Kadang ditulis f(x)=P(X=x). Pasangan (x, f(x)) disebut fungsi probabilitas atau distribusi probabilitas perubah acak X Jadi sebuah tabel yang memuat perubah acak diskrit X beserta nilai fungsi probabilitasnya disebut distribusi probabilitas diskrit. Dan distribusi kumulatif dari f(x) dinyatakan sebagai F(x)

Definisi (3.4): Misalkan f(x) merupakan fungsi probabilitas, fungsi massa probabilitas, atau distribusi probabilitas dari perubah acak diskrit X, maka berlaku: 1. 2. 3. Distribusi kumulatif F(x) dinyatakan sebagai

Contoh (3.2): Suatu eksperimen dari pelemparan sebuah mata uang logam sebanyak 3 kali. Tentukan distribusi probabilitas X yang menyatakan banyaknya sisi muka yang tampak dari hasil eksperimen tersebut Jawab: Hasil eksperien adalah sbb; dimana M = sisi muka ; B = sisi belakang Misalnya: X = perubah acak yang menyatakan banyaknya sisi muka yg muncul X = { 0, 1, 2, 3} Untuk x=0, artinya tidak ada sisi muka yg muncul x=1, artinya ada 1-sisi muka yg muncul

x=2, artinya ada 1-sisi muka yg muncul Tabel 3.1 Distribusi Probabilitas perubah acak X X 1 2 3 Tabel diatas, memenuhi: 1. 2. 3. Distribusi kumulatif perubah acak X:

Contoh (3.3): Sebuah toko elektronik menjual 15 radio yang diantaranya ada 5 yang rusak. Jika seoarang calon pembeli melakukan test 3 radio yang dipilih secara random, tuliskan distribusi peluang dari banyaknya radio yang rusak dalam sampel tersebut Jawab Misalkan:X = perubah acak yang menyatakan banyaknya radio yg rusak X = {0, 1, 2, 3} 10B, 5R 3 ; x=0,1,2,3 15 Diperoleh: x=0 ; x=1

Tabel diatas, memenuhi: 1. 2. 3. x=2 ; x=3 Tabel 3.2 Distribusi Probabilitas perubah acak X X 1 2 3 Tabel diatas, memenuhi: 1. 2. 3. Distribusi kumulatif perubah acak X:

3.3. Distribusi Probabilitas Kontinyu Distribusi probabilitas kontinyu adalah distribusi yang memuat perubah acak kontinyu. Distribusi probabilitas kontinyu dinyatakan dalam bentuk rumusan (dan tidak dapat dinyatakan dalam bentuk tabel) karena perubah acaknya berupa interval (selang). Cara menghitung fungsi peluang utk berbagai selang dari perubah acak kontinyu adalah sebagai berikut: y x 0 a b Gambar 3.1. Luas daerah yang diarsir = Tidak menjadi soal, apakah titik ujung selang diikutsertakan atau tidak. Lihat gambar 3.1

Definisi (3.5): Misalkan f(x) merupakan fungsi probabilitas, dari perubah acak diskrit X, maka berlaku: 1. 2. 3. Distribusi kumulatif F(x) dinyatakan sebagai Akibatnya:

Contoh (3.4): Misalkan galat suatu reaksi dalam derajat celsius (0c) pada percobaan di laboratorium yang dikontrol merupakan perubah acak X yang mempunyai fungsi peluang sbb: a). Tunjuan b). Hitung Jawab

Contoh (3.5): Carilah distribusi kumulatif dari contoh(3.4) dan kemudian hitung P(0 < X < b) Jawab: untuk -1 < X < 2 Jadi: Diperoleh:

3.4. Fungsi Massa Gabungan Kadang-kadang pencatatan hasil percobaan yang kita peroleh tidak selalu berasal dari perubah acak yang tunggal. Ada kalanya diperlukan pencacatan beberapa perubah acak yang terjadi secara serentak. Jika X dan Y perubah acak, maka probabilitas terjadinya secara serentak dari X dan Y dinyatakan sebagai f(x,y) disebut Distribusi Probabilitas Gabungan, untuk setiap pasangan (x,y) dalam rentangan X dan Y Jika X dan Y merupakan dua perubah acak diskret yang dapat terjadi secara serentak dinyatakan dengan notasi f(x,y), maka f(x,y) disebut Fungsi ( atau distribusi ) Massa Gabungan dari perubah acak X dan Y.

Definisi (3.6): Fungsi f(x,y) disebut distribusi probabilitas gabungan atau fungsi massa gabungan dari perubah acak diskret X dan Y jika: 1. f(x,y) ≥ 0; untuk semua (x,y) 2. 3. P(X=x,Y=y) = f(x,y) Untuk setiap daerah A di bidang xy, maka P[(X,Y)єA] =

Contoh (3.6): Dua buah bolam dipilih secara acak dari sebuah kotak yang berisi 3 bolam berwarna biru, 2 berwarna merah, dan 3 berwarna hijau. Jika X menyatakan banyaknya bolam berwarna biru dan Y berwarna merah yang terpilih, maka hitunglah: a. fungsi probabilitas gabungan X dan Y b. P[(X,Y)єA], bila A daerah {(x,y)/ x+y≤ 1} Jawab: a. Misalkan, X = banyaknya bolam biru yang terambil = {0, 1, 2} Y = banyaknya bolam merah yang terambil = {0, 1, 2} Pasangan nilai (x,y) yang terjadi :(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)

2 n(S) = 3B 2M,3H 8 y = 0, 1, 2 0 ≤ x+y ≤ 2 Ilustrasi: Misalnya n(S) = banyaknya cara memilih 2 bolam dari 8 yang ada Fungsi peluang gabungan f(x,y) dinyatakan dengan rumus: x = 0, 1, 2 y = 0, 1, 2 0 ≤ x+y ≤ 2

b. Dari hasil a), diperoleh sbb: ;

Jadi P[(X,Y)єA] = P(x+y ≤ 1) = f(0,0) + f(0,1) + f(1,0) = + + = Dari hasil diatas dapat dibuat tabel distribusi probabiliatas sbb: Tabel. 3.3. Distribusi Peluang Gabuangan X dan Y f(x,y) X Jumlah baris 0 1 2 Y 1 2 Jumlah kolom Jadi P[(X,Y)єA] = P(x+y ≤ 1) = f(0,0) + f(0,1) + f(1,0) = + + =

3.5 Fungsi Padat Gabungan Jika X dan Y, perubah acak kontinu, maka f(x,y) disebut fungsi padat gabungan dari X dan Y yaitu suatu permukaan yang terletak di atas bidang xy, dan P[(X,Y)єA] dimana A adalah daerah di bidang xy , sama dengan isi silinder kanan yang dibatasi oleh dasar A dan permukaan. Fungsi padat gabungan ini merupakan cara menjelaskan distribusi probabilitas untuk populasi atau sistem.

Definisi (3.7): Fungsi f(x,y) disebut fungsi padat gabungan dari perubah acak kontinu X dan Y jika: 1. f(x,y) ≥ 0; untuk semua (x,y) 2. 3. P[(X,Y)єA] = untuk tiap daerah di bidang xy

Contoh (3.7): Suatu pengiriman barang yang memproduksi coklat dengan campuran krem,cofee dan kacang, dengan berlapis coklat cerah dan pekat. Bila sebuah kotak diambil secara acak , serta X dan Y masing-masing menyatakan proporsi campuran krem berlapis coklat cerah dan pekat dengan fungsi padat gabungannya adalah : a. Tunjukan b. Cari P[(X,Y)єA] jika A daerah {(x,y)/ 0 < x < ; < y < }

Jawab: a. b. P[(X,Y)єA] = P ( 0 < x < ; < y < )

3.5 Distribusi Marginal (pias) Jika f(x,y) peluang gabungan dari perubah acak diskrit X dan Y maka peluang g(x) dari X sendiri diperoleh dengan menjumlahkan f(x,y) terhadap semua Y. demikian pula untuk distribusi peluang h(y) dari Y diperoleh dengan menjumlahkan f(x,y) terhadap semua nilai X. g(x) disebut distribusi marginal dari X, dan h(y) disebut distribusi marginal dari Y. Jika X dan Y perubah acak kontinu, tanda penjumlahan diganti dengan integral.

Definisi (3.8): Distribusi marginal dari perubah acak X sendiri dan Y sendiri didefinisikan sebagai : a. Untuk hal diskrit, maka dan b. untuk hal kontinu, maka

a. Tunjukan jumlah kolom dan baris pada tabel 3.3 memberikan Contoh (3.8): a. Tunjukan jumlah kolom dan baris pada tabel 3.3 memberikan distribusi marginal dari X sediri dan Y sendiri. b. Cari g(x) dan h(y) untuk fungsi padat gabungan pada contoh (3.6) Jawab: a. Untuk perubah acak X P(X=0) = g(0) = P(X=1) = g(1) = P(X=2) = g(2) =

Untuk perubah acak Y P(Y=0) = h(0) = P(Y=1) = h(1) = P(Y=2) = h(2) = Distribusi Marginal dalam bentuk tabel sbb: x 1 2 g(x) y 1 2 h(y)

b. Untuk perubah acak X dan Untuk perubah acak Y

P(a< X < b) = P(a< X < b; -∞ < Y < ∞ ) Catatan: Distribusi marginal g(x) dan h(y) adalah distribusi masing-masing perubah X dan Y sendiri. Hal ini dapat dengan mudah dengan menunjukan misalnya untuk hal kontinu: Dan P(a< X < b) = P(a< X < b; -∞ < Y < ∞ )

Berlaku juga untuk X dan Y kontinu. 3.6 Distribusi Bersyarat Menurut definisi probabilitas bersyarat sebelumnya bahwa kejadian B terjadi setelah A muncul dinyatakan: Jika kejadian A dan B masing-masing menyatakan X=x dan Y=y, maka untuk X dan Y perubah acak diskrit: Berlaku juga untuk X dan Y kontinu. Jika ditulis f(y/x), maka diperoleh definisi berikut ini

Definisi (3.9): Misalkan X dan Y merupakan perubah acak diskrit maupun kontnu. Maka distribusi probabilitas bersyarat dari perubah acak Y , jika diketahui X=x dinyatakan sebagai: Distribusi peluang bersyarat perubah acak X, jika diketahui Y=y dinyatakan sebagai:

Mencari probabilitas perubah acak diskrit X , a <x < b jika perubah acak diskrit Y telah diketahui , maka dihitung: penjumlahan meliputi semua nilai X antara a dan b. Jika X dan Y Kontinu, maka dihitung: Contoh (3.9): Kembali ke contoh (3.6). a). Cari distribusi bersyarat X, jika diketahui Y=1 b). Gunakan a). Untuk menghitung P(X=0/Y=1)

Jawab: a). Yang akan kita cari Pertama-tama dicari b). Untuk menghitung P(X=0/Y=1)

bahwa isi yang satu lagi bukan biru Tabel 3.4 distribusi bersyarat X, bila Y=1 x 1 2 f(x/1) Sehingga diperoleh P(X=0/Y=1) = f(0/1) = Jadi bila diketahui bahwa 1 dari kedua isi bulpoint yang terambil berwarna merah maka probabilitasnya bahwa isi yang satu lagi bukan biru

Contoh (3.10): Misalkan X perubah acak yang menyatakan banyaknya pelari pria dan Y pelari wanita yang menyelesaikan lomba-lomba maraton. Secara matematika dapat dinyatakan sebagai fungsi padat gabungan: a). Hitung lah g(x), h(y), f(y/x) b). Tentukan peluang bahwa kurang dari 1/8 pelari wanita yang menyelesaikan maraton bila ada tepat 1/2 pria telah menyelesaikan maraton tsb

Jawab: dan Jadi,

Diketahui fungsi padat gabungan: Contoh (3.11): Diketahui fungsi padat gabungan: a). Carilah g(x), h(y), f(x/y) b). Hitunglah Jawab: menurut definisi,

dan Jadi,

3.7. Bebas Statistik Jika f(x/y) tidak tergantung pada y, maka hasil dari perubah acak Y tidak mempengaruhi oleh hasil perubah acak X, dan disebut bahwa “X dan Y perubah acak bebas”. Definisi (3.10): Jika f(x,y) merupakan fungsi probabilitas gabungan dari perubah acak X dan Y dan distribusi marginal masing-masing g(x) dan h(y), maka X dan Y dikatakan bebas statistik jika : untuk setiap (x,y) dalam daerah definisinya

Jadi X dan Y tidak bebas statistik Contoh (3.12): Tunjukan bahwa perubah acak pada contoh (7.1) tidak bebas statistik. Jawab: Untuk x=0 dan y=1 pada tabel 7.1. diperoleh diperoleh: , Jadi X dan Y tidak bebas statistik

Definisi (3.8) juga berlaku untuk n-perubah acak ,yaitu: untuk setiap dalam daerah definisinya Contoh (3.13): Umur makanan kemasan dalam kotak sebelum rusak (tahan lama) merupakan perubah acak dengan fungsi padat berbentuk Hitung

Jawab: Misal menyatakan umur tahan lama dari tiga kotak makanan. karena dipilih secara acak, maka dapat dianggap bebas statistik, sehingga distribusi gabungannya: Jadi: