PERSAMAAN LINEAR DAN PERSAMAAN KUADRAT PETA KONSEP PERSAMAAN LINEAR DAN PERSAMAAN KUADRAT MATERI Materi SMP Kelas VII LATIHAN PROFIL

Eliminasi & Substitusi Persamaan Persaman Linear Satu peubah Dua peubah Persamaan Kuadrat Satu Peubah Dua Peubah Pangkat Tinggi Eliminasi Substitusi Eliminasi & Substitusi 1. Kuadrat biasa 2. Kuadrat tak lengkap 3. Kuadrat Murni 1. Rumus abc 2. Faktorisasi 3. Kuadrat Sempurna PETA KONSEP

PERSAMAAN LINEAR DAN PERSAMAAN KUADRAT Pengertian Persamaan Persamaan adalah kalimat yang terbuka yang menyatakan hubungan “sama dengan” (=). Sedangkan kalimat terbuka adalah suatu kalimat yang belum dapat dinyatakan benar atau salah. Contoh persamaan : a. 2x + 5 = 9 b. 3x² - 2 = 0 Pada persamaan 2x+5 = 9 ( x disebut peubah) Bila x diganti dengan suatu bilangan maka dapat diketahui apakah kalimat terbuka diatas merupakan suatu pernyataan yang benar atau salah

HOME Bila x = 3 maka kalimat terbuka : 2x+5 = 9 menjadi: ( 2 x 3) + 5 = 9 6 + 5 = 9 Bila x = 2 maka kalimat terbuka : 2x+5 = 9 menjadi: ( 2 x 2 ) + 5 = 9 4 + 5 = 9 Jadi persamaan (kalimat terbuka) 2x + 5 = 9 akan menjadi suatu pernyataan yang benar bila peubah x = 2.

Beberapa bentuk persamaan : Persamaan linear dengan satu peubah adalah suatu persamaan yang memiliki satu peubah dan peubahnya berpangkat satu. contohya : 8x – 9 = 15  peubahnya : x Persamaan linear dengan dua peubah persamaan linear dengan dua peubah adalah persamaan yang memiliki dua peubah dan pangkatnya satu. Contoh : 3x + 2y = 7  peubahnya x dan y

Persamaan kuadrat dengan satu peubah persamaan kuadrat dengan satu peubah adalah suatu persamaan yang memiliki satu peubah dan peubahnya berpangkat dua. contoh : 3x² + 3x = 15  peubahnya x Persamaan kuadrat dengan dua peubah persamaan kuadrat dengan dua peubah adalah suatu persamaan yang memiliki dua peubah dan masing-masing peubah berpangkat dua. contohnya : 2x² + 3y²- 17 = 0  peubahnya x dan y Persamaan pangkat tinggi Persamaan pangkat tinggi adalah suatu persamaan yang peubahnya berpangkat ≥ 3. contoh : x³ + 2x²- x - 5 = 0

PERSAMAAN LINEAR DENGAN SATU PEUBAH Persamaan linear denga satu peubah adalah persamaan yang peubahnya hanya satu dan berpangkat satu. Bentuk umum : ax + b = c, a ≠ 0 dengan x sebagai peubah dalil-dalil : 1. jika a = b maka a – c = b - c atau a + c = b + c 2. jika a = b maka 𝑎 𝑐 = 𝑏 𝑐 atau a x c = b x c untuk c > 0 jadi kedua ruas dalam suatu persamaan dapat ditambah, dikurangi,dikali, dibagi dengan satu bilangan Contohnya : 3x-8 =10  peubahnya : x (3x - 8) + 8 = 10 + 8  kedua ruas ditambah 8 3x = 18 3x 3 = 18 3  kedua ruas dibagi 3 x = 6

PERSAMAAN LINEAR DENGAN DUA PEUBAH Persamaan linear dengan dua peubah adalah persamaan yang memiliki dua peubah dan pangkatnya satu. Bentuk umum : ax + by = c  dengan x dan y sebagai peubah Contohnya : Persamaan linear dengan dua peubah x + y = 3 Supaya persamaan x + y = 3 menjadi pernyataan (kalimat) yang benar maka harus dipilih pengganti x kemudian menentukan harga y sebagai pasangannya, dengan cara berikut. Jika : x = 0 maka 0 + y = 3 sehingga y = 3 x = 1 maka 1 + y = 3 sehingga y = 2 x = 2 maka 2 + y = 3 sehingga y = 1 x = 3 maka 3 + y = 3 sehingga y = 0, dan seterusnya. HOME

Jadi persamaan x + y = 3 agar menjadi pernyataan yang benar maka peubah x dan y harus diganti dengan bilangan yang berpasang-pasangan, yakni : (0,3); (1,2); (2,1); (3,0); dan seteruanya. Dengan demikian, himpunan penyelasaian persamaan x + y = 3 adalah {0,3),(1,2),(2,1),(3,0),.....} Himpunna penyelesaian adalah himpunan pengganti peubah utuk menyelesaikan kalimat terbuka menjadi pernyataan yang benar. HOME

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN DUA PEUBAH Adalah suatu sistem persamaan yang terdiri atas dua persamaan linear, setiap persamaan mempunyai dua peubah. Bentuk umum : ax + by = c px + qy = c contoh : 3x + y = 10 x + y = 6 Untuk kedua persamaan diatas maka harus ditentukan pasangan-pasangan pengganti peubah x dan y. Penyelesaian sistem persamaan linear dengan dua peubah dapat dilakukan dengan dua metode, yaitu :

2). x + y = 6 disubsitusikan y = 10 – 3x menjadi : HOME Metode substitusi yaitu menggantikan salah satu variabel dengan variabel dari persamaan yang kedua. Contohnya : 3x + y = 10...................(1) x + y = 6........................(2) 1). 3x + y = 10  y = 10 – 3x 2). x + y = 6 disubsitusikan y = 10 – 3x menjadi : x + (10 - 3x ) = 6  x – 3x = 6 – 10  -2x = -4  x = 2 3). subsitusikan x = 2 ke salah satu persamaan, misalnya kepersamaan x + y = 6, maka : 2 + y = 6  y = 6 – 2 = 4 jadi harga x dan y yang memenuhi sistem persamaan di atas adalah x = 2 dan y = 4 .

Metode eliminasi yaitu menghilangkan salah satu peubah. Contohnya : 3x + y = 10 x + y = 6 eliminasi (menghilangkan x) 3x + y = 10 | x1 |  3x + y = 10 x + y = 6 | x3 |  3x + 3y =18 -2y = -8 y = 4

E. Persamaan Kuadrat Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari peubahnya adalah 2. Bentuk umum persamaan kuadrat : Dengan : a = 0 x = peubah dengan pangkat paling tinggi 2 . Jika : a = 1 maka 𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 persamaan kuadrat biasa b = 0 maka 𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 persamaan kuadrat murni c = 0 maka 𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 persamaan kuadrat tak lengkap 𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0

Penyelesaian persamaan kuadrat dengan rumus abc Rumus abc X1,2 = −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 X1 = −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 X2 = −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 Dengan : a = koefisien 𝑥 2 b = koefisien x c = konstanta

Contoh untuk persamaan kuadrat biasa Harga X1 dan X2 yang memenuhi persamaan 𝑥 2 - 10x + 16 = 0 adalah Penyelesaian dengan rumus abc : X1,2 = −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 Dengan a = 1 b = 10 dan c = 16, maka : X1,2 = −10± (−10) 2 −4(1)(16) 2(1) = 10± 100−64 2 = 10± 36 2 X1,2 = 10±6 2 ↔ X1 = 10+6 2 = 8, X2 = 10−6 2 = 2 Jadi harga-harga x yang memenuhi persamaan kuadrat 𝑥 2 - 10x + 16 = 0 adalah X1 = 8 dan X2 = 2. Himpunan penyelesaianyan {8,2} HOME

b. Contoh persamaan kuadrat tak lengkap Harga X1 dan X2 yang memenuhi persamaan 5 𝑥 2 - 15x = 0 Penyelesaian dengan rumus abc : X1,2 = −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 Dengan a = 5 b = -15 dan c = 0, maka : X1,2 = −(−15)± (−15) 2 −0 2(5) = 15± 225 10 = 15±15 10 X1 = 15+15 10 = 3 X2 = 15−15 10 = 0 Jadi harga-harga x yang memenuhi persamaan kuadrat 5 𝑥 2 - 15x = 0 adalah 3 dan 0. Himpunan penyelesaian = {3,0}

Contoh untuk persamaan kuadrat murni Harga X1 dan X2 yang memenuhi persamaan 3 𝑥 2 - 27 = 0 Penyelesaian dengan rumus abc : X1,2 = −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 Dengan a = 3 b = 0 dan c = -27, maka : X1,2 = 0± 0−4(3)(−27) 2(3) = 0± 324 6 = 0±18 6 = ± 3 X1 = 3 X2 = -3 Jadi harga-harga x yang memenuhi persamaan kuadrat 3 𝑥 2 - 27 = 0 adalah 3 dan -3 Himpunan penyelesaian = {3,-3}

2. Penyelesaian persamaan kuadrat dengan faktorisasi Untuk persaman kudrat biasa Tentukan harga X1 dan X2 yang memenuhi persamaan 2 𝑥 2 - 5x + 3 = 0 Penyelesaian dengan cara memfaktorkan : 2 𝑥 2 - 5x + 3 = 0 ↔ 2 𝑥 2 - 5x + 3 = 0 ↔ (2 𝑥 2 -2x) – (3x – 3) = 0 ↔ 2x (x - 1) – 3 (x-1) = 0 ↔ (2x - 3) (x - 1) = 0 maka : 2x – 3 = 0 X1 = 3 2 = 1,5 x – 1 = 0 X2 = 1

b. Untuk persamaan kuadrat tak lengkap secara umum 𝑎𝑥 2 +bx=0 x (ax + b) = 0 X = 0 atau ax + b = 0 ax = -b x = - 𝑏 𝑎 Tentukan harga X1 dan X2 yang memenuhi persamaan 5 𝑥 2 - 15x = 0 Penyelesaian dengan cara memfaktorkan : 5 𝑥 2 - 15x = 0 x (5x-15) = 0 x = 0 X1 = 0 5x -15 = 0 x = 15 5 X2 = 3

c. Untuk persamaan kuadrat murni Secara umum : ax 2 +bx=0 ax 2 + c a = 0 a x 2 + c a = 0 ( x + c a ) ( x − c a ) = 0 X1 = − c a dan X2 = + c a Tentukan harga X1 dan X2 yang memenuhi persamaan 3 x 2 - 27= 0 3 x 2 - 27= 0 3 x 2 - 27 = 0  0 3 ↔ x 2 −9=0 ↔ x 2 − 3 2 ↔ ( x -3 ) ( x + 3 ) = 0 X1= 3 dan X2 = -3 home

3. Penyelesaian persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat HOME a 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 a 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 =0 𝑎 = 0 𝑎 𝑥 2 + 𝑏 𝑎 x + 𝑐 𝑎 = 0 𝑥 2 + 𝑏 𝑎 x = - 𝑐 𝑎 𝑥 2 + 𝑏 𝑎 x + ( 𝑏 2𝑎 ) 2 = - 𝑐 𝑎 + ( 𝑏 2𝑎 ) 2 Dan seterusnya, yang akhirnya di dapat rumus abc −𝒃± 𝒃 𝟐 −𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂

Himpunan Penyelesaian dari 2𝑥 2 + 6x – 8 = 0 adalah… {-1,-4} {-1,4} {1, -4} {1,4} Pembahasan: 2𝑥 2 + 6x – 8= 0 |x 1 2 |  𝑥 2 + 4x – x – 4 = 0 ( 𝑥 2 + 4x) – (x + 4) = 0 x(x + 4) – 1 (x + 4) = 0 (x - 1) (x + 4) = 0 x – 1 = 0 , x = 1 x + 4 = 0 , x = -4 Jadi himpunan penyelesaian dari 2𝑥 2 + 6x – 8 = 0 adalah {-1,4}

Pemfaktoran dari 𝑥 2 – 4x – 12 = 0 adalah … Pembahasan: 𝑥 2 – 4x – 12 = 0, a = 1, b = -4, dan c = - 12 X1,2 = −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 = −(−4)± (−4) 2 −4.1.(−12) 2(1) = 4± 16+48 2 = 4± 64 2 = 4±8 2 𝑥 1 = 4−8 2 = - 2 ; 𝑥 2 = 4+8 2 = 6 Jadi pemfaktorran dari 𝑥 2 – 4x – 12 adalah (x – 6)(x + 2)

4x + 3y = 2.500 di substitusikan y= 300 menjadi : 4x + 3(3x300) = 2500 Harga 4 buah buku dan 3 buah pensil adalah Rp. 2.500,00. Sedangkan harga 2 buah buku dan 7 buah pensil Rp. 2.900,00. Harga 2 lusin buku dan 4 lusin pensil adalah … Penyelesaian : Misalkan harga 1 buah buku = x dan harga 1 buah pensil = y, maka persamaanya menjadi : 4x + 3y = 2500 x 1 4𝑥+3𝑦=2500 4x + 7y = 2900 x 2 8X + 14y = 5800 - -11y = - 330 y = 330 Dari persamaan 1 : 4x + 3y = 2.500 di substitusikan y= 300 menjadi : 4x + 3(3x300) = 2500 ↔ 4x = 2500 -900 = 1.600 𝑥= 1600 4 = 400 Jadi harga 1 buah buku = Rp. 400,00 dan harga 1 buah pensil = Rp. 300,00 Harga 2 lusin buku = 2 x 12 x rp. 400,00 = Rp. 9.600,00 Harga 4 lusin pensil = 4 x 12 x Rp. 300,00 = Rp. 14.400,00 Jadi harga 2 lusin buku dan 4 lusin pensil = Rp. 9.600,00 + Rp. 14.400.00 HOME