Model Berpangkat Tidak Penuh (MODEL ANOVA) nuvie.stis@2010

Contents 1 Formulasi Model 2 Estimasi Parameter 3 Reparameterisasi 4 Materi kuliah model linier – stis@2010 Contents 1 Formulasi Model 2 Estimasi Parameter 3 Reparameterisasi 4 Estimabilitas 5

Formulasi Model Model full rank: Materi kuliah model linier – stis@2010 Formulasi Model Model full rank: Sehingga E(e) = 0, dan E(y) = X. Setiap elemen e diasumsikan memiliki varians 2 dan covarians 0, sehingga: Persamaan normal berdasarkan model diatas dapat diselesaikan dengan OLS, sehingga didapat persamaan:

Estimasi dilakukan dengan G-Inverse sehingga solusi tidak unik Materi kuliah model linier – stis@2010 Formulasi Model Model full rank: Nonsingular/Full rank Bagaimana jika X’X tidak full rank? Estimasi dilakukan dengan G-Inverse sehingga solusi tidak unik

Penurunan Berat Badan (Kg) Materi kuliah model linier – stis@2010 Formulasi Model Contoh: Terdapat 3 metode diet, berikut adalah data 6 orang sampel yang didata rata-rata penurunan berat badan, setelah sebulan melakukan diet. Obs Penurunan Berat Badan (Kg) Metode 1 Metode 2 Metode 3 Member 1 4 8 7 Member 2 6 12 - Member 3 14 20

Materi kuliah model linier – stis@2010 Formulasi Model Contoh pada tabel diatas, yij adalah jumlah penurunan berat badan (dalam kg) berdasarkan metode ke-i dan pengamatan ke-j, dimana j = 1,2, …,ni Yang harus dilakukan adalah mengestimasi efek metode diet pada hasil penurunan berat badan. Untuk itu, diasumsikan observasi y adalah: Dimana  adalah rata-rata populasi dari besarnya penurunan berat badan, i adalah efek dari metode diet terhadap penurunan berat badan, dan ij adalah random error .

Materi kuliah model linier – stis@2010 Formulasi Model Untuk membangun persamaan normal, dapat dituliskan sbb: 4 =  + 1 + 11 6 =  + 1 + 12 4 =  + 1 + 13 8 =  + 2 + 21 12 =  + 2 + 22 7 =  + 3 + 31 Dan akan lebih mudah jika dituliskan dalam bentuk matriks: Dengan

Estimasi Parameter Model Materi kuliah model linier – stis@2010 Estimasi Parameter Model Jika X bukan matriks Full Rank, maka X’X juga tidak Full Rank, Akibatnya: Akan memiliki solusi yang tidak unik. Langkah yang diambil: Reparameterisasi (a Possible solution) Conditional Inverse/G-Inverse see part G-Inverse

Estimasi Parameter Model Materi kuliah model linier – stis@2010 Estimasi Parameter Model Teorema (1): Misal Ax = g konsisten, dan X = Acg adalah sebuah solusi dari sistem, dan Ac adalah conditional inverse dari A, maka: AAcAX = AX AAcg = g; X0 = Acg AX0 = g Analog dengan persamaan diatas:

Estimasi Parameter Model Materi kuliah model linier – stis@2010 Estimasi Parameter Model Teorema (2): Misal Ax = g konsisten, dan Ac adalah conditional inverse dari A, maka: X0 = Acg + (I – AcA)z Dimana z adalah sembarang vektor px1. Bukti: Analog dengan persamaan diatas: Jika z = 0, maka teorema (1) dapat digunakan.

Estimasi Parameter Model Materi kuliah model linier – stis@2010 Estimasi Parameter Model Teorema (3): Misal Ax = g konsisten, dan Ac adalah conditional inverse dari A. Jika X0 adalah salah satu solusi dari sistem, maka: X0 = Acg + (I – AcA)z Dimana z = (I – AcA)X0 Bukti: Analog dengan persamaan diatas: dimana z = [ I – (X’X)c(X’X) ] b0

Reparameterisasi Model yang terbentuk pada contoh: ; i = 1, 2, 3 Materi kuliah model linier – stis@2010 Reparameterisasi Model yang terbentuk pada contoh: ; i = 1, 2, 3 j = 1, 2, …, ni Xold is less then full rank Dilakukan reparameterisasi menghasilkan model baru: Xnew is full rank dan estimasi parameter bisa dilakukan

Materi kuliah model linier – stis@2010 Estimasi Varians Pada Model Full Rank, unbiased varians 2 diestimasi dg: Sehingga mengikuti distribusi chi- Squared dengan df = n – r . Not full rank

Beberapa Konsekuensi EXPECTED VALUES: Materi kuliah model linier – stis@2010 Beberapa Konsekuensi EXPECTED VALUES: E(b) = E(GX’y) = GX’ E(y) = GX’Xb = Hb Dengan G = (X’X)c dan H = GX’X Sehingga b unbiased estimator dari Hb, bukan dari b VARIANS: var (b) = var (GX’y) = GX’ var(y) XG’ = GX’XG’

Materi kuliah model linier – stis@2010 Estimability Pada Model tidak berpangkat penuh,  tidak dapat diestimasi secara unik. Banyak pilihan solusi dari (X’X)c, akibatnya banyak kemungkinan bentuk persamaan normal. Definisi: Misalkan y = X + , dimana Xnxp dengan rank r p, E()=0, dan var  = 2I. Fungsi t’ dikatakan estimable jika terdapat vektor c sedemikian hingga E(c’y) = t’ Teorema: Misalkan y = X + , dimana Xnxp dengan rank r p, E()=0, dan var  = 2I. Kondisi yang harus dipenuhi supaya t’ estimable adalah jika solusi sistem persamaan (X’X)z = t eksis.

Theorem of Estimability Materi kuliah model linier – stis@2010 Theorem of Estimability Misal y = X +  dimana Xnxp dengan rank r p, E()=0, dan var  = 2I. Fungsi t’ dikatakan estimable jika dan hanya jika: t’(X’X)c(X’X) = t’ Dengan (X’X)c adalah suatu conditional inverse. Lemma: Jika y = X + , dimana Xnxp dengan rank r p, E()=0, dan var  = 2I. Best Linear Unbiased Estimate untuk t’ = z’X’Y, dimana z’ adalah solusi dari persamaan (X’X) z = t. Bukti : Myers, page 212-213

Materi kuliah model linier – stis@2010 Gauss Markoff Theorem Misal y = X +  dimana Xnxp dengan rank r p, E()=0, dan var  = 2I. Jika t’ estimable, kemudian salah satu solusi dari (X’X)z = t memberikan estimasi yang sama untuk t’. Sehingga Best Linear Unbiased Estimate (BLUE) adalah t’b dimana b adalah salah satu solusi dari persamaan normal. Bukti: Misalkan z0 dan z1 adalah solusi dari sistem (X’X)z = t, sehingga (X’X)z0 = t dan (X’X)z1 = t Dan z0’ (X’X) = z1’ (X’X) = t’ Note:

Properties of Estimability Materi kuliah model linier – stis@2010 Properties of Estimability POIN PENTING TENTANG ESTIMABILITAS Pada model tidak berpangkat penuh, pusat perhatian ada pada fungsi estimable yaitu t’ Fungsi estimable dapat diestimasi secara unik (tunggal) Estimasi unik (tunggal) untuk fungsi tersebut adalah t’b dimana b adalah suatu solusi dari persamaan normal t‘b adalah Best Linear Unbiased Estimator (BLUE terhadap t’

Materi kuliah model linier – stis@2010 Estimasi Interval Sesuai dengan teori estimabilitas, bahwa kombinasi linier t’ merupakan fungsi yang estimable, maka estimasi interval dari t’ diberikan oleh: Sebelumnya: cari distribusi dari t’b buktikan bahwa antara t’b dan SSres/2 independen

Thank You ! nuvi@stis.ac.id www.themegallery.com