4. RELASI

4.7 Relasi kesetaraan Suatu relasi dikatakan sebagai relasi kesetaraan (equicalence relation) jika relasi tersebut bersifat refleksif, setangkup, dan menghantar Contoh 4.13 Misalkan R = {(0,0), (1,1), (1,2), (2,1), (2,2), ( 3,3)} adalah relasi pada himpunan A = {0, 1, 2, 3}. Periksa, apakah R bersifat kesetaraan atau tidak. Penyelesaian: Syarat kesetaraan adalah refleksi, setangkup, dan menghantar.

R bersifat refleksif karena terdapat elemen (0,0), (1,1), (2,2), ( 3,3) R bersifat setangkup karena terdapat elemen (1,2) dan (2,1) R bersifat menghantar karena untuk: (1,1) dan (1,2)  R, terdapat (1,2)  R (1,2) dan (2,1)  R, terdapat (1,1)  R (2,1) dan (1,2)  R, terdapat (2,2)  R (2,2) dan (2,1)  R, terdapat (2,1)  R Karena memenuhi sifat refleksi, setangkup, dan menghantar, maka dikatakan relasi R bersifat kesetaraan.

4.8 Relasi Pengurutan Parsial Suatu relasi R pada himpunan S dikatakan sebagai relasi pengurutan parsial ( partial ordering relation) jika relasi tersebut bersifat refleksif, tolak-setangkup, dan menghantar. Relasi R bersama dengan himpunan S disebut Himpunan terurut secara parsial (Partially Ordered Set atau Poset) Contoh 4.14 Misalkan R = {(1,1), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2), ( 3,3), (4,2), (4,4)} adalah relasi pada himpunan A = {1, 2, 3, 4}.

Periksa, apakah R sebagai relasi pengurutan parsial atau bukan. Penyelesaian: Syarat kesetaraan adalah refleksi, tolak-setangkup, dan menghantar. R bersifat refleksif karena terdapat elemen (1,1), (2,2), ( 3,3), (4,4) R bersifat tolak-setangkup karena terdapat elemen (2,1)  R dan (1,2)  R (3,1)  R dan (1,3)  R (3,2)  R dan (2,3)  R (4,2)  R dan (2,4)  R

R bersifat menghantar karena untuk: (2,1) dan (1,1)  R, terdapat (2,1)  R (2,2) dan (2,1)  R, terdapat (2,1)  R (3,1) dan (1,1)  R, terdapat (3,1)  R (3,2) dan (2,1)  R, terdapat (3,1)  R (3,3) dan (3,1)  R, terdapat (3,1)  R (3,3) dan (3,2)  R, terdapat (3,2)  R (4,2) dan (2,1)  R, terdapat (4,1)  R (4,2) dan (2,2)  R, terdapat (4,2)  R (4,4) dan (4,2)  R, terdapat (4,2)  R Karena memenuhi sifat refleksi, tolak-setangkup, dan menghantar, maka dikatakan relasi R bersifat relasi pengurutan parsial

4.9 Klosur Relasi 4.9.1 Klosur Refleksif Jika terdapat himpunan A, maka terdapat relasi  = {(a,a) | a  A}. Misal R adalah relasi pada himpunan A, maka Klosur refleksif dari R adalah R   Contoh 4.15 Misalkan R = {(1,1), (3,1), (3,2), ( 3,3)} adalah relasi pada himpunan A = {1, 2, 3}. Tentukan klosur refleksi dari R Penyelesaian

R = {(1,1), (3,1), (3,2), ( 3,3)} = {(1,1), (2,2), (3,3)} Klosur refleksi dari R adalah, R   = {(1,1), (3,1), (3,2), ( 3,3)}  {(1,1), (2,2), (3,3)} = {(1,1), (2,2), (3,1), (3,2), ( 3,3)}

4.9.2 Klosur Setangkup Jika R adalah relasi pada himpunan A, maka R = {(a,b)| a, b  A} dan R-1 = {(b,a) | (a,b)  A} Klosur setangkup dari R adalah R  R-1 Contoh 4.16 Misalkan R = {(1,1), (3,1), (3,2), ( 3,3)} adalah relasi pada himpunan A = {1, 2, 3}. Tentukan klosur setangkup dari R Penyelesaian

Klosur menghantar dari relasi R adalah Klosur setangkup dari R adalah, R  R-1 = {(1,1), (3,1), (3,2), ( 3,3)}  {(1,1), (1,3), (2,3), (3,3)} = {(1,1), (3,1), (3,2), ( 3,3), (1,3), (2,3), (3,3)} 4.9.3 Klosur Menghantar Klosur menghantar dari relasi R adalah

Jika adalah matriks yang merepresentasikan relasi R pada sebuah himpunan dengan n elemen, Maka matriks klosur menghantar R* adalah, Contoh 4.17 Misalkan R = {(1,1), (1,3), (2,2), ( 3,1), (3,2)} adalah relasi pada himpunan A = {1, 2, 3}. Tentukan klosur menghantar dari R Penyelesaian

Matriks yang merepresentasikan R adalah Matriks klosur menghantar dari R adalah

Jadi R* = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (3,1), (3,2), (3,3)}