Distribusi Gamma dan Chi Square

Telah terbukti kebenarannya bahwa : ada untuk > 0 nilai dari integral tersebut adalah bilangan positif untuk suatu > 0. Integral tersebut dinamakan fungsi gamma dari : Jika =1 → Jika > 1 →

Berarti jika suatu bilangan positif yang lebih besar dari 1, diperoleh = karena atau Misalkan dimana maka

Karena , dan , maka : , dan f(x) = 0 , x yang lainnya adalah pdf dari suatu variabel random kontinu X yang berdistribusi Gamma dengan parameter alpha dan beta.

Penggunaan Distribusi Gamma Distribusi gamma sering dipakai di model probabilitas untuk waktu tunggu. Contohnya didalam “life testing”, waktu tunggu sampai “mati” merupakan variabel random yang berdistribusi gamma. Akan ditunjukkan bahwa waktu tunggu adalah benar berdistribusi gamma. Dalam hal ini akan digunakan ketentuan- ketentuan dalam proses Poisson, dimana interval dengan panjang w merupakan suatu interval waktu.

Misalkan W merupakan suatu variabel random yang menyatakan waktu yang dibutuhkan untuk menentukan terdapat tepat k perubahan (k kematian), dimana k adalah bilangan positif yang tetap.

Maka fungsi distribusi dari W adalah: Kejadian W>w, untuk w>0, ekivalen dengan kejadian: Terdapat 0 kematian dalam interval w, atau Terdapat 1 kematian dalam interval w, atau Terdapat 2 kematian dalam interval w, atau ….. Terdapat k-1 kematian dalam inerval w

Misalkan X menyatakan jumlah kematian dalam suatu interval w maka: Dapat dibuktikan bahwa:

Untuk

Misalkan , maka: w>0 =0 w≤0 Berarti p. d Misalkan , maka: w>0 =0 w≤0 Berarti p.d.f dari W adalah : , = 0 , w yang lainnya Berarti W berdistribusi gamma dengan parameter : dan

Jika W adalah waktu tunggu sampai terdapat 1 kematian, maka p. d Jika W adalah waktu tunggu sampai terdapat 1 kematian, maka p.d.f dari W adalah: , = 0, w yang lainnya W dikatakan mempunyai distribusi eksponensial dengan mean

MGF dari distribusi gamma adalah: Misal : ,

Contoh: Misalkan “waiting time” W mempunyai p.d.f gamma dengan dan Maka Jika k=1 maka artinya harapan waktu tunggu untuk 1 perubahan adalah Tambahkan contoh dari buku lain

2) Misalkan X adalah suatu variabel random sedemikian sehingga Tentukan distribusi dari X! Deret Maclaurin untuk M(t) adalah:

Bentuk tersebut merupakan deret Maclaurin dengan Jadi X berdistribusi gamma dengan parameter dan

Kasus khusus Pada distribusi gamma, apabila , dimana r bilangan bulat positif dan , maka pdf dari variabel random kontinu X adalah : = 0 lainnya MGF nya adalah X dikatakan berdistribusi Chi-square.

Mean dan variansinya adalah: r merupakan parameter dari distribusi chi- square dan sering disebut sebagai derajat bebas. Apabila X berdistribusi chi-square dengan derajat bebas r, maka ditulis X ~

Contoh: Misalkan X ~ , tentukan Dari tabel chi-square dengan r=10, diperoleh:

2) Misalkan X berdistribusi gamma dengan dan dimana r bilangan bulat positif. Didefinisikan variabel random Tentukan p.d.f dari Y. Jawab: Jika maka G(y)=0 Jika y>0 maka

Misal : x=0 z=0

p.d.f dari Y: = 0 lainnya Y ~