Transformasi Linier

Definisi : Transformasi Transformasi (pemetaan atau fungsi) T dari Rn(domain) ke Rm (codomain) dituliskan : T : Rn w = T(v) v : variabel tak bebas w : variabel bebas Sebagai suatu fungsi f : R Misalkan : Menunjukkan transformasi v ke w dari matrik A Rm vektor R, contoh : f(x) = x2

Secara umum persamaan matrik transformasi : Transformasi matrik A oleh vektor vektor Dituliskan sebagai berikut : TA : R2 dalam R2 menjadi dalam R3. R3

Dengan kata lain : range(jarak) TA merupakan ruang kolom dari matrik A

Definisi : Transformasi Linier Transformasi T : Rn Jika : T(u + v) = T(u) + T(v) untuk semua u dan v dalam Rn T(cv) = cT(v) untuk semua v dalam Rn dan skalar c Contoh : T : Rn Buktikan bahwa T adalah transformasi linier. Rm disebut transformasi linier Rm dinyatakan dengan

Jawab : Syarat 1 : T(u + v) = T(u) + T(v)

Syarat 2 : T(cv) = cT(v) Karena 2 syarat terpenuhi, maka T terbukti merupakan transformasi linier

Definisi transformasi linier juga dapat ditentukan dengan mengkombinasikan kedua syarat yaitu : Transformasi T : Rn jika : T(c1v1 + c2v2) = c1T(v1) + c2T(v2) untuk semua v1, v2 dalam Rn dan skalar c1, c2 Matrik transformasi (TA) adalah transformasi linier. Bukti : sehingga : T = TA dengan A = Rm disebut transformasi linier

Transformasi TA: Rn linier jika : TA(x) = Ax untuk x dalam Rn dan A adalah matrik m x n Bukti : misalkan u dan v adalah vektor dalam Rn dan c : skalar, kemudian : TA(u + v) = A(u + v)= Au + Av = TA(u)+TA(v) dan TA(cv) = A(cv) = c(Av) = cTA(v) Dengan demikian : TA merupakan transformasi linier. Rm disebut transformasi

Kemudian T adalah matrik transformasi, khususnya Misalkan T: Rn Kemudian T adalah matrik transformasi, khususnya T = TA dengan A adalah matrik m x n Maka : disebut sebagai matrik standar dari transformasi linier T Bukti : x adalah vektor dalam Rn dapat dituliskan: x = x1e1 + x2e2 + ……….+ xnen Jadi T(x) = T(x1e1 + x2e2 + ……….+ xnen) = x1T(e1 )+x2T(e2 )+ ……..+xnT(en ) Rm merupakan transformasi linier.

Contoh :

Sifat-sifat transformasi linier : Jika T : V T(0) = 0 T(– v) = – T(v) untuk semua v dalam V T(u – v) = T(u) – T(v) untuk semua u dan v dalam V Contoh : Anggap T adalah transformasi linier dari R2 ke P2 seperti Carilah : W adalah transformasi linier, maka :

Jawab : Karena : setiap vektor dalam R2 berada dalam jangkauan (B) Maka : Diperoleh nilai c1= – 7 dan c2= 3, sehingga : adalah basis dari R2 , sehingga

Dengan cara yang sama diperoleh bahwa : Maka :

Komposisi dari suatu transformasi Komposisi dari dua transformasi T: Rm diikuti S: Rn Jika : T: Rm kemudian S T: Rm maka matrik standarnya adalah : Rn yang Rp dituliskan : S T v T(v) S(T(v)) = (S T)(v) Rm Rn Rp T S Rn dan S: Rn Rp transformasi linier, Rp adalah transformasi linier,

Contoh : Transformasi linier T: R2 Transformasi linier S: R3 Cari : S T : R2 R3 didefinisikan sebagai : R4 didefinisikan sebagai : R4

Jawab : Matrik standar : dan

Cara lain : Dengan mensubstitusikan ke S, maka diperoleh :

yang ditunjukkan oleh : Anggap : T : R2 S : P1 yang ditunjukkan oleh : Carilah : Jawab : P1 transformasi linier P2

Invers dari Transformasi Linier Definisi : Transformasi linier T: V transformasi linier T: W Maka : T’ disebut invers dari T Contoh : Tunjukkan bahwa pemetaan T : R2 dinyatakan sebagai : merupakan invers ! W memiliki invers jika ada V sehingga T’ T = Iv dan T T’ = Iw P1 dan T’: P1 R2 yang

Jawab : Dan : c +(c+(d – c))x= c + dx Jadi : Oleh karena itu : T dan T’ merupakan invers

Kernel dan range transformasi linier Definisi : Jika T : V Kernel T yang ditulis ker(T) adalah himpunan semua vektor dalam V yang merupakan pemetaan hasil T ke 0 dalam W. Range T yang ditulis range(T) adalah himpunan semua vektor dalam W yang merupakan bayangan vektor V hasil T W adalah transformasi linier ker (T) = {v dalam V : T(v)= 0 range (T) = {T(v) : v dalam V} = {w dalam W: w = T(v) untuk semua v dalam V}

W adalah transformasi linier Jika T : V Maka : Kernel T merupakan subruang V dan dimensi kernel dikenal sebagai nulity : nullity (T) Range T merupakan subruang W dan dimensi range dikenal sebagai rank : rank (T) W adalah transformasi linier T V W range(T) ker(T) Kernel dan range dari T : V W

Transformasi satu - satu T : V T merupakan pemetaan vektor dalam V ke vektor dalam W T : satu - satu Untuk semua u dan v dalam V u ≠ v T(u) ≠ T(v) T(u) = T(v) u = v W adalah transformasi linier satu - satu jika T W V T W V T : bukan satu - satu

Transformasi Onto : T : V w dalam W jika minimal terdapat 1 v dalam V sehingga : W adalah transformasi linier onto untuk semua w = T(v) T : onto T : bukan onto

Misalkan dim V = dim W = n dan transformasi linier T: V onto. Bukti : Jika T adalah satu – satu, maka nulity (T) = 0 Teorema rank : rank (T) = dim V – nulity(T) = n – 0 = n Oleh karena itu T adalah onto. Sebaliknya, jika T adalah onto, maka rank(T)= dim W = n Teorema rank : nulity (T) = dim V – rank (T) = n – n = 0 Sehingga ker (T) = {0} dan T adalah satu -satu W adalah satu – satu, jika dan hanya jika :

Contoh : Transformasi T : R2 merupakan transformasi satu-satu atau onto ? Jawab : Misalkan : Sehingga diperoleh : x1 = x2 dan y1 = y2 Jadi : R3 dinyatakan dengan : ,maka : maka T adalah satu-satu

T bukan onto, karena range tidak semua dari R3 menjadi nyata T bukan onto, karena range tidak semua dari R3 menjadi nyata. Terdapat besaran bukan vektor dalam R2 seperti : Contoh : Tunjukkan bahwa T : R2 sebagai : adalah transformasi linier satu - satu P1 dinyatakan

Jawab : Jika Sehingga diperoleh : Akibatnya : ker (T) = Dengan menggunakan teorema rank : Rank(T) = dim R2 – nulity(T) = 2 – 0 = 2 Oleh karena range (T) dimensi 2 dalam sub-ruang R2 Maka T adalah onto adalah ker (T), maka : dan T adalah satu - satu

Kesamaan bentuk (isomorph) ruang vektor Definisi : Transformasi linier T : V satu – satu dan onto. Jika V dan W merupakan ruang vektor yang memiliki kesamaan bentuk disebut V isomorph W dan dituliskan : V Sifat-sifat isomorph : 1. Jika T merupakan isomorph, maka demikian juga T-1 2. T merupakan isomorph jika dan hanya jika ker(T) = {0} dan range (T) = W 3. Jika v1, v2 ……..vk adalah basis dalam V, maka T(v1), T(v2)…..T(vk) adalah basis dalam W 4. Jika V dan W adalah ruang vektor berdimensi terbatas, maka V isomorph W jika dan hanya jika dim(V) = dim (W). W dikatakan isomorph, jika W

merupakan transformasi linier ! 2. Tunjukkan apakah T : R3 Latihan : Tunjukkan apakah T : R3 dalam : merupakan transformasi linier ! 2. Tunjukkan apakah T : R3 P2 yang dinyatakan M2x2 yang dinyatakan