HIMPUNAN TERORDE PARSIAL DAN HIMPUNAN TERORDE TOTAL HIMPUNAN BAGIAN DARI HIMPUNAN TERORDE HIMPUNAN BAGIAN TERORDE TOTAL ELWMEN PERTAMA DAN TERAKHIR ELEMEN MAKSIMUM DAN MINIMUM BATASATASDAN BATAS BAWAH

HIMPUNAN TERORDE PARSIAL Partially Ordered Sets (Posets) Sebuah orde parsial dalam sebuah himpunanA adalah sebuah relasi dalam A yang : 1). Reflektif, yaitu (a,a)R untuk setiap a A 2). Anti-simetris, yaitu bila (a,b) R dan (b,a) R  a = b 3). Transitif, yaitu bila (a,b) R dan (b,c) R, maka (a,c) R

Bila suatu relasi dalam A mendefinisikan suatu orde parsial dalam A, maka (a,b) R ditulis a  b yang dibaca a mendahului b (a precedes b) Contoh 9.1 Misalkan R adalah suatu relasi dalam N yang didefinisikan oleh “x adalah perkalian dari y”, maka R adalah orde parsial dari N 6  2, 15  3, 17  17

maka R adalah orde parsial dalam V Contoh 9.2 Misalkan R relasi dalam V = {1,2,3,4,5,6} yang didefinisikan oleh “x membagi y” maka R adalah orde parsial dalam V Orde parsial dalam V dapat juga digambarkan dengan diagram : 1 2 3 5 4 6

Sebuah himpunan A bersama-sma dengan orde parsial relasi dalam A disebut himpunan terorde parsial (Posets) yang kadang-kadang dinyatakan dengan pasangan terorde (A,R) atau (A, ) Notasi-notasi lain dalam Posets : (a < b) berarti a  b dan a b a secara seksama mendahului b b  a berarti a  b b mendominasi a

Notasi-notasi lain dalam Posets : (b > a) berarti a < b b secara seksama mendomonasi a Dua elemen a dan b dalam Poset dikatakan tidak dapat dibandingkan (not comparable) bila a  b dan b  a : Masing-masing tidak mendahului yang lain Elemen 3 dan 5 not comparable 3 tidak membagi 5 dan 5 tidak membagi 3

HIMPUNAN TERORDE TOTAL Kata parsial yang digunakan dalam mendefinisikan suatu orde parsial dalam A disebabkan karena beberapa elemen dalam A tidak dapat dibandingkan (not comparable) Bila setiap dua elemen dalam Posets selalu comparable, maka orde parsial dalam A disebut orde total dalam A

Contoh 9.3 Relasi dalam N (bilangan asli) yang didefinisikan oleh “x membagi y” adalah orde parsial dalam N Tentukan apakah himpunan-himpunan berikut adalah suatu orde total dalam N a). {24,2,6} ya b). {3,15,5}  bukan c). {15,5,30}  ya d). {2,8,32,4}  ya e). {1,2,3,……} bukan

Contoh 9.3 Relasi dalam N (bilangan asli) yang didefinisikan oleh “x membagi y” adalah orde parsial dalam N Sisipkan <, > atau   (not comparable) pada pasangan-pasangan angka berikut : a). 2 < 8 b). 18   24 c). 9 > 3 d). 5 < 15

ELEMEN PERTAMA (First Element) Misalkan A adalah himpunan terorde. Elemen a A disebut elemen pertama bila untuk setiap elemen x A  a  x a mendahului setiap x A ELEMEN TERAKHIR (Last Element) Elemen b A disebut elemen terakhir bila untuk setiap elemen x A  b  x b mendomonasi setiap x A

Contoh 9.3 Relasi dalam N (bilangan asli) yang didefinisikan oleh “x membagi y” adalah orde parsial dalam N Sisipkan <, > atau   (not comparable) pada pasangan-pasangan angka berikut : a). 2 < 8 b). 18   24 c). 9 > 3 d). 5 < 15

Misalkan W = {a,b,c,d,e} diorde (disusun) seperti diagram berikut : Contoh 9.4 Misalkan W = {a,b,c,d,e} diorde (disusun) seperti diagram berikut : a adalah elemen terakhir W tidak punya elemen pertama d bukan elemen pertama karena tidak mendahului e d b c a e Suatu Posets paling banyak mempunyai satu elemen pertama dan satu elemen terakhir

ELEMEN PERTAMA (First Element) ELEMEN MAKSIMUM (Maximal Element) Misalkan A adalah himpunan terorde. Elemen a A disebut elemen maksimum bila a  x berarti a = x Tidak ada elemen dalam A yang secara seksama mendominasi a ELEMEN MINIMUM (Minimal Element) Elemen b A disebut elemen minimum bila b x  b Tidak ada elemen dalam A yang secara seksama mendahului b

Misalkan W = {a,b,c,d,e} diorde (disusun) seperti diagram berikut : Contoh 9.5 Misalkan W = {a,b,c,d,e} diorde (disusun) seperti diagram berikut : d dan e adalah elemen minimum a adalah elemen maksimum d b c a e

Misalkan W = {a,b,c,d,e} diorde (disusun) seperti diagram berikut : Contoh 9.6 Misalkan W = {a,b,c,d,e} diorde (disusun) seperti diagram berikut : a dan b adalah elemen maksimum c dan d adalah elemen minimum W tidak punya elemen pertama dan terakhir d e c b a

ELEMEN PERTAMA (First Element) BATAS BAWAH (Lower Bounds) Misalkan B adalah himpunan bagian dari Poset A. Suatu elemen m A disebut batas bawah dari B Bila untuk setiap x B, m  x : m mendahului setiap elemen dalam B Bila sebuah batas bawah dari B mendominasi setiap batas bawah yang lain, maka disebut infimum dari B ditulis inf (B) Infimum = greatest lower bound

ELEMEN PERTAMA (First Element) BATAS ATAS (Upper Bounds) Misalkan B adalah himpunan bagian dari Poset A. Suatu elemen M A disebut batas atas dari B Bila untuk setiap x B, x  M : M mendominasi setiap elemen dalam B Bila sebuah batas atas dari B mendahuluisetiap batas atas yang lain, maka disebut supremum dari B ditulis sup (B) Supremum = least upperr bound

a, b dan c adalah batas atas B sedangkan f adalah batas bawah B Contoh 9.7 Misalkan V = {a,b,c,d,e,f,g} diorde (disusun) seperti diagram berikut : Misalkan B = {c,d,e} a, b dan c adalah batas atas B sedangkan f adalah batas bawah B e c d b a f g f = inf(B) c = sup(B)