Pertemuan 11 Tujuan Instruksional Umum : Integrsi Numerik Tujuan Instruksional Khusus : Mahasiswa mampu mencari integral suatu fungsi dengan metode yang tepat untuk solusi.

INTEGRASI NUMERIK METODE KUADRATUR GAUSS Dengan metode ini diubah menjadi , melalui transformasi :

Kuadratur Gauss 2 titik :

Metode ini mempunyai kesalahan pemotongan : -Kuadratur Gauss 2 titik :

Metode in tepat untuk polinom ordo 3. Contoh : Diketahui f(x)=x3-3x+2 Metode in tepat untuk polinom ordo 3. Contoh : Diketahui f(x)=x3-3x+2. Carilah integrasinya dengan batas bawah = 0, batas atas =1½, menggunakan metode : Kuadrat Gauss 2 titik Kuadrat Gauss 3 titik

ditransformasikan dengan Jawab : ditransformasikan dengan menjadi : , sehingga :

Kuadratur Gauss 2 titik menghasilkan nilai 0,8907 Kuadratur Gauss 2 titik menghasilkan nilai 0,8907. Kuadratur Gauss 3 titik menghasilkan nilai 0,8906. Catatan : Kuadratur Gauss n tidak sama teliti dengan Simpson 2n sub-interval. Soal : Hitunglah : dengan : Metode kuadratur Gauss 2 titik, berikut kesalahan relatif dan kesalahan pemotongannya Metode kuadratur Gauss 3 titik, berikut kesalahan relatif dan kesalahan pemotongannya.

INTEGRASI NUMERIK METODE ROMBERG Metode ini digunakan untuk memperbaiki hasil pendekatan integrasi metode trapesium, karena kesalahan metode trapesium “cukup” besar untuk polinom pangkat tinggi dan fungsi transeden.

Caranya : Hitung integral tertentu dengan metode trapesium untuk sejumlah nilai h yang berbeda. Misalkan hasilnya I(h), I(½h), I(¼h), dan I(⅛h); cantumkan pada kolom pertama tabel. Untuk kolom kedua, hitunglah I(h, ½h), I(½h, ¼h), I( ¼h, ⅛h) dengan formula : I(9h, ½h)= ⅓.[4.I(½h)-I(h)], I(½h, ¼h)= ⅓.[4.I( ¼h)-I(½h)], I( ¼h, ⅛h)= ⅓.[4.I( ⅛h)-I( ¼h)], Lanjutkan pola serupa untuk kolom ketiga dan seterusnya.

Contoh : Hitunglah dengan metode Romberg bentuk : ; gunakan hasil evaluasi 2, 4, dan 8 sub-interval dari metode trapesium. Jawab: Untuk n=2, diperoleh h=2, dan dengan metode trapesium diperoleh hasil = 320 (periksalah) Untuk n=4, diperoleh h=1, dan dengan metode trapesium diperoleh hasil = 272 (periksalah). Untuk n=8, diperoleh h=0,5, dan dengan metode trapesium diperoleh hasil = 260.

Cantumkan dalam tabel, lalu hitung kolom kedua dan ketiganya. Untuk kolom kedua : ⅓.[4(272)-320]=256, ⅓.[4.(260)-272]=256. Untuk kolom ketiga : ⅓.[4(256)-256]=256. Hasil terakhir adalah 256. periksalah bahwa hasil eksaknya juga 256. 320 256 272 260

Soal: Carilah dengan menggunakan metode trapesium dengan h=0,5, h=0,25 dan h=0,125. lalu perbaiki estimasinya dengan metode Romberg. Hal yang sama untuk integrasi f(x) = 3x6 dengan batas bawah = 0, batas atas = 2, dengan h=1; h=0,5; h=0,25; dan h=0,125, dan perbaiki estimasinya dengan metode Romberg.