MATEMATIKA DISKRIT By DIEN NOVITA

BAB I LOGIKA 1.1 Proposisi & Proposisi Majemuk 1.2 Tabel kebenaran 1.3 Hukum-hukum logika 1.4 Disjungsi Eksklusif 1.5 Proposisi bersyarat ( implikasi) 1.6 Varian proposisi bersyarat 1.7 Bikondisional ( biimplikasi)

1.1 Proposisi & Proposisi Majemuk Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar(true) atau salah(false), tetapi tidak keduanya. Nama lain proposisi adalah kalimat terbuka. Proposisi Majemuk adalah proposisi yang diperoleh dari pengkombinasian beberapa proposisi (proposisi atomik)

Contoh-contoh Proposisi : 6 adalah bilangan genap. Soeharto adalah Presiden Indonesia yang pertama. 2 + 2 = 4 Ibukota propinsi Jawa Barat adalah Semarang. 12 > 19 Hari ini adalah hari Kamis.

Contoh-contoh bukan Proposisi: Jam berapa kereta api Argo Bromo berangkat ? Isilah gelas tersebut dengan air! X > 3

Lambang Proposisi: Proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti p, q,… Contoh : p: 6 adalah bilangan genap q: 2 + 2 = 4

Operator Logika Dasar yaitu : Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi disebut operator logika. Operator Logika Dasar yaitu : dan (and) operator biner atau (or) tidak (not) operator uner

Tabel Penghubung Proposisi SIMBOL ARTI DIBACA ~ Negasi tidak /bukan (not)  Konjungsi dan  Disjungsi atau → Implikasi (kondisi tunggal) jika...maka... ...hanya jika... ↔ Biimplikasi (kondisi ganda) ...jika dan hanya jika ...

1.2 Tabel Kebenaran Misalkan p dan q adalah proposisi Konjungsi (conjunction) p dan q dinyatakan dengan notasi p Λ q adalah proposisi p dan q. Disjungsi (disjunction) p dan q dinyatakan dengan notasi p ν q adalah proposisi p atau q. Ingkaran (negation) dari p dinyatakan dengan notasi ~p adalah proposisi tidak p

Untuk menentukan nilai kebenaran proposisi majemuk adalah dengan tabel kebenaran (truth table). Tabel kebenaran menampilkan hubungan antara nilai kebenaran dari proposisi atomik. T menyatakan True (benar). F menyatakan False (salah).

Tabel Kebenaran Ingkaran p q p Λ q T F Tabel Kebenaran Konjungsi p q p ν q T F Tabel Kebenaran Disjungsi p ~p T F Tabel Kebenaran Ingkaran

1.3 Hukum-Hukum Logika Hukum Identitas Hukum Null / dominasi p ν F  p p Λ T  p Hukum Null / dominasi p Λ F  F p ν T  T Hukum Negasi p ν ~p  T P Λ ~p  F Hukum idempoten p ν p  p p Λ p  p

Hukum Involusi (negasi ganda) Hukum Penyerapan (absorpsi) ~(~p)  p Hukum Penyerapan (absorpsi) p ν (p Λ q)  p p Λ (p ν q)  p Hukum Komutatif p ν q  q ν p p Λ q  q Λ p Hukum asosiatif p ν (q ν r)  (p ν q) ν r p Λ (q Λ r)  (p Λ q) Λ r

Implikasi dan Bi-implikasi Hukum Distributif p ν (q Λ r)  (p ν q) Λ (p ν r) p Λ (q ν r)  (p Λ q) ν (p Λ r) Hukum De Morgan ~(p Λ q)  ~p ν ~q ~(p ν q)  ~p Λ ~q Implikasi dan Bi-implikasi p  q  ~p ν q p  q  (p  q) Λ (q  p)

1.4 Disjungsi Eksklusif Definisi Misalkan p dan q adalah proposisi. Disjungsi eksklusif (exclusive or) p dan q dinyatakan dengan notasi p  q, adalah proposisi yang bernilai benar bila hanya salah satu dari p dan q benar, selain itu nilainya salah. Tabel kebenaran disjungsi eksklusif : p q p  q T F

1.5 Proposisi Bersyarat (Implikasi) Proposisi Bersyarat (Implikasi/kondisional) adalah pernyataan yang berbentuk “jika p, maka q” dan dilambangkan dengan pq. Proposisi p disebut hipotesis(antesendent,promis, atau kondisi) dan proposisi q disebut konklusi (konsekuen). Tabel kebebenaran proposisi bersyarat (implikasi) : p q p  q T F

1.6 Varian Proposisi Bersyarat Terdapat bentuk implikasi lain yang merupakan varian dari implikasi, yaitu jika terdapat implikasi p  q Maka : konversnya adalah : q  p inversnya adalah :  p   q kontraposisinya adalah :  q   p Contoh Jika n adalah bilangan prima  3, maka n adalah bilangan ganjil. Tentukan konvers, invers & kontraposisinya !

Jawab Misal p : n adalah bilangan prima  3 q : n adalah bilangan ganjil Implikasi : p  q Konvers : q  p Invers : p   q Kontraposisi : q  p

1.7 Bikondisional (Bi-implikasi) Bi-implikasi atau bikondisional adalah proposisi bersyarat yang berbentuk “p jika dan hanya jika q”. Tabel kebenaran bi-implikasi atau bikondisional : p q p  q T F

TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI Tautologi adalah proposisi majemuk yang nilai kebenarannya selalu benar untuk setiap nilai kebenaran proposisi pembentuknya. Kontradiksi selalu mempunyai nilai kebenaran yang salah untuk setiap nilai kebenaran proposisi pembentuknya.

Contoh : Dengan menggunakan tabel kebenaran buktikan bahwa ( p  q ) → q adalah tautologi ! Jawab : p q ( p  q ) ( p  q ) → q T F