DETERMINAN DAN INVERSE MATRIKS

9.8 Determinan Determinan adalah besaran atau nilai yang berhubungan dengan matriks persegi. Jika determinan suatu matriks persegi tidak sama dengan nol maka matriks persegi tersebut mempunyai balikan (inverse). Sebaliknya, jika determinan suatu matriks persegi sama dengan nol, maka matriks tersebut tidak mempunyai balikan. Jika terdapat matriks , maka determinan dari matriks A adalah (9.2)

Tentukan determinan dari Contoh 9.13 Tentukan determinan dari Penyelesaian 9.8.1 Sifat-sifat determinan i) Setiap matriks dan transposenya mempunyai determinan yang sama atau det A = det AT ii) Jika terdapat matriks A dan matriks B, maka berlaku det(AB)=det (A) det (B)

iii) Determinan dari matriks segitiga adalah perkalian dari diagonalnya Jika matriks B adalah matriks yang didapat dari mempertukarkan dua buah baris matriks A, maka determinan matriks B berlawanan dengan determinan matriks A

v) Jika matriks dan c adalah konstanta, maka b) Jika seluruh elemen dari salah satu baris suatu matriks sama dengan nol, maka determinan matriks tersebut sama dengan nol.

9.8.2 Kofaktor Misal A = [aij] adalah matriks nxn, dan misalkan M adalah matriks (n-1)x(n-1) yang diperoleh dari A dengan menghapus baris ke i dan kolomn ke j pada matriks A. Determinan dari M disebut minor dari aij (selanjutnya ditulis Mij). Sedangkan cij adalah kofaktor aij dan didefinisikan sebagai, (9.3) Contoh 9.14 Diketahui Tentukan minor dan kofaktor dari a11dan a12 Penyelesaian

9.8.3 Determinan dari matriks n x n Secara umum untuk menghitung determinan dari matriks orde n x n adalah sebagai berikut. Jika A adalah matriks persegi n x n, maka determinan dari matriks A adalah (9.4.a)

(9.4.b) Contoh 9.15 Tentukan determinan dari Penyelesaian Karena A adaah matriks 3 x 3, maka nilai i diambil antara 1, 2, atau 3. Kita tentukan i=1 Dari rumus 3.3.b didapat, det A =

det A =(–4)(2)+(1)(9)+(5)(–6) = –8 + 9 – 30 = –29 Kerjakan ulang contoh 9.10 dengan menggunakan rumus 3.3b dengan nilai j = 2. Selain menggunakan rumus 3.3, menentukan determinan matriks orde 3 dapat juga menggunakan cara Sarrus. Jika terdapat matriks

–( ) –( ) –( ) +( ) +( ) +( ) Maka det A = A = a11a22a33 + a12a23a34 + a13a21a32 – a31a22a13 – a32a23a11– a33a21a12

Contoh 9.16 Tentukan determinan dari matriks berikut dengan cara Sarrus. Penyelesaian A = +(–4)(2)(7) + (1)(3)(3) + (5)(0)(4) – (3)(2)(5) – (4)(3) (–4) – (7)(0)(1) = –56 + 9 + 0 – 30 +48 – 0 =–29

9.8.4 Determinan dengan reduksi baris Menghitung determinan dengan reduksi baris adalah mereduksi matriks menjadi bentuk eselon baris atau matriks segitiga dan menerapkan sifat-sifat determinan. Contoh 9.17 Tentukan determinan dari matriks berikut dengan cara reduksi baris Penyelesaian

R3 -3R1 R3 -19/8R2 = (4)(1)(2)(29/8)=29 Latihan Hitung determinan dari

9.8.5 Aturan Cramer Jika Ax = b adalah suatu sistem dari n pers. linier dng n faktor yang tidak diketahui sedemikian rupa sehingga det (A)  0, maka sistem ini memiliki solusi yang unik. Solusinya adalah di mana Aj adalah matriks yang diperoleh dengan cara mengganti entri-entri pada kolom ke j dari A dengan entri-entri pada matriks

Contoh 9.18 Gunakan aturan Cramer untuk menyelesaikan x1 + 2x3 = 6 – 3x1 + 4x2 + 6x3 = 30 – x1 – 2x2 + 3x3 = 8 Penyelesaian

Latihan Selesaikan sistem persamaan berikut dengan menggunakan aturan Cramer x1 – 3x2+ x3 = 4 2x1 – x2 = – 2 4x1 – 3x3 = 0

9.8.6 Adjoin Matriks Jika terdapat matirks A = [aij], maka cij adalah kofaktor dari aij

Contoh 9.19 Penyelesaian

Latihan

INVERS MATRIKS

4.1 Balikan Matriks (Inverse of matrix) Jika A adalah matriks persegi, dan jika terdapat matriks B yang ukurannya sama sedemikian rupa AB = BA = I, maka A merupakan matriks yang dapat dibalik (invertible) dan B disebut sebagai invers dari A. Jika B tidak dapat didefinisikan maka A dinyatakan sebagai matriks singular. Untuk menentukan balikan matriks kita dapat menggunakan cara: - Operasi baris elementer - Adjoin matriks

4.2 Metode Operasi Baris Elementer Untuk menentukan balikan (invers) dari matriks A yang dapat dibalik dengan menggunakan metode Operasi Baris Elementer, kita harus melakukan sejumlah operasi baris elementer untuk mereduksi A menjadi matriks identitas dan melakukan opersi yang sama terhadap In untuk memperoleh A-1. Langkah penyelesaian Gabungkan matriks identitas ke sebelah kanan A [ A | I ] 2. Lakukan operasi baris elementer, sehingga [ A | I ] menjadi [ I | A-1]

Contoh 4.1 Tentukan balikan dari matriks berikut dengan menggunakan operasi baris elementer. Penyelesaian 1/3 R1 R2 –2R1 R3 –3R1 3/7 R2

R1 + 2/3R2 R3 – 2R3 7R3 R1 – 9/7R3 R2 + 4/7R3

Jika matriks A adalah matriks yang dapat dibalik, maka 4.3 Metode Adjoin Matriks Jika matriks A adalah matriks yang dapat dibalik, maka Contoh 4.2 , tentukan Penyelesaian

Latihan dengan menggunakan metode operasi elementer dan metode adjoin