ARTIFICIAL VARIABLES -3X1 + 4X2 = -6 Karena sisi kanan pada constraint harus non-negative, maka dikalikan -1 3X1 - 4X2 = 6 5X1 – 8X2 ≤ -10 Untuk pertidaksamaan -5X1 + 8X2 ≥ 10 Jika kendala dalam bentuk persamaan dan pertidaksamaan ≥, maka digunakan artificial variables untuk mendapatkan basis awal. Variabel ini sifatnya hanya sementara dan bukan menjadi bagian dari solusi akhir. Tidak semua menggunakan artificial variables, kendala dengan slack variables tidak perlu.

Contoh Maksimalkan : Z = X1 + 3X2 Kendala : 1. 2X1 – X2 ≤ -1 Kendala 1 kalikan -1, diperoleh : -2X1 + X2 ≥ 1 Tambahkan surplus variable : -2X1 + X2 – S1 = 1 Kedua kendala memiliki bentuk standar tetapi tidak memiliki solusi awal yang jelas seperti pada kendala dengan slack variable. Sehingga ditambahkan artificial variables R1 dan R2 : -2X1 + X2 – S1 + R1 = 1 X1 + X2 + R2 = 3 dimana X1, X2, S1, R1, R2 ≥ 0

Selain Big-M, untuk menyelesaikan masalah LP yang memiliki artificial variables dapat digunakan metode simplex two-phase. Sebelum melakukan komputasi, harus dipastikan apakah feasible solution ada, dengan artificial variables = 0. Caranya : Pertama, gunakan metode simplex untuk menyelesaikan masalah meminimalkan jumlah dr artificial variables. Jika = 0, berarti ada solusi. Tetapi jika jumlahnya tidak = 0, berarti kendala tidak dapat dipenuhi. Kemudian gunakan solusi akhir sebagai solusi awal untuk masalah yang sebenarnya.

2 fase dari metode ini adalah sbb : Fase 1 : Susun sebuah fungsi objektif baru yang memuat jumlah dari artificial variable. Gunakan metode simplex untuk meminimalkan fungsi objektif yang memenuhi kendala.Jika artificial objective function dapat direduksi menjadi 0, maka setiap (non-negative) artificial variables akan =0. Dalam kasus ini, semua kendala pada permasalahan awal dipenuhi, maka dapat dilanjutkan fase 2. Sebaliknya, berarti infeasible. Fase 2 :Gunakan basic feasible solution dari fase 1 (abaikan artificial variables) sebagai solusi awal untuk permasalahan dengan fungsi objektif yang sebenarnya. Gunakan metode simplex biasa untuk mendapatkan solusi optimal

Soal pada hal 2 : Minimalkan : ZR = R1 + R2 , ekivalen dengan Maksimalkan : Z = X1 + 3X2 Kendala : -2X1 + X2 – S1 + R1 = 1 X1 + X2 + R2 = 3 Minimalkan : ZR = R1 + R2 , ekivalen dengan Maksimalkan : ZR = -R1 - R2 ZR + R1 + R2 = 0 Fase 1 :  Basis X1 X2 S1 R1 R2 Solution ZR 1 -2 -1 3

Lakukan metode simplex sebanyak 2 iterasi. Iterasi 1 : Lakukan row operation untuk mendapatkan basis awal (yaitu zero coefficient untuk R1 dan R2)   X1 X2 S1 R1 R2 Solution ZR 1 -2 -4 -1 3 Lakukan metode simplex sebanyak 2 iterasi. Iterasi 1 :   X1 X2 S1 R1 R2 Solution ZR -3 -1 2 -2 1 3

Iterasi 2 :   X1 X2 S1 R1 R2 Solution ZR 1 -0.33 0.33 0.67 2.33 Hasil tersebut merupakan solusi optimal dari fase 1, dimana R1, R2 = 0 dan non-basic

Fase 2 : Artificial variables dihilangkan, fungsi objektif kembali pada nilai sebenarnya   X1 X2 S1 Solution Z -1 -3 1 -0.33 2.33 0.33 0.67 Lakukan row operation untuk mendapatkan baris fungsi objektif yang tepat. basis X1 X2 S1 Solution Z -0.67 7.67 1 -0.33 2.33 0.33 0.67

Lakukan metode simplex, 1 kali iterasi basis X1 X2 S1 Solution Z 2 9 1 3 Dari tabel di atas dihasilkan : titik optimal X1=0 dan X2=3 dengan Z=9. Bandingkan dengan metode grafik… Feasible region pada garis X1+X2=3, antara titik (0,3) dan (2/3 , 7/3). Pada fase 1, diperoleh solusi feasible awal pada titik (2/3 , 7/3). Sedang pada fase 2 diperoleh solusi optimal pada (0,3)

Multiple Optimal Solution Karakteristik seperti ini tampak pada algoritma simplex step kedua yaitu jika pada baris fungsi objektif, terdapat non-basic variable yang bernilai 0. Non-basic variable tsb dapat masuk pada basis tanpa mengubah nilai pada fungsi objektif. Dengan kata lain, ada 2 extreme point yang bersebelahan yang memiliki nilai Z yang sama. Contoh : Maksimalkan : Z = X1 + 2X2 Kendala 1. –X1 + X2 ≤ 2 2. X1 + 2X2 ≤ 8 3. x1 ≤ 6 X1,X2 ≥ 0

  Z X1 X2 S1 S2 S3 Solution 1 -1 -2 2 8 6 -3 4 3 0/3 3/3 -2/3 1/3 4/3

  Z X1 X2 S1 S2 S3 Solution 1 8 0.33 3.33 -0.67 1.33 0.67 -0.33 4.67 Pada tabel diperoleh X1=4/3 , X2=10/3 , Z=8 S3 adalah basic variable, sehingga kendala 3 not binding. Solusi ini optimal karena semua elemen top row adalah non-negative. Nol pada top row non basic variable S1 memberikan tanda bahwa problem ini memiliki multiple optimal solution.

Jika kita melakukan operasi pivot yang lain (dengan menempatkan S1 ke basis dan S3 meninggalkan basis), maka diperoleh tabel berikut   Z X1 X2 S1 S2 S3 Solution 1 8 0.5 -0.5 6 1.5 7 Dari tabel di atas diperoleh X1=6 , X2= 1 , Z=8 Dimana S1 basis dan konsekuensinya kendala 1 not binding.

No OptimalSolution Maksimalkan : Z = 5X1 + 6X2 Kendala 1. –X1 + X2 ≤ 2 -5 -6 -1 2 10 Ubounded region ditunjukkan oleh tidak adanya elemen positif pada kolom X1.

Degenerate Solution Dikatakan degenerate jika 1 atau lebih basic variable mempunyai nilai nol. Timbulnya degenerate solution mengindikasikan formulasi memuat paling sedikit 1 kendala yang redundant. Maksimalkan : Z = 3x1 + 2X2 Kendala X1 ≤ 3 2X1 + X2 ≤ 6 X2 ≤ 2 X1 + X2 ≤ 3 Gambarkan grafiknya…

X1 ≤ 3 redundant, karena X1 + X2 ≤ 3 memastikan bahwa X1 ≤ 3. Demikian juga, 2X1 + X2 ≤ 6 redundant   Z X1 X2 S1 S2 S3 S4 Solution 1 -3 -2 3 2 6 θ1=θ2=θ4=3 Jika dipilih S1 meninggalkan basis, maka diperoleh tabel berikut

  Z X1 X2 S1 S2 S3 S4 Solution 1 -2 3 9 2 -1 Variabel basis S2 dan S4 mempunyai nilai nol. Solusi ini menunjukkan sebuah titik dimana 3 kendala yang redundan, kendala 1, 2, 4.

Kemudian, x2 sebagai kolom pivot, dapat dipilih S2 atau S4 yang meninggalkan basis.   Z X1 X2 S1 S2 S3 S4 Solution 1 -2 3 9 2 -1