OLEH : IR. INDRAWANI SINOEM, MS. ALJABAR LINEAR OLEH : IR. INDRAWANI SINOEM, MS. Aljabar Linear/II/08

BAB I M A T R I K S DEFINISI Suatu daftar bilangan-bilangan real atau kompleks ter-diri atas m baris dan n kolom, m dan n bilangan bulat positif disebut : matriks bertipe m x n. Aljabar Linear/II/08

disebut :trace dari matriks tersebut. Contoh : trace (B) = 1+1+5 = 7 1. 2. Dalam matriks bujur sangkar, unsur-unsur a11, a22,….., ann disebut unsur-unsur diagonal, sedangkan : disebut :trace dari matriks tersebut. Contoh : trace (B) = 1+1+5 = 7 Aljabar Linear/II/08

OPERASI ALJABAR MATRIKS Suatu matriks yang terdiri atas satu baris saja disebut : vektor baris, bila terdiri atas satu kolom saja disebut : vektor kolom. OPERASI ALJABAR MATRIKS 1. Matriks sejenis : matriks yg mempunyai ukuran sama (bertipe sama) : Contoh : Aljabar Linear/II/08

ukuran matriks D adalah 3x3. 2. Kesamaan dua matriks karena ukuran matriks C adalah 3x4, sedangkan ukuran matriks D adalah 3x3. 2. Kesamaan dua matriks Definisi : dua matriks A=[aij] dan B=[bij] dikatakan sama bila : a). A dan B sejenis. b). Setiap unsur yg seletak sama. Aljabar Linear/II/08

3. Penjumlahan dua buah matriks. Definisi : misalkan A = [aij] dan B = [bij] dua matriks bertipe sama. Jumlah dari A dan B adalah suatu matriks C yang bertipe sama dengan A dan B dengan C = [cij] dan cij = aij + bij ; i=1,2,…,m dan j=1,2,…,n. Kesimpulan : 1. Penjumlahan dua buah matriks hanya didefinisi- kan pada dua buah matriks yg sejenis. 2. Jumlah dua buah matriks yg sejenis merupakan matriks dengan ukuran yg sama. Aljabar Linear/II/08

1. Misalkan : Ditanya : A+B Penyelesaian : Contoh : Aljabar Linear/II/08

4.1. Perkalian matriks dengan sebuah bilangan. Definisi : hasil kali suatu bilangan k dengan suatu matriks yg didapat dengan mengalikan setiap unsur dari A dengan k, ditulis kA = Ak = [kaij] = [aijk] ; i=1,2,……,n Aljabar Linear/II/08

Contoh : 1. 2. 3. Aljabar Linear/II/08

Matriks A dapat dikalikan dengan matriks B bila 4.2. Perkalian dua buah matriks Matriks A dapat dikalikan dengan matriks B bila banyaknya kolom dari A sama dengan banyak- nya baris B atau Bila A bertipe mxn dan B bertipe nxp, maka matriks C bertipe mxp dengan unsur pada baris ke-i dan kolom ke-j adalah : Aljabar Linear/II/08

1. Perkalian matriks AB dapat didefinisikan, jika : Kesimpulan : 1. Perkalian matriks AB dapat didefinisikan, jika : banyaknya kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B. 2. Umumnya AB ≠ BA Contoh : 1. Aljabar Linear/II/08

C12 =(2)(-3) + (-3)(-1) + (4)1 + (0)(-1) = 1 2. Jika : C11 =(2)2 + (-3)3 + (4)0 + (0)1 = -5 C12 =(2)(-3) + (-3)(-1) + (4)1 + (0)(-1) = 1 C21 =(1)2 + (4)3 + (1)0 + (1)1 = 15 C22 =(1)(-3) + (4)(-1)+(1)1 +(1)(-1) = -7 C31 =(2)2 + (0)3 + (3)0 + (-2)1 = 2 C32 =(2)(-3) + 0(-1) + (3)1 + (-2)(-1) = -1 maka diperoleh : Aljabar Linear/II/08

3. Jika : Aljabar Linear/II/08

Sifat-sifat perkalian matriks : 1. A(B+C) = AB + AC (hukum distributif) 2. (A+B)C = AC + BC (hukum distributif) 3. A(BC) = (AB)C (hukum assosiatif) 4. AB ≠ BA 5. AB = 0 tidak mengakibatkan A=0 atau B=0 6. AB = AC tidak mengakibatkan B = 0 5. Matriks-matriks khusus 1. Matriks nol : Sebuah matriks disebut matriks nol, jika unsur-unsur dari matriks semua sama dengan 0 (Diberi simbol 0). Aljabar Linear/II/08

2. A – A = 0 3. 0 – A = - A 4. A0 = 0; 0A = 0 Contoh : Sifat-sifat : Aljabar Linear/II/08

Definisi : Suatu matriks disebut matriks transpose dari matriks A, ditulis AT atau A* adalah matriks yg didapat dengan menukar baris-baris A men- jadi kolom-kolom A dan sebaliknya. Bila A ber- tipe mxn maka : A* bertipe nxm. Contoh : (1). Aljabar Linear/II/08

Definisi : Suatu matriks bujur sangkar A = [aij] (2). Sifat-sifat transpose : (1). (A*)* = A (2). (kA)* = kA* (3). (A+B)* = A* + B* (4). (AB)* = B*.A* 3. Matriks Segitiga Atas Definisi : Suatu matriks bujur sangkar A = [aij] matriks segitiga atas bila aij = 0 untuk setiap i>j. Aljabar Linear/II/08

4. Matriks Segitiga Bawah Contoh : 4. Matriks Segitiga Bawah Definisi : Suatu matriks bujur sangkar A=[aij ] dikatakan matriks segitiga bawah, bila aij=0 untuk setiap I < j . Aljabar Linear/II/08

Definisi : Suatu matriks yg sekaligus matriks Contoh : 5. Matrik Diagonal Definisi : Suatu matriks yg sekaligus matriks segitiga atas dan segitiga bawah disebut matriks diagonal, ditulis : diag (a11, a22, …,ann). Aljabar Linear/II/08

Definisi : Matriks diagonal dengan elemen Contoh : 6. Matriks Satuan Definisi : Matriks diagonal dengan elemen diagonalnya = 1 disebut matriks identitas, atau matriks satuan. Matriks ini diberi simbol I. Aljabar Linear/II/08

Definisi : Bila A dan B matriks bujur sangkar dgn 7. Matriks Invers Definisi : Bila A dan B matriks bujur sangkar dgn AB=BA=I, maka B disebut invers dari A, ditulis B=A-1. Matriks A juga merupakan invers dari B, ditulis A=B-1. 8. Matriks Simetri Definisi : Bila A matriks bujur sangkar dengan A= A*, maka A disebut matriks Simetri. Bila A=[aij] matriks simetri, maka aij = aji untuk setiap I≠j. Aljabar Linear/II/08

Definisi : Bila A matriks bujur sangkar dengan Contoh : 9. Matriks Skew Simetri Definisi : Bila A matriks bujur sangkar dengan A=-A*, maka A disebut matriks Skew Simetri. Bila A=[aij] matriks skew, maka aij=-aji untuk setiap i dan j. Ini berarti aij = -aji untuk setiap i. Jadi aij = 0 untuk setiap i. Aljabar Linear/II/08

Contoh : Aljabar Linear/II/08