NOTASI SIGMA BARISAN DAN DERET 0leh: Drs. Markaban, M.Si Widyaiswara PPPPTK Matematika disampaikan pada Diklat Guru Matematika SMK se propinsi DIY DI PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA Tanggal 28 Oktober s.d 10 Nopember 2007

NOTASI SIGMA Konsep Notasi Sigma Perhatikan jumlah 6 bilangan ganjil pertama berikut: ……….. (1) Pada bentuk (1) Suku ke-1 =1= 2.1 – 1 Suku ke-2 =3= 2.2 – 1 Suku ke-3 =5= 2.3 – 1 Suku ke-4 =7= 2.4 – 1 Suku ke-5 =9= 2.5 – 1 Suku ke-6 =11= 2.6 – 1 Secara umum suku ke-k pada (1) dapat dinyatakan dalam bentuk 2k – 1, k  { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Dengan notasi sigma bentuk jumlahan (1) dapat ditulis :

Bentuk dibaca “sigma 2k – 1 dari k =1 sampai dengan 6” atau “jumlah 2k – 1 untuk k = 1 sd k = 6” 1 disebut batas bawah dan 6 disebut batas atas, lambang k dinamakan indeks (ada yang menyebut variabel) Secara umum:

Nyatakan dalam bentuk sigma 1. a + a 2 b + a 3 b 2 + a 4 b 3 + … + a 10 b 9 2. (a + b) n = Contoh: Hitung nilai dari:

Sifat-sifat Notasi Sigma : Untuk setiap bilangan bulat a, b dan n berlaku:

Buktikan:  Bukti: Sifat no. 5 Sifat no. 3 Sifat no. 1 dan 2

Barisan Bilangan Contoh BARISAN BILANGAN ASLI 1, 2, 3, 4, 5, 6, … ; u n = n BARISAN BILANGAN (ASLI) GANJIL 1, 3, 5, 7, 9, … ; u n = 2n – 1 BARISAN BILANGAN (ASLI) GENAP 2, 4, 6, 8, 10, … ; u n = 2n UNTUK SELANJUTNYA DOMAIN BARISAN DAN DERET ADALAH HIMPUNAN BILANGAN ASLI

BARISAN BILANGAN SEGITIGA Barisan Bilangan Asli: Deret Bilangan Asli: 1, 2, 3, 4, 5, 6, … … Barisan Bilangan Segitiga: 1, 3, 6, 10, 15, … atauJadi: Jumlah n suku pertama Deret Bilangan Asli: … adalah (1  2)(2  3)(3  4)(4  5)(5  6)(6  7)(1  2)(2  3)(3  4)(4  5)(5  6) n(n+1)

BILANGAN PERSEGI Barisan Bilangan Ganjil: Deret Bilangan Ganjil: 1, 3, 5, 7, 9, 11, … … Barisan bilangan persegi: 1, 4, 9, 16, 25, 36, … Jumlah n suku pertama Deret Bilangan Asli Ganjil: … adalah n Jadi:

BILANGAN PERSEGIPANJANG Barisan Bilangan Genap: Deret Bilangan Genap: 2, 4, 6, 8, 10, 12, … … 2122  33  4 4  5 5  6 Barisan Bilangan Persegipanjang adalah: 2, 6, 12, 20, 30, … atau 1  2, 2  3, 3  4, 4  5, 5  6, … Jadi: Jumlah n suku pertama Deret Bilangan Asli Genap: … adalah n(n + 1)

Kalender Minggu Senin Selasa Rabu Kamis Jumat Sabtu AGUSTUS 2007 Bagaimana sifat barisan bilangan tersebut? Bagaimana sifat barisan bilangan tersebut? Bagaimana sifat barisan bilangan tersebut? Bagaimana sifat barisan bilangan tersebut?

BARISAN DAN DERET ARITMETIKA Misalkan u n menyatakan suku ke-n suatu barisan, maka barisan tersebut disebut barisan aritmetika jika u n+1  u n selalu bernilai tetap untuk setiap n. u n+1  u n disebut beda barisan tersebut dilambangkan b u n+1 = u n + b; u 1 =... Susunlah sebuah barisan aritmetika 15 suku Berapa jumlah suku ke-3 dan ke-13 Berapa jumlah suku ke-2 dan ke-14 Berapabesar suku ke-8? Hubungan apa yang Anda peroleh? Berapa jumlah suku ke-5 dan ke-11 Berapa jumlah suku ke-3 dan ke-9 Berapa jumlah suku ke-2 dan ke-10 Berapabesar suku ke-6? u n = a + (n  1)b

Deret Aritmetika Rumus untuk menentukan jumlah n suku pertama deret aritmetika dibuat berdasarkan metode yang dipakai oleh matematikawan Carl Friedrich Gauss (1777  1855) ketika ia masih kecil = ? atau

Setiap 2 tahun karyawan di suatu perusahaan gaji pokoknya dinaikkan Rp ,00. Jika gajinya sekarang Rp ,00 sedangkan gaji pertama yang diterimanya pertama kali Rp ,00, berapa tahun ia telah bekerja di perusahaan itu? a = b = = u n n = 8 Bekerja selama tahun 16

BARISAN DAN DERET GEOMETRI Misalkan u n menyatakan suku ke-n suatu barisan, maka barisan tersebut disebutarisan geometri jika u n+1 : u n selalu tetap untuk setiap n. u n+1 : u n disebut rasio atau pembanding barisan tersebut dan dilambangkan r u n = ar n  1 Susunlah sebuah barisan geometri 15 suku positif Berapa hasilkali suku ke-3 dan ke-13 Berapa hasilkali suku ke-2 dan ke-14 Berapabesar suku ke-8? Hubungan apa yang Anda peroleh? Berapa hasilkali suku ke-5 dan ke-11 Berapa hasilkali suku ke-3 dan ke-9 Berapa hasilkali suku ke-2 dan ke-10 Berapabesar suku ke-6?

Deret Geometri S n  a + ar + ar 2 + … + ar n  2 + ar n  1 atau Jika – 1 < r < 1, maka (1) lim r n n∞n∞ = 0 (2) Akibat:lim S n n∞n∞ = sehingga ar n  0 a ____ 1 – r Lambang: S ~ = a ____ 1 – r rS n  ar + ar 2 + … + ar n  2 + ar n  1 + ar n  1 (1 - r)S n  a - ar n  1

Contoh Pada awal tahun 2001 Bagas menabung sebesar Rp ,00 di sebuah bank yang memberinya bunga majemuk 10% per tahun. Jika Bagas tak mengambil simpanannya berapa tabungan Bagas pada akhir tahun 2005? Jawab Awal 2001 Akhir 2001 Akhir 2002 Akhir 2003 Akhir 2004 Akhir , 1 × = ( 1, 1 ) ( 1, 1 ) + 0, 1 × ( 1, 1 ) = ( 1, 1 ) ( 1, 1 ) 2 + 0, 1 × ( 1, 1 ) 2 = ( 1, 1 ) ( 1, 1 ) 3 + 0, 1 × ( 1, 1 ) 3 = ( 1, 1 ) ( 1, 1 ) 4 + 0, 1 × ( 1, 1 ) 4 = ( 1, 1 ) 5 = × 1, = Jadi tabungan Bagas pada akhir 2005 adalah Rp ,00

Barisan Sebagai Fungsi Suatu barisan disebut berderajat satu bila selisih tetap diperoleh dalam satu tingkat pengerjaan, disebut berderajat dua bila selisih tetap diperoleh dalam dua tingkat pengerjaan dst RUMUS SUKU KE-N BARISAN TK I : Un = An + B dengan A = U2 –U1 dan B = 2U1 – U2 BARISAN TK II : Un = An2 + Bn + C dengan A = ½ (U3 -2U2 +U1) B = ½ (-3U3 +8U2 -5U1) C = U3-3U2 +3U1

Soal: Hitunglah: Hitunglah: Sampai 25 suku