TRANSFORMASI VARIABEL RANDOM DISKRIT
Metode lain untuk menentukan distribusi dari fungsi 1 atau lebih variabel random disebut teknik perubahan variabel. Untuk variabel random diskrit , 1 variabel acak: Misalkan X variabel acak dengan pdf f(x) , Didefinisikan variabel acak baru Y=u(X), akan ditentukan pdf dari Y.
Langkah-langkah : Buat transformasi y = u(x) yang memetakan setiap anggota A ke B. Jika transformasinya 1-1 dari A ke B, maka ada transformasi invers dari B ke A (dalam hal ini inversnya x = w(y)).
Berarti, kejadian Y= y atau u(X) = y terjadi jika dan hanya jika kejadian X=w(y) terjadi. Jadi, Contoh: Misalkan X mempunyai pdf Tentukan distribusi dari Y = 4X.
Misalkan y = 4x, transformasi dari x ke y yang memetakan dari A ke Pemetaan dari A ke B adalah satu-satu, berarti jika y = 4x maka x = ¼ y adalah invers dari y = 4x. Jadi
Jadi,
Untuk variabel random diskrit, 2 variabel acak Misalkan f(x1,x2) adalah pdf bersama dari X1 dan X2, dengan A={(x1,x2)|f(x1,x2)>0}. Didefinisikan variabel acak baru , Akan ditentukan pdf dari dan
dan nol untuk yang lainnya. Langkah-langkah Misalkan menyatakan transformasi satu-satu yang memetakan A ke B . Maka transformasi inversnya adalah , yang memetakan ke A. Jadi, pdf bersama dari Y1 dan Y2 adalah : dan nol untuk yang lainnya. Pdf marjinal dari Y1 adalah :
Contoh: Misalkan dan variabel-variabel random yang saling bebas yang masing-masing mempunyai distribusi Poisson dengan mean dan , maka pdf bersama dari dan adalah : Misalkan , akan ditentukan distribusi dari
Akan ditentukan pdf dari dengan menggunakan teknik transformasi variabel. Dalam hal ini perlu didefinisikan variabel random supaya transformasinya satu-satu. didefiniskan sebagai fungsi dari X1 dan X2 yang sederhana, misalkan . Jadi transformasinya : yang merupakan transformasi 1-1 dari ke Transformasi inversnya :
Jadi, Pdf dari Y1 : Jadi Y1 berdistribusi Poisson dengan mean Teknik ini berlaku juga untuk 3 variabel random atau lebih.