BAB III DETERMINAN

Dien Novita, STMIK GI MDP 2013 Definisi   DETERMINAN adalah suatu bilangan riil yang diperoleh dari suatu proses dengan aturan tertentu terhadap matriks bujur sangkar. dien@stmik-mdp.net Dien Novita, STMIK GI MDP 2013

Dien Novita, STMIK GI MDP 2013 FUNGSI dan NOTASI Fungsi determinan di A, disebut atau ditulis det A adalah jumlah semua perkalian elementer dari A. Notasi / simbol lainnya yang banyak dipakai untuk menyatakan determinan dari A, selain det A adalah A. dien@stmik-mdp.net Dien Novita, STMIK GI MDP 2013

SIFAT-SIFAT DETERMINAN Teorema 1 ( Transposisi ) : Nilai suatu determinan tidak berubah jika baris-barisnya ditulis sebagai kolom-kolomnya, dalam urutan yang sama. Dien Novita, STMIK GI MDP 2013

Dien Novita, STMIK GI MDP 2013 Teorema 2 (Perkalian oleh konstanta ) Jika semua unsur dari satu baris atau kolom dari suatu determinan dikalikan oleh faktor k yang sama, maka nilai dari determinan yang baru, sama dengan k kali nilai determinan yang diketahui. Dien Novita, STMIK GI MDP 2013

Teorema 3 Jika unsur dalam suatu baris ( atau suatu kolom ) dari suatu determinan adalah nol, maka nilai determinan itu sama dengan nol Teorema 4 Jika setiap unsur dalam suatu baris atau kolom dari suatu determinan dinyatakan sebagai suatu binomial, maka determinan itu dapat ditulis sebagai jumlah dari dua determinan.

Dien Novita, STMIK GI MDP 2013 Teorema 5 ( Penukaran Baris atau Kolom )  Jika sembarang dua baris atau kolom determinan dipertukarkan, maka nilai determinan itu dikalikan dengan –1.  Teorema 6 (Baris-baris atau Kolom-kolom yang sebanding )  Jika unsur-unsur yang berkaitan dari dua baris atau kolom suatu determinan adalah sebanding, maka nilai determinan itu sama dengan nol.  Dien Novita, STMIK GI MDP 2013

Dien Novita, STMIK GI MDP 2013 Teorema 7 ( Penambahan baris atau kolom )   Nilai suatu determinan tidak berubah jika unsur-unsur dari suatu baris atau kolom diubah dengan menambahkan pada unsur-unsur tadi sembarang konstanta kali unsur-unsur yang berpadanan dari sembarang baris ( atau kolom secara berturut-turut) lainnya. Dien Novita, STMIK GI MDP 2013

Dien Novita, STMIK GI MDP 2013 Teorema 8 Determinan dari hasil kali matriks   Untuk sembarang matriks A dan B yang berukuran n x n   Det (AB) = det (BA) = det A det B Dien Novita, STMIK GI MDP 2013

CARA MENENTUKAN DETERMINAN Dengan aturan sarrus untuk matriks ukuran 2 x 2 dan 3 x 3 Dengan ekspansi kofaktor Dengan reduksi baris Dien Novita, STMIK GI MDP 2013

MENENTUKAN DETERMINAN DENGAN ATURAN SARRUS 2x2 3x3 CONTOH: Tentukan determinan matriks berikut dengan ekspansi kofaktor!

MENENTUKAN DETERMINAN DENGAN EKSPANSI KOFAKTOR A matriks bujur sangkar. Matriks Aij = matriks yang didapat dengan membuang baris ke i dan kolom ke j dari matriks A. mij = det Aij , (mij disebut minor ke ij dari A) Bilangan kij = (-1)i+j mij, disebut kofaktor ke ij dari A Dien Novita, STMIK GI MDP 2013

ekspansi kofaktor sepanjang baris ke i Misal A matriks bujur sangkar nxn, Determinan A dapat dihitung dengan rumus : ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke j det(A) = a1jk1j + a2jk2j +… + anjknj ekspansi kofaktor sepanjang baris ke i det(A) = ai1ki1 + ai2ki2 +… + ainkin

Contoh: Tentukan determinan matriks berikut dengan ekspansi kofaktor!

Dien Novita, STMIK GI MDP 2013 Solusi: Ekspansi kofaktor sepanjang baris 1 Dien Novita, STMIK GI MDP 2013

MENENTUKAN DETERMINAN DENGAN REDUKSI BARIS TEOREMA Jika A adalah matriks segitiga nxn, maka det(A) adalah hasil kali entri-entri pada diagonal utama, yaitu: det(A)=a11x a22 x ... x ann CONTOH: Dien Novita, STMIK GI MDP 2013

Dien Novita, STMIK GI MDP 2013 INVERS MATRIKS Definisi Jika A adalah matriks kuadrat, dan jika kita dapat mencari matriks B sehingga AB = BA = I, maka A dikatakan invertible dan B dinamakan invers dari A. Dien Novita, STMIK GI MDP 2013

CARA MENENTUKAN INVERS MATRIKS Dengan matriks adjoin A matriks bujur sangkar n x n dan kij kofaktor ke ij dari A. Matriks yang elemennya terdiri dari kofaktor matriks A disebut matriks kofaktor dari A. Transpose dari matriks kofaktor disebut matriks adjoint, ditulis dengan simbol adj.(A) Dengan reduksi baris Dien Novita, STMIK GI MDP 2013

Dien Novita, STMIK GI MDP 2013 Contoh: Tentukan invers matriks berikut dengan adjoin dan reduksi baris! Dien Novita, STMIK GI MDP 2013

Dien Novita, STMIK GI MDP 2013 Solusi: Invers matriks dengan adjoin: Dien Novita, STMIK GI MDP 2013

Dien Novita, STMIK GI MDP 2013 Solusi: Invers matriks dengan reduksi baris: Dien Novita, STMIK GI MDP 2013

PENYELESAIAN SPL DENGAN ATURAN CRAMER Jika Ax = b merupakan suatu sistem n persamaan linear dengan n peubah sedemikian sehingga det (A) ≠ 0, maka sistem tersebut mempunyai suatu penyelesaian yang unik. Penyelesaian ini adalah : Dien Novita, STMIK GI MDP 2013

Dien Novita, STMIK GI MDP 2013 Keterangan : A1, A2, … , An adalah matriks yang kita dapat dengan menggantikan entri – entri dalam kolom ke 1, 2,…,n dengan entri – entri dalam matriks Dien Novita, STMIK GI MDP 2013

Dien Novita, STMIK GI MDP 2013 Contoh: Selesaikan SPL berikut dengan aturan Cramer! x + y + z = 6 2x + y = 4 x – y + z = 2 2) 2x + y + z = -1 2x + y = -4 x – y + z = 4 Dien Novita, STMIK GI MDP 2013