TEKNIK OPTIMASI MULTIVARIABEL DENGAN KENDALA Mei 2009 TEKNIK OPTIMASI MULTIVARIABEL DENGAN KENDALA Dr. Ir. Yandra Arkeman, MEng Mata Kuliah Teknik Optimasi Departemen Teknologi Industri Pertanian Fateta - IPB

Nonlinear Programming (NLP) Formulasi NLP Maks/Min f (x) x = [ x1 x2 x3 …. Xn]T terhadap h (x) = 0 j = 1, 2, ….., m g (x) ≥ 0 j = m + 1, …., p Fungsi Kendala dapat dalam bentuk persamaan maupun pertidaksamaan Bentuk pertidaksamaan  bentuk persamaan

Beberapa Metode Metode Eliminasi Metode Lagrange Metode Penalty Ketiga metoda akan digunakan untuk kendala dgn bentuk persamaan (=)

METODE ELIMINASI CONTOH Minimumkan f (x) = 4x12 + 5x22 (pers. 1) terhadap 2x1 + 3x2 = 6 (pers. 2) Gunakan Metode Eliminasi!

METODE ELIMINASI PENYELESAIAN Baik x1 maupun x2 dapat dieliminasi. Cth gunakan x1; x1 = 6 – 3 x2 2 Selanjutnya eliminasikan ke pers.2; f (x2) = 14x22 – 36x2 + 36 (pers.3)

METODE ELIMINASI PENYELESAIAN minimisasi pers.3, dgn cara turunan ∂ f(x2) = 28x2 – 36 = 0  x2* = 1.286 ∂x2 Sehingga diperoleh x1* = 6 – 3 x2  x1* = 1.071 2

METODE ELIMINASI

METODE PENGALI LAGRANGE Metode ini dapat digunakan bila sulit menggunakan Metode Eliminasi Misal terdapat masalah optimasi dengan 2 variabel dan 1 persamaan konstrain: Min f (x1, x2) terhadap h (x1, x2) = e ( e adalah konstanta) atau h (x1, x2) – e = 0 h – e = 0

Bentuk Umum Kalau fungsi yang akan diminimumkan adalah: Y = f(x) Dengan kendala hk = h(x)=0, ,maka: Notasi fungsi dengan pengali Lagrange menjadi: L(x,) = Y +  khk

METODE PENGALI LAGRANGE Jika fungsi objektif tambahan dapat didefinisikan sebagai L(x, ω) = f (x) + ωh(x) catatan h(x) = 0 Maka pers.1 dapat ditulis menjadi (untuk 2 variabel x1 dan x2) : ∂f + ω ∂h = ∂ L = 0 (Pers.2a) ∂x1 ∂x1 ∂x1 ∂f + ω ∂h = ∂ L = 0 (Pers.2b) ∂x2 ∂x2 ∂x2 Syarat kondisi (Pers.2) yang optimum adalah ∂ L (x, ω) = h (x) = o (Pers.3) ∂ ω

METODE PENGALI LAGRANGE Contoh Soal Minimumkan f(x) = 4x12 + 5x22 Terhadap h(x)= 0 = 2x1 + 3x2 – 6 Penyelesaian Ubah bentuk fungsi tujuan  L(x, ω) = 4x12 + 5x22 + ω(2x1 + 3x2 – 6) (terapkan syarat kondisi pers. 2 dan 3 ) ∂L(x, ω) = 8x1 + 2 ω = 0 ∂x1 ∂L(x, ω) = 10x2 + 3 ω = 0 ∂x2 ∂L(x, ω) = 2x1 + 3x2 – 6 = 0 ∂ ω Dengan substitusi, x1 = -ω/4 dan x2 = -3ω/10, Maka  2(-ω/4) + 3(-3ω/10) – 6 = 0 ω = -30/7 x1‘ = 1.071 x2' = 1.286

Latihan 1 (Pengali Lagrange) Optimumkan fungsi: F(x) = 3x12 + x22 + 2x1x2 + 6x1 + 2x2 Terhadap 2x1 – x2 = 4 Gunakan matriks Hess untuk menguji apakah solusi yang didapatkan merupakan titik minimum atau maksimum

METODE PENALTY Merupakan metode kedua yang banyak digunakan untuk menyelesaikan NLP Ide utama Metode ini: Min f(x) terhadap g(x) ≥ 0 min P(f,g,h) h(x) = 0 Dimana P(f,g,h) merupakan fungsi Penalty atau fungsi baru

Jika fungsi Y = f(x) akan dioptimasikan dengan kendala gi = 0, maka dibuat fungsi baru: F = Y +  pk(gk)2 Fungsi ini kemudian diperlakukan sbg fungsi tanpa kendala dan dioptimumkan dgn nilai P sangat besar, atau p   Untuk mencari maksimum bentuknya menjadi: F = Y -  pk(gk)2

CONTOH Minimumkan f (x) = 4x12 + 5x22 (pers. 1) terhadap 2x1 + 3x2 = 6 (pers. 2) Gunakan Metode Penalty!

Penyelesaian: Karena hanya ada satu kendala, maka: F = Y + p1(g1)2 Sehingga diperoleh: F = 4x12 + 5x22 + p(2x1+3x2-6)2 (i) F/ x1 = 8x1+4p(2x1+3x2-6) = 0 (ii) F/ x2 = 10x2+6p(2x1+3x2-6) = 0 (iii) Pers (ii) = Pers (iii), maka: 8x1/4 = -p(g) = 10x2/6 x1 = (5/6) x2

Subtitusi ke pers. (ii): 8[(5/6)x2] + 4p[(5/3)x2+3x2-6] = 0 20/3 x2 + 20/3 px2 + 12px2 – 24p = 0 20/3 x2 + 56/3 px2 = 24p x2 [ 20/3 + (56/3)p ] = 24p x2 = 24p . 20/3 + (56/3)p Persamaan dibagi dgn p dan disederhanakan: x2 = 9 . (5/2p) + 7 Jika p   , maka x2  1.286. Sehingga x1=1.071

Cari nilai matriks Hess dan tentukan apakah titik stasioner yang didaptkan benar merupakan titik minimum!

Latihan: NLP sbb: Min f(x) = (x1 – 1)2 + (x2 – 2)2 terhadap h(x) = x1 + x2 + - 4 = 0 NLP tersebut dapat ditransform menjadi fungsi tanpa kendala sbb P(x,r) = (x1 – 1)2 + (x2 – 2)2 + r (x1 + x2 + - 4 )2