DISTRIBUSI EKSPONENSIAL KELOMPOK ABED KARENDA 672009296 YOHANES ANGGORO 672009013 BENEDIKTUS. M. T. S 672009310 WILLY BARDUS 672009299 R. ANGGA. A. P. H 672009183 JADI BUDI 672009221 BRITIA DICKY 672009029

PENGERTIAN... Selain distribusi normal, salah satu distribusi yang banyak digunakan dalam statistika, khususnya proses stokastik, adalah distribusi eksponensial. Distribusi eksponensial adalah salah satu kasus khusus dari distribusi gamma. Definisi 1: Fungsi gamma didefinisikan oleh: untuk  > 0 Fungsi gamma ini adalah fungsi rekursif di mana P(n) = (n-1)!

PENGERTIAN... Pada saat  = 1, distribusi gamma mengambil suatu bentuk khusus yang dikenal sebagai distribusi eksponensial. Distribusi eksponensial digunakan dalam teori keandalan dan waktu tunggu atau teori antrian.

Distribusi Eksponensial Variabel random kontinu X memiliki sebuah distribusi eksponensial, dengan parameter , jika fungsi densitas (pdf)-nya diberikan oleh: di mana  > 0.

Distribusi Eksponensial pada Antrian Karakteristik operasi sistem antrian terbagi menjadi dua bagian besar yaitu distribusi probabilitas waktu antar kedatangan dan waktu pelayanan. Untuk permasalahan sistem antrian yang real, distribusi tersebut hampir digunakan dalam semua bentuk (masalah dibatasi dengan nilai negatif tidak akan terjadi).

Distribusi Eksponensial pada Antrian Meskipun persamaan model dari sistem antrian hanya mewakili beberapa bentuk permasalahan yang real, karena itu penting bagi kita untuk mengasumsi beberapa bentuk dari distribusi tersebut. Lebih baik lagi jika asumsi yang kita gunakan adalah asumsi yang suffisien realistik yang membuktikan bahwa penaksiran model tersebut beralasan disamping itu harus sufisien sederhana yang menurut pada hukum matematika. Dan karena itulah sebagaian besar sistem antrian menggunakan distribusi eksponensial.

Distribusi Eksponensial pada Antrian Jika variabel random T mewakili waktu antar kedatangan atau waktu pelayanan (kita harus menandai kejadian tersebut waktu antar kedatangan atau waktu pelayanana sebagai kejadian). Variabel random T dikatakan memiliki distribusi eksponensial dengan parameter α, jika probabilitas ini memiliki fungsi densitas sebagai berikut: f (t)= αe-αt, untuk t≥0 dan f (t)=0, untuk t<0>

Distribusi Eksponensial pada Antrian Komulatif distribusinya sebagai berikut: P(T≤t)=1-e-αt, t>0 ; P(T>t)= e-αt, t>0 Sedangkan nilai ekspektasi dari T dan varians T adalah: E(T)=1/α dan Var(T)=1/α2

SYARAT DISTRTIBUSI EKSPONENSIAL PADA ANTRIAN Ada enam syarat yang menunjukkan apakah sistem antrian menggunakan distribusi eksponensial. Syarat- syarat tersebut dapat kita lihat sebagai berikut: 1. f (t) adalah fungsi menurun t (untuk t≥0) Akibat dari syarat 1 tersebut adalah untuk semua nilai positif dari t dan . Meskipun tidak hanya memungkinkan tetapi juga secara relatif seperti T akan mengambil sebuah nilai yang kecil dan dekat dengan nol.

SYARAT DISTRTIBUSI EKSPONENSIAL PADA ANTRIAN 2. Kekurangan memori (lack of memory) Syarat ini dapat ditunjukkan sebagai untuk semua postif t dan . Dengan kata lain distribusi probabilitas dari waktu yang tersisa sampai kejadian terjadi selalu sama, tanpa memperhatikan berapa banyaknya yang berjalan, sehingga dapat ditulis dalam model matematik

SYARAT DISTRTIBUSI EKSPONENSIAL PADA ANTRIAN 3. Paling sedikit variabel random eksponensial memiliki distribusi eksponensial. Jika T1, T2, ..., Tn adalah variabel random eksponensial dengan parameter α1, α2, ... αn. Jika U adalah variabel random yang mengambil nilai minimum dari T1, T2, ..., Tn maka U=min{ T1, T2, ..., Tn}

SYARAT DISTRTIBUSI EKSPONENSIAL PADA ANTRIAN 4. Berhubungan dengan distribusi poisson Syarat ini berguna untuk menjelaskan peluang tingkah laku ketika waktu antar kedatangan mempunyai distribusi eksponensial dengan parameter λ. Dalam kasus ini, X(t) adalah angka kedatangan yang berlalu dalam waktu t, dimana α=λ yang disebut rata-rata angka kedatangan (mean arrival rate)

SYARAT DISTRTIBUSI EKSPONENSIAL PADA ANTRIAN 5. Untuk semua nilai positif dari t, T dapat mewakili waktu antar kedatangan dan waktu pelayanan dalam sistem antrian, syarat ini menunjukkan penaksiran peluang kejadian pada kejadian dengan interval yang bernilai kecil. Syarat ini diambil dari penaksiran yang tepat dari limit à=0

SYARAT DISTRTIBUSI EKSPONENSIAL PADA ANTRIAN 6. Tidak memiliki pengaruh dari pengumpulan data (aggregation) dan yang tidak mengumpul (dissaggregation) Syarat ini relevan untuk dipakai jika proses input berdistribusi poisson, meskipun secara langsung menunjukkan bahwa kejadian tersebut berdistribusi eksponensial (lihat syarat 4)

Rataan dan Variansi Distribusi Gamma dan Eksponensial Teorema : Mean dan variansi distribusi gamma adalah:  =  dan 2 = 2 Korolari : Mean dan variansi distribusi eksponensial adalah:  =  dan 2 = 2

CONTOH…. Hari-hari antara kecelakaan pesawat terbang 1948-1961 berikut distribusi eksponensial dengan rata-rata 44 hari antara setiap kecelakaan. Jika satu terjadi pada 1 Juli setiap tahun tertentu: Apa probabilitas dari yang lain seperti kecelakaan dalam sebulan? Apa varians dari waktu antara kecelakaan di tahun tersebut?

Jawaban: Distribusi eksponensial tidak memiliki memori, maka sebuah kecelakaan di bulan tertentu tidak memiliki bantalan pada setiap periode waktu lainnya. Jadi: a) probabilitas kecelakaan selama 31 hari adalah P (31) = 1 - e ^ (-31/44) = 0,506 b) varians dari distribusi eksponensial adalah (1 / 44) = 0,00052

Hubungan distribusi Poisson, Eksponensial, dan Gamma Pada suatu kejadian yang mengikuti proses Poisson, waktu antar kejadian (atau waktu kejadian pertama atau ke-1 dari kejadian terakhir, karena sifatnya yang memoryless) tersebut akan berdistribusi eksponensial. Sedangkan waktu sampai terjadinya kejadian ke- akan berdistribusi gamma.

TERIMA KASIH...