Matriks dan Transformasi Linier Dra. Dwi Achadiani, M.Kom

Vektor Definisi: Lambang : Vektor adalah besaran yang mempunyai arah dan besar, contoh: kecepatan, gaya, percepatan. ● ● Lambang : a : vektor a Titik awal Titik ujung besar arah

Operasi vektor dalam bidang Operasi penjumlahan dua vektor Definisi: Jika a dan b dua vektor dengan titik awal yang sama, maka jumlah a dan b ( a + b ) adalah vektor yang merupakan diagonal jajaran genjang . a a + b b

Sifat penjumlahan vektor Operasi perkalian vektor dengan bil riel Sifat perkalian vektor dengan bil riel

Kombinasi Linier

dinamakan kombinasi linier dari Definisi: Jika adalah vektor-vektor di R²(atau di ), maka: dinamakan kombinasi linier dari Panjang Vektor (Norm) Definisi: Panjang vektor di didefinisikan :

Sudut antara dua vektor Sudut θ antara dua vektor di R², jika memenuhi persamaan berikut: , dengan

Perkalian Silang Definisi: Jika 2 vektor di , maka: panjangnya 1 unit dan searah sumbu x

panjangnya 1 unit dan searah sumbu y panjangnya 1 unit dan searah sumbu z Maka vektor dapat ditulis menjadi

Jarak dua titik yang berada pada dua ujung vektor Maka jarak antara titik A ke titik B adalah d, dengan:

Bergantung Linier dan Bebas Linier Vektor- vektor : , apabila dengan tidak semua berharga nol, maka vektor disebut bergantung linier, sedangkan apabila semua berharga nol maka vektor disebut bebas linier.

Vektor pembentuk ruang vektor Definisi: suatu himpunan vektor-vektor disebut sistem pembentuk ruang vektor V, ditulis V= bila setiap dapat ditulis sbg kombinasi linier dari

Dimensi dan Basis Dimensi Definisi: suatu vektor V dikatakan berdimensi n bila dapat diketemukan suatu himpunan n vektor-vektor V yang bebas linier Atau : maksimum banyaknya vektor-vektor V yang bebas linier .

Basis Definisi: Setiap sistem pembentuk yang bebas linier disebut basis ruang vektor tersebut.

MATRIKS Definisi: Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun dalam sebuah empat persegi panjang, secara teratur, di dalam baris-baris dan kolom-kolom. Matriks di atas disebut matriks ukuran m x n

Operasi Matriks Operasi Kesamaan Dua matriks A dan B disebut sama, jika: A dan B sejenis Setiap unsur yang seletak sama. A = B, A ≠ C, B ≠ C

2. Penjumlahan dua matriks Definisi: Jumlah dua matriks A dan B yang sejenis adalah sebuah matriks C yang sejenis pula dengan unsur-unsur , dimana terdapat hubungan: .

Sifat-sifat penjumlahan: Komutatif : A + B = B + A Assosiatif : A + (B + C) = (A + B) + C Perkalian dengan skalar ( ) Perkalian sebuah matriks dengan skalar ( ) maka setiap unsur matriks tersebut terkalikan dengan skalar ( ). , maka A = .

Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar (A + B) = A + B ( + β ) A = A + β A (β A) = β A

4. Perkalian dua matriks Definisi: Dua matriks A (m x n), dan B (p x q) didefinisikan hasil kalinya, jika n = p , maka hasilkali adalah matriks C (m x q) dengan unsur-unsur:

dan banyaknya kolom = banyaknya kolom matriks B. Pada umumnya AB ≠ BA Catatan: Perkalian 2 matriks AB dapat didefinisikan, jika banyaknya kolom matriks A = banyaknya baris matriks B. Hasil kali dua matriks AB adalah suatu matriks dengan banyaknya baris = banyaknya baris matriks A dan banyaknya kolom = banyaknya kolom matriks B. Pada umumnya AB ≠ BA Contoh: 1 x 3 3 x 1 1 x 1

2 x 2 3 x 3

Macam-macam matriks Matriks bujursangkar Definisi: matriks bujursangkar adalah matriks dimana banyaknya baris = banyaknya kolom 2. Matrik satuan/ matriks identitas Matriks bujur sangkar Setiap unsurnya nol, kecuali didiagonal utama = 1

Contoh : A.I = I.A I.I = I Matriks segitiga Matriks bujursangkar Unsur di atas/di bawah diagonal utama adalah nol

Contoh : Matriks Tranpose Tidak perlu bujursangkar Setiap baris ditukar tempat dengan kolom

Contoh :

Sifat-sifat matriks transfose

Contoh

Matriks simetris Matriks A disebut simetris apabila Matriks Bujur sangkar Contoh

Matriks skew simetris Matriks A disebut matriks skew simetri jika Bujur sangkar Contoh

Matriks Skew simetris , maka Untuk I = j maka Jadi diagonal utama matriks skew simetris = 0

Matriks Diagonal Matriks bujursangkar Semua unsur nol, kecuali didiagonal utama

9. Matriks Nol Tidak perlu matriks bujur sangkar Semua unsurnya nol A.0 = 0 A + 0 = A A.B = 0, apakah A = 0 ?atau B = 0? atau kedua-duanya nol

Dalil: Sembarang matriks bujur sangkar dapat ditulis sebagai jumlahan dua matriks yang satu simetris yang lain skew simetris

Bukti:

Matriks Simetris Matriks Skew Simetris

Cek

Transformasi (operasi) Elementer pada Baris dan Kolom Matriks Transformasi Elamenter pada matriks adalah: Penukaran tempat baris ke i dan ke j (baris ke i dijadikan baris ke j dan baris ke j dijadikan baris ke i), ditulis H (A) Penukaran tempat kolom ke i dan kolom ke j (kolom ke i dijadikan kolom ke j atau sebaliknya), ditulis K (A) Memperkalikan baris ke i dengan skalar ≠ 0, ditulis H (A) Memperkalikan kolom ke i dengan ≠ 0, ditulis K (A) Menambah baris ke i dengan kali baris ke j, ditulis H (A) ij ij i i ij

kali baris ke j, ditulis H (A) Menambah kolom ke i dengan kali kolom ke j,ditulis K (A) Kadang untuk operasi (1) dan (3) dapat dilakukan dalam satu langkah : Menambah kali baris ke i dengan kali baris ke j, ditulis H (A) Demikian pula untuk untuk operasi (2) dan (4) Bila menggunakan operasi baris maka disebut operasi baris elementer (OBE) ij 1 2 i j

Contoh:

Invers Suatu Transformasi Linier Jika suatu transformasi elementer adalah: A = H (B) = H (B) A = K (B) = K (B) A = H (B) = H (B) A = K (B) = K (B) A = H (B) = H (B) A = K (B) = K (B) -1 ij ij -1 ij ij -1 1/ i i -1 1/ i i -1 -1 ij ij ij ij

Contoh

Penggunaan OBE Mencari Rank Matriks Adalah jumlah maksimum baris/kolom yang bebas linier ( tidak semua unsur dalam suatu baris/kolom nol) Mecari invers matriks ( A:I ) ( I:A ) OBE -1

Contoh Maka rank matriks A = 2

2. Carilah invers dari matriks