MATEMATIKA DISKRIT

MATEMATIKA DISKRIT ADALAH CABANG MATEMATIKA YANG MEMPELAJARI OBJEK-OBJEK DISKRIT OBJEK DISKRIT ADALAH SEJUMLAH BERHINGGA ELEMEN-ELEMEN DISKRIT YANG TIDAK BERSAMBUNGAN LAWAN DARI DISKRIT ADALAH KONTINU (BERSAMBUNG)

CONTOH OBJEK DISKRIT: - HIMPUNAN BILANGAN BULAT - HIMPUNAN MAHASISWA - DLL CONTOH OBJEK KONTINU: - HIMPUNAN BILANGAN RIL - HIMPUNAN TINGGI BADAN - DLL

CAKUPAN MATERI: - LOGIKA - HIMPUNAN - MATRIKS, RELASI DAN FUNGSI - METODE PEMBUKTIAN - INDUKSI MATEMATIKA - ALGORITMA DAN BILANGAN BULAT - KOMBINATORIAL & PELUANG DISKRIT - ALJABAR BOOLEAN - GRAF - POHON - KOMPLEKSITAS ALGORITMA

1. LOGIKA

Logika adalah metode atau teknik yang diciptakan untuk meneliti ketepatan penalaran serta mengkaji prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan yang absah. Ilmu logika berhubungan dengan kalimat- kalimat (argumen) dan hubungan yang ada diantara kalimat-kalimat tersebut.

LOGIKA PASTI LOGIKA TAK-PASTI LOGIKA PROPOSISIONAL LOGIKA PREDIKAT LOGIKA HUBUNGAN LOGIKA HIMPUNAN DIANTARA “YA” DAN “TIDAK” dibedakan menjadi meliputi mempunyai nilai kebenaran

LOGIKA PASTI LOGIKA PROPOSISIONAL LOGIKA PREDIKAT LOGIKA HUBUNGAN LOGIKA HIMPUNAN KALIMAT DEKLARATIF TUNGGAL ATAU MAJEMUK (TDK MENGANDUNG VAR.) VARIABEL DALAM SATU KALIMAT, KUANTIFIKASI & VALIDITAS ARGUMEN HUB. ANTARA PERNYATAAN, RELASI SIMETRI, REFLEKSIF, ANTI-SIMETRI DLL UNSUR-UNSUR HIMPUNAN & HUKUM-HUKUM YG BERLAKU DIDALAMNYA meliputi membahas menelaah mempelajari

1.1 LOGIKA PROPOSISIONAL KALIMAT DEKLARATIF DALAM LOGIKA PROPOSISIONAL DISEBUT PROPOSISI SETIAP PROPOSISI HANYA MENGANDUNG TEPAT SATU NILAI KEBENARAN, YAITU BENAR SAJA ATAU SALAH SAJA; TIDAK MEMPUNYAI DUA NILAI KEBENARAN BERSAMAAN.

Contoh 1.1: a) Kota Palembang adalah ibukota Provinsi Sumatera Selatan b) = 9 c) Indonesia adalah negara terkecil di kawasan Asia Tenggara Ketiga pernyataan di atas adalah proposisi karena ketiganya mempunyai nilai kebenaran yang pasti, yaitu : a) dan b) mempunyai nilai kebenaran “benar”. Sedangkan c) mempunyai nilai kebenaran yang “salah”.

Contoh 1.2: a) y = 2x +1 b) Ali lebih kaya dari Badu c)Siapakah Gubernur Provinsi Sumatera Selatan? a)bukan proposisi karena nilai kebenarannya tidak dapat ditentukan (bisa salah, bisa juga benar; tergantung nilai x dan y) b) juga bukan proposisi karena kita tidak mempunyai informasi Ali dan Badu yang mana. c) bukan proposisi karena merupakan kalimat tanya.

Lambang Proposisi Biasanya proposisi dilambangkan dengan huruf kecil p, q atau r dst. Jika kita ingin menyatakan proposisi p sebagai, “Tiga belas adalah bilangan ganjil”, maka kita tulis sebagai berikut, p : Tiga belas adalah bilangan ganjil (dibaca : p adalah proposisi tiga belas adalah bilangan ganjil.

Proposisi Tunggal (disebut juga atom atau primitif) adalah proposisi yang tidak bisa dipecah menjadi beberapa proposisi. Proposisi Majemuk adalah proposisi yang terdiri dari beberapa proposisi tunggal yang dihubungkan dengan perangkai.

Contoh : p : Kuliah hari ini sudah selesai q : Saya akan pulang Jika proposisi p dan q digabungkan, misal dengan menggunakan perangkai atau kata hubung “dan”, maka akan dihasilkan sebuah proposisi majemuk r sebagai berikut, r : Kuliah hari ini sudah selesai dan saya akan pulang

Tabel 1.1 Perangkai proposisi

No.SimbolDibacaArti Tabel 1.1 Perangkai proposisi

No.SimbolDibacaArti 1  NegasiTidak / bukan Tabel 1.1 Perangkai proposisi

No.SimbolDibacaArti 1  NegasiTidak / bukan 2  KonjungsiDan Tabel 1.1 Perangkai proposisi

No.SimbolDibacaArti 1  NegasiTidak / bukan 2  KonjungsiDan 3  DisjungsiAtau Tabel 1.1 Perangkai proposisi

No.SimbolDibacaArti 1  NegasiTidak / bukan 2  KonjungsiDan 3  DisjungsiAtau 4  ImplikasiJika … maka … atau... hanya jika … Tabel 1.1 Perangkai proposisi

No.SimbolDibacaArti 1  NegasiTidak / bukan 2  KonjungsiDan 3  DisjungsiAtau 4  ImplikasiJika … maka … atau... hanya jika … 5  Bi-Implikasi… jika dan hanya jika … Tabel 1.1 Perangkai proposisi

No.SimbolDibacaArti 1  NegasiTidak / bukan 2  KonjungsiDan 3  DisjungsiAtau 4  ImplikasiJika … maka … atau... hanya jika … 5  Bi-Implikasi… jika dan hanya jika … 6  Ekslusif Or Tabel 1.1 Perangkai proposisi

No.SimbolDibacaArti 1  NegasiTidak / bukan 2  KonjungsiDan 3  DisjungsiAtau 4  ImplikasiJika … maka … atau... hanya jika … 5  Bi-Implikasi… jika dan hanya jika … 6  Ekslusif Or 7  Not AndTidak dan Tabel 1.1 Perangkai proposisi

No.SimbolDibacaArti 1  NegasiTidak / bukan 2  KonjungsiDan 3  DisjungsiAtau 4  ImplikasiJika … maka … atau... hanya jika … 5  Bi-Implikasi… jika dan hanya jika … 6  Ekslusif Or 7  Not AndTidak dan 8  Not OrTidak atau Tabel 1.1 Perangkai proposisi

Contoh 1.3: a) p : Mahasiswa libur kuliah  p : Mahasiswa tidak libur kuliah b) p : Saya memesan es jeruk q : Saya memesan es buah p  q : Saya memesan es jeruk dan es buah p  q : Saya memesan es jeruk atau es buah 1.2 Proposisi Majemuk Proposisi majemuk adalah kombinasi dari satu proposisi atau lebih dengan menggunakan perangkai logika

Contoh 1.4: p : Hari ini hujan q : Murid-murid diliburkan dari sekolah Maka p  q : Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah p  q : Hari ini hujan atau murid-murid diliburkan dari sekolah p  q : Jika hari hujan maka murid-murid diliburkan dari sekolah  q : Murid-murid tidak diliburkan dari sekolah

Contoh 1.5: p : Pemuda itu tinggi q : Pemuda itu tampan Nyatakan ekspresi berikut dalam ekspresi logika a)Pemuda itu tinggi dan tampan b)Pemuda itu tinggi, tapi tidak tampan c)Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan d)Tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak tampan e) Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan f ) Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun tampan

Penyelesaian: a)p  q b)p   q c)  p   q d)  (  p   q ) e)p  (  p  q ) f)  (  p  q )

1.3 TABEL KEBENARAN CONTOH 1.6

CONTOH 1.7 Jika p, q, dan r adalah proposisi, buat tabel kebenaran dari ekspresi logika (p  q)  (  q  r) Penyelesaian qq

Tautologi adalah proposisi yang selalu mempunyai nilai kebenaran “benar” untuk setiap kasus Contoh 1.8a Dengan menggunakan tabel kebenaran, buktikan bahwa p   (p  q) adalah tautologi pq (p  q)  (p  q)p   (p  q) TTTFT TFFTT FTFTT FFFTT

Kontradiksi adalah proposisi yang selalu mempunyai nilai kebenaran “salah” untuk setiap kasus Contoh 1.8b Dengan menggunakan tabel kebenaran, buktikan bahwa (p  q)   (p  q) adalah kontradiksi pq (p  q)(p  q)  (p  q)(p  q)   (p  q) TTTTFF TFFTFF FTFTFF FFFFTF

Ekivalensi dua buah proposisi majemuk Dua buah proposisi majemuk dikatakan ekivalen (  atau  ) jika kedua proposisi majemuk mempunyai nilai kebenaran yg identik Contoh 1.9 Berdasarkan Hukum De Morgan: (p  q) ekivalen dengan  (p  q) Bukti Pembuktian dapat menggunakan tabel kebenaran

pq pp qq  p   q TTFFF TFFTF FTTFF FFTTT pq p  q  (p  q) TTTF TFTF FTTF FFFT

Disjungsi Ekslusif (menggunakan simbol  ) Disjungsi Inklusif (menggunakan simbol  ) Disjungsi 1.4 Disjungsi

Disjungsi Disjungsi Inklusif (menggunakan simbol  ) Disjungsi Ekslusif (menggunakan simbol  ) Nilai kebenaran 1.4 Disjungsi

Disjungsi Disjungsi Inklusif (menggunakan simbol  ) Disjungsi Ekslusif (menggunakan simbol  ) Nilai kebenaran T jika setidak-tidaknya ada satu proposisi tunggal yang bernilai benar 1.4 Disjungsi

Disjungsi Disjungsi Inklusif (menggunakan simbol  ) T jika setidak-tidaknya ada satu proposisi tunggal yang bernilai benar Nilai kebenaran Disjungsi Ekslusif (menggunakan simbol  ) 1.4 Disjungsi

Disjungsi Disjungsi Inklusif (menggunakan simbol  ) Disjungsi Ekslusif (menggunakan simbol  ) T jika setidak-tidaknya ada satu proposisi tunggal yang bernilai benar T jika salah satu proposisi tunggal bernilai benar Nilai kebenaran 1.4 Disjungsi

Disjungsi Disjungsi Inklusif (menggunakan simbol  ) Disjungsi Ekslusif (menggunakan simbol  ) pq pqpq TTT TFT FTT FFF pq pqpq TTF TFT FTT FFF 1.4 Disjungsi

1.5 Hukum-hukum Logika Proposisi 1. Hukum Identitas (i) p  F  p (ii) p  T  p 2. Hukum null/dominasi (i) p  F  F (ii) p  T  T 3. Hukum negasi (i) p   p  T (ii) p   p  F 4. Hukum idempoten (i) p  p  p (ii) p  p  p 5. Hukum involusi  (  p)  p 6. Hukum penyerapan (i) p  (p  q)  p (ii) p  (p  q)  p

Hukum-hukum Logika Proposisi 7. Hukum komutatif (i) p  q  q  p (ii) p  q  q  p 8. Hukum asosiatif (i) p  (q  r)  (p  q)  r (ii) p  (q  r)  (p  q)  r 9. Hukum distributif (i) p  (q  r)  (p  q)  (p  r) (ii) p  (q  r)  (p  q)  (p  r) 10. Hukum De Morgan (i)  (p  q)   p   q (ii)  (p  q)   p   q

Contoh 1.10 Tunjukkan bahwa p   (p  q) dan p  q ekivalen secara logika Penyelesaian p   (p  q)  p  (  p   q)  (p   p)  (p   q)  T  (p   q)  p   q

Contoh 1.11 Tunjukkan bahwa p   (p  q) dan p  q ekivalen secara logika Penyelesaian p  (p  q)  (p  F)  (p  q) Hukum Identitas  p  (F  q) Hukum Distributif  p  F Hukum Null  P Hukum Identitas

1.6 Terapan Operator Logika dalam Bidang Komputer Operasi logika dapt diterapkan pada mesin pencari (search engine). Misal kita ingin mencari halaman web yang berkaitan dengan “aljabar” atau “boolean”, maka yang kita cari ditulis sebagai, aljabar OR boolean

Jika kita ingin mencari halaman web yang berkaitan dengan “aljabar” dan “boolean”, maka yang kita cari ditulis sebagai, aljabar AND boolean Sedangkan halaman web yang berkaitan dengan “aljabar” atau “boolean” dan berkaitan dengan “matematika”, maka kita ditulis sebagai, (aljabar OR boolean) AND matematika