KOEFISIEN KORELASI

Misalkan X dan Y adalah variabel-variabel random yang mempunyai pdf bersama f(x,y). Jika u(x,y) adalah fungsi dari x dan y, maka diasumsikan E[u(X,Y)] terdefinisi. Dalam pembahasan ini, diasumsikan semua ekspektasi ada, yaitu : - (mean dari X) - (mean dari Y) - (variansi dari X) - (variansi dari Y)

Perhatikan ekspektasi berikut: yang disebut kovariansi dari X dan Y. Notasi : Cov(X,Y)

Apabila dan positif, bilangan disebut koefisien korelasi dari X dan Y. Jadi, .

Contoh: Misalkan X dan Y variabel random yang mempunyai pdf bersama : Hitung koefisien korelasi dari X dan Y

Catatan: - Nilai memenuhi - Jika maka terdapat suatu garis dengan persamaan , grafik yang mengandung semua probabilitas untuk distribusi X dan Y. Dalam hal ini . - Jika maka sama dengan pernyataan , tetapi dalam hal ini b < 0. - Jika , maka akan timbul pertanyaan apakah ada suatu garis di bidang XY sehinnga probabilitas untuk X dan Y terkonsentrasi di sekitar jalur garis tersebut?

Adib bahwa : Misalkan f(x,y) adalah pdf bersama dari X dan Y, f1(x) pdf marginal dari X, maka - pdf bersyarat dari Y diberikan X=x adalah : - mean bersyarat dari Y diberikan X=x adalah

- mean bersyarat dari X diberikan Y=y adalah : Dalam hal u(x) adalah fungsi linier dari x yaitu u(x) = ax + b, maka mean bersyarat dari Y adalah linier dalam x atau Y mempunyai mean bersyarat yang linier. - akan dicari konstanta a dan b

Misalkan dan tidak nol. Jadi, sehingga . **

- **

Sehingga diperoleh 2 persamaan sebagai berikut: 1. 2. (2) (1) Dari (1) dan (2) diperoleh : dan

Jadi, atau Dengan cara yang sama :

Akan diselidiki variansi dari suatu distribusi bersyarat dengan pemisalan bahwa mean bersyarat adalah linier. Misal

Jadi,

Karena maka sehingga .

Misal dari (*) tetapi Var(Y|x)=k, dimana k adalah konstanta yang lebih besar dari 0.

Berarti dalam hal ini variansi dari setiap distribusi bersyarat dari Y diberikan X=x adalah . Apabila , maka Apabila mendekati nilai 1 artinyaVar(Y|x) nilainya relatif kecil. Berarti terdapat konsentrasi yang tinggi dari probabilitas untuk distribusi bersyarat di dekat mean

Contoh: Misalkan X dan Y mempunyai mean bersyarat linier yaitu E(Y|x)= 4x + 3 dan Tentukan

MGF dari Distribusi Bersama X dan Y Misalkan f(x,y) adalah pdf bersama dari X dan Y. Jika ada untuk maka disebut mgf dari distribusi bersama X dan Y, yang dinotasikan dengan . Sama dengan mgf untuk 1 variabel random, menentukan dengan lengkap distribusi bersama dari X dan Y dan distribusi marginal dari X maupun Y. - mgf marginal dari X : - mgf marginal dari Y :

Dapat ditunjukkan bahwa:

Berdasarkan rumus-rumus di atas, juga dapat dihitung melalui mgf Berdasarkan rumus-rumus di atas, juga dapat dihitung melalui mgf. Contoh : Misalkan X dan Y mempunyai pdf bersama: Tentukan mgf dari X dan Y, kemudian hitunglah mean dari X, mean dari Y, variansi dari X, variansi dari Y serta koefisien korelasi antara X dan Y.