PERTEMUAN 17-18 PERSOALAN TRANSPORTASI OLEH Ir. Indrawani Sinoem, MS.

PERSOALAN TRANSPORTASI Metode transportasi adalah suatu metode dalam Riset Operasi yang digunakan utk me-ngatur distribusi dari sumber-sumber yg me-nyediakan produk yg sama, ke tempat-tempat yg membutuhkan secara optimal. Alokasi produk harus diatur sedemikian rupa, karena terdapat perbedaan biaya-biaya aloka-si dari sumber ke tempat tujuan yg berbeda. Disamping itu juga metode transportasi juga dapat digunakan utk memecahkan masalah dunia usaha (bisnis) lainnya seperti masalah

yg meliputi periklanan, pembelanjaan modal (capital financing) dan alokasi dana untuk in-vestasi, analisis lokasi, keseimbangan lini pe-rakitan dan perencanaan serta scheduling prp-duksi. Asumsi dasar model transportasi adalah biaya transportasi pada suatu rute tertentu proporsi-onal dengan banyaknya unit yg dikirim. Difinisi unit yg dikirim sangat tergantung pada jenis produk yg diangkut. Yang penting satu-an penawaran dan permintaan akan barang yg diangkut harus konsisten.

Contoh : Suatu produk yg dihasilkan pada 3 pabrik (sumber), yaitu Cerebon, Bandung, dan Cilacap harus didistribusikan ke 3 gudang (tujuan), yaitu Semarang, jakarta, dan Purwokerto. Setiap pabrik memiliki kapasitas produksi tertentu dan setiap gudang memiliki jumlah permintaan tertentu terhadap produk tersebut. Dengan diketahui biaya transportasi per unit dari masing-masing gudang. Biaya transportasi minimum dari kegiatan pendistribusian produk tersebut dari ketiga pabrik ke tiga gudang dpt dihitung :

Sumber Tujuan (Pabrik) (Gudang) Cerebon   Semarang Bandung   Jakarta Cilacap   Purwokerto

(1). MASALAH TRANSPORTASI SEIMBANG CONTOH : Sebuah Perusahaan Negara berkepentingan me- ngangkut pupuk dari 3 pabrik ke 3 pasar. Kapasitas suplly ke tiga pabrik, permintaan ke tiga pasar dan biaya transportasi per unit adalah sbb : ------------------------------------------------------------------------- Pabrik Pasar Penawaran 1 2 3 1 8 5 6 120 2 15 10 12 80 3 3 9 10 80 Permintaan 150 70 60 280

Sumber Tujuan (Pabrik) (Pasar) S1=120   D1=150 S2= 80   D2= 70 S3= 80   D3= 60

Rumusan PL : (1). Fungsi Tujuan : Minimumkan : Z =8X11+5X12+6X13+15X21 +10X22+ 12X23+3X31+ 9X32+10X33 (2). Fungsi kendala : 2.1. Pabrik (Supply) : - Pabrik-1 : X11+X12+X13=120 - Pabrik-2 : X21+X22+X23= 80 - Pabrik-3 : X31+X32+X33= 80 2.2. Pasar (demand) : - Pasar-1 : X11+X21+X31= 150 - Pasar-2 : X12+X22+X32= 70 - Pasar-3 : X13+X23+X33 = 60

Tabel Transportasi : -------------------------------------------------------------------- Pabrik Pasar Penawaran 1 2 3 8 5 6 1 120 15 10 12 2 80 3 9 10 3 80 Permintaan 150 70 60 280 ---------------------------------------------------------------------

Ada 3 metode penyelesaian masalah transpor-tasi sebagai solusi dasar awal : (1). Metode Pojok Barat laut (North-West- Corner Method). (2). Metode Biaya Terendah (Least-Cost- Method). (3). Metode Aproksimasi Vogel (VAM). (1). METODE POJOK BARAT LAUT Langkah-langkah penyelesaian : 1. Mulai dari pojok barat laut Tabel dan alokasikan sebanyak mungkin pada X11 tanpa menyimpang dari kendala pena- waran atau permintaan (artinya X11

ditetapkan sama dengan yang terkecil di antara S1 dan D1). 2. Ini akan menghabiskan penawaran sumber 1 dan atau permintaan pada tujuan 1. Akibatnya tak ada lagi brg yg dpt dialokasi- kan ke kolom atau baris yg telah dihabiskan dan kemudian baris atau kolom itu dihilang kan. Jika baik kolom maupun baris telah dihabiskan, pindahkanlah secara diagonal ke kotak berikutnya. 3. Lanjutkan dengan cara yg sama sampai semua penawaran telah dihabiskan dan ke- perluan permintaan telah dipenuhi.

Contoh Penyelesaian : --------------------------------------------------------------------- Pabrik Pasar Penawaran 1 2 3 -------------------------------------------------------------------- 8 5 6 1 - - 120 15 10 12 2 80 3 9 10 3 80 Permintaan 150 70 60 280 120 30 50 20 60

(1). Mulai dari pojok barat laut, yaitu sel x11. Bandingkan x11= min (a1,b1) : (a). Bila a1 > b1, maka x11= b1, teruskan ke sel x12. X12= min (a1 - b1, b2). (b). Bila a1 < b1, maka x11= a1, teruskan ke sel x21. X21= min (b1 - a1, a2). (c). Bila a1 = b1, maka buatlah x11= b1, dan teruskan ke x22 (gerakan miring). (2). Teruskan langkah ini, setapak demi setapak, menjauhi pojok barat laut hingga akhirnya harga telah mencapai pojok tenggara.

Penyelasaian Tabel Trasportasi di atas : (1). Mulai pojok barat laut : x11=a1<b1 , yaitu : x11=120>150 maka x11=min(120,150)=120. Teruskan ke sel x21 . (2). x21 =(150-120) < 80 maka x21 =min(30,80) = 30. Teruskan ke sel x22 . (3). x22 =(80-30) < 70 maka x22 =min(50,80)= 50. Teruskan ke sel x32 . (4). x32 =(70-50) < 80 maka x32 =min(20,80)= 20. Teruskan ke sel x33 . (5). x33 = (80-60) = 60 maka x33 = 60 Total Biaya Transportasi minimum = 120(8)+ 30(15)+50(10)+20(9)+60(10) = 2690

(2). METODE BIAYA TERENDAH (LEAST- COST METHOD) Metode Biaya terendah berusaha mencapai tujuan meminimumkan biaya transportasi dengan alokasi sistematik kepada kotak- kotak sesuai dengan besarnya biaya trans- portasi per unit. Langkah-langkahnya : 1. Pilih variabel xij dengan biaya trasnporta- si per unit yang paling rendah. 2. Xij=min (ai,bj). Ini akan menutup jalur baris I atau kolom j. 3. Ulangi dengan cara yg sama.

Contoh : --------------------------------------------------------------------- Pabrik Pasar Penawaran 1 2 3 -------------------------------------------------------------------- 8 5 6 1 120 15 10 12 2 80 3 9 10 3 80 Permintaan 150 70 60 280 70 50 70 10 80

Jadi, total biaya transportasi terendah = 70(5)+50(6)+70(15)+10(12)+80(3) = 2.060. (3). METODE APROKSIMASI VOGEL (VAM) VAM melakukan alokasi dalam suatu cara yang akan meminimumkan penalty (oppor- tunity cost) dalam memilih kotak salah satu kotak. Langkah-langkahnya sbb : 1. Hitung opportunity cost untuk setiap baris dan kolom. Opportunity cost yang terpilih adalah dengan mengurangi dua biaya transportasi per unit yang terkecil.

2. Pilih baris atau kolom dengan opportunity cost terbesar (jika terdapat nilai kembar pilih secara sembarang). Xij = min(ai,bj). 3. Ulangi lagi pemilihan opportunity cost dari selisih dua biaya transportasi per unit. 4. Pilih baris atau kolom dengan opportunity

Contoh : ------------------------------------------------------------------------ Pabrik Pasar Penawaran Opp 1 2 3 Cost 8 5 6 1 120 1 15 10 12 2 2 80 3 9 10 6 3 80 Permintaan 150 70 60 280 ------------------------------------------------------------------------- Opp.Cost 5 4 4

Pabrik Pasar Penawaran Opp 1 2 3 Cost 8 5 6 1 120 1 15 10 12 2 ------------------------------------------------------------------------- Pabrik Pasar Penawaran Opp 1 2 3 Cost 8 5 6 1 120 1 15 10 12 2 2 80 3 9 10 - 3 80 ------------------------------------------------------------------------ Permintaan 150 70 60 280 Opp.Cost 7 5 4 ------------------------------------------------------------------------- l 80

Pabrik Pasar Penawaran Opp 1 2 3 Cost 8 5 6 1 120 1 15 10 12 2 ------------------------------------------------------------------------- Pabrik Pasar Penawaran Opp 1 2 3 Cost 8 5 6 1 120 1 15 10 12 2 2 80 3 9 10 - 3 80 ------------------------------------------------------------------------ Permintaan 150 70 60 280 Opp.Cost - 5 4 70 80

Pabrik Pasar Penawaran Opp 1 2 3 Cost 8 5 6 1 120 1 15 10 12 3 ------------------------------------------------------------------------- Pabrik Pasar Penawaran Opp 1 2 3 Cost 8 5 6 1 120 1 15 10 12 3 2 80 3 9 10 - 3 80 ------------------------------------------------------------------------ Permintaan 150 70 60 280 Opp.Cost - - 4 70 70 80

Pabrik Pasar Penawaran Opp 1 2 3 Cost 8 5 6 1 120 6 15 10 12 - ------------------------------------------------------------------------- Pabrik Pasar Penawaran Opp 1 2 3 Cost 8 5 6 1 120 6 15 10 12 - 2 80 3 9 10 - 3 80 ------------------------------------------------------------------------ Permintaan 150 70 60 280 Opp.Cost - - 6 70 50 70 10 80

Total Biaya Transportasi minimum = 70(8)+50(6)+70(10)+10(12)+80(3)=1920 SOLUSI OPTIMUM Setelah solusi layak dasar diperoleh, kemudian dilakukan perbaikan untuk mencapai solusi opti- mum. Dua metode mencari solusi optimum ada- lah Metode Batu Loncat (Stepping-Stone) dan Metode Modi (Modified Distribution). (1). Metode Batu Loncat (Stepping-Stone) Setelah solusi layak dasar awal diperoleh dari masalah transportasi, langkah berikutnya adalah menekan ke bawah biaya transportasi dengan

memasukkan variabel non basis (alokasi barang ke kotak kosong) ke dalam solusi. Proses eva- luasi variabel non basis yang memungkinkan terjadinya perbaikan solusi dan kemudian meng- alokasikan kembali. Dengan menggunakan solusi awal yg diperoleh melalui Metode Pojok Barat Laut yang belum optimum akan dievaluasi masing-masing varia- bel non basis melalui Metode Stepping-Stone. Variabel non basis (kotak kosong) adalah X12, X13, X23, X31.

--------------------------------------------------------------------- Pabrik Pasar Penawaran 1 2 3 -------------------------------------------------------------------- 8 5 6 1 X12 X13 120 15 10 12 2 X23 80 3 9 10 3 X31 80 Permintaan 150 70 60 280 120 30 50 20 60

Beberapa hal penting dalam penyusunan jalur batu loncat (stepping-stone) : (1). Arah yg diambil, baik searah maupun ber- lawanan arah dengan jarum jam adalah tdk penting dlm membuat jalur tertutup. (2). Hanya ada satu jalur tertutup untuk setiap kotak kosong. (3). Jalur harus hanya mengikuti kotak terisi, kecuali pada kotak kosong yg sedang di evaluasi. (4). Kotak kosong maupun kotak isi dapat dile- wati dlm penyusunan jalur tertutup.

(5). Suatu jalur dapat melintasi dirinya. (6). Sebuah penambahan dan sebuah pengurang an yg sama besar hrs kelihatan pada setiap baris dan kolom pada jalur itu. ------------------------------------------------------------------------ Kotak Kosong Jalur Tertutup X12 X12 X22 X21 X11 X12 X13 X13 X33 X32 X22 X21 X11 X13 X23 X23 X33 X32 X22 X23 X31 X31 X21 X22 X32 X31

Dari analisis biaya semua var non basis, hanya ------------------------------------------------------------------------- Cij Jalur Penambahan dan Pengurangan Biaya Perubahan Biaya X12 5-10+15-8 2 X13 6-10+9-10+15-8 2 X23 12-10+9-10 1 X31 3-15+10-9 -11 Dari analisis biaya semua var non basis, hanya X31 yg memiliki perubahan biaya negatif (C31= -11), sehingga X31 adalah satu-satunya variabel non basis dimasukkan ke solusi yg akan menu- runkan biaya.

--------------------------------------------------------------------- Pabrik Pasar Penawaran 1 2 3 -------------------------------------------------------------------- 8 5 6 1 X12 X13 120 15 10 12 2 X23 80 - + 3 9 10 3 + X31 - 80 Permintaan 150 70 60 280 120 30 50 20 60

--------------------------------------------------------------------- Pabrik Pasar Penawaran 1 2 3 -------------------------------------------------------------------- 8 5 6 1 X12 X13 120 15 10 12 2 X23 80 3 9 10 3 80 Permintaan 150 70 60 280 120 10 70 20 60

------------------------------------------------------------------------ Kotak Kosong Jalur Tertutup X23 X23 X33 X31 X21 X23 ------------------------------------------------------------------------- Cij Jalur Penambahan dan Pengurangan Biaya Perubahan Biaya X23 12-10+3-15 -10

--------------------------------------------------------------------- Pabrik Pasar Penawaran 1 2 3 -------------------------------------------------------------------- 8 5 6 1 X12 X13 120 15 10 12 2 80 3 9 10 3 80 Permintaan 150 70 60 280 120 70 10 30 50

--------------------------------------------------------------------- Pabrik Pasar Penawaran 1 2 3 -------------------------------------------------------------------- 8 5 6 1 120 15 10 12 2 80 3 9 10 3 80 Permintaan 150 70 60 280 70 50 70 10 80

Jadi Total Biaya Transportasi minimum yg telah diperbaiki dengan Metode Batu Loncat (Stepping Stone) adalah = 70(8)+50(6)+70(10)+10(12)+ 80(3) = 560+300+700+120+240 = 1920.-

METODE MODIFIED DISTRIBUTION (MODI) Metode Modi merupakan perkembangan dari metode stepping stone, krn penentuan segi empat kosong yg bisa menghemat biaya dilakukan dgn prosedur yg lebih pasti dan tepat serta metode ini dapat mencapai hasil optimal lebih cepat. Cara memilihnya diguna-kan persamaan : dimana : Ri = nilai baris i Kj = nilai kolom j Langkah-langkah penyelesaian : (1). Tentukan tabel solusi awal dasar Pojok Barat Laut (North-West-Corner).

--------------------------------------------------------------------------------- Pabrik P a s a r Supply 1 2 3 1 120 2 80 3 Demand 150 70 60 280 8 5 6 120 15 10 12 30 50 3 9 10 20 60

(2). Menentukan Nilai Baris dan Kolom : 2.2. K1=C11-R1=8-0=8 2.3. R2=C21-K1=15-8=7 2.4. K2=C22-R2=10-7=3 2.5. R3=C32-K2= 9-3=6 2.6. K3=C33-K3= 10-6=4 (3). Menghitung Indeks Perbaikan : 3.1. Kotak X12 C12-R1-K2=5-0-3=2 3.2. Kotak X13 C13-R1-K3=6-0-4=2 3.3. Kotak X23 C23-R2-K3=12-7-4=1 3.4. Kotak X31 C31-R3-K1=3-6-8=-11

--------------------------------------------------------------------------------- Pabrik P a s a r Supply 1 2 3 1 120 2 _ + 80 3 + _ 80 Demand 150 70 60 280 8 5 6 120 15 10 12 30 50 3 9 10 20 60

--------------------------------------------------------------------------------- Pabrik P a s a r Supply 1 2 3 1 120 2 80 3 Demand 150 70 60 280 8 5 6 120 15 10 12 10 70 3 9 10 20 60

(4). Menentukan kembali nilai baris dan kolom : 4.2. R1+K1=C11; K1=8-0=8 4.3. R2+K1=C21; R2=15-8=7 4.4. R2+K2=C22; K2=10-7=3 4.5. R3+K1=C31; R3=3-8=-5 4.6. R3+K3=C33; K3=10+5=15 (5). Menghitung Indeks Perbaikan : X12: C12-R1-K2=5-0-3 = 2 X13: C13-R1-K3=6-0-15=-9 X23: C23-R2-K3=12-7-15=-10 X32: C32-R3-K2=9+5-3 = 11

--------------------------------------------------------------------------------- Pabrik P a s a r Supply 1 2 3 1 120 2 _ + 80 3 _ + 80 Demand 150 70 60 280 8 5 6 120 15 10 12 10 70 10 3 9 10 20 60 50 30

--------------------------------------------------------------------------------- Pabrik P a s a r Supply 1 2 3 1 _ + 120 2 80 3 + _ 80 Demand 150 70 60 280 8 5 6 120 70 50 15 10 12 70 10 3 9 10 30 50 80

(6). Hitung kembali nilai baris dan kolom 6.2. R1+K1=C11; K1=8-0=8 6.3. R1+K3=C13; K3=6-0=6 6.4. R3+K1=C31; R3=3-8=-5 6.5. R2+K3=C23; R2=12-6=6 6.6. R2+K2=C22; K1=10-6=4 (7). Periksa Indeks perbaikan : X12: C11-R1-K1=5-0-4=1 X21: C21-R2-K1=15-6-8=1 X32: C32-R3-K2=9+5-4=10 X33: C33-R3-K3=10+5-6=9

Hasil indeks perbaikan terlihat tidak ada lagi yg bernilai negatif, sehingga solusi optimum telah tercapai. Total Biaya Transportasi Minimum yang dicapai adalah : 70(8)+50(6)+70(10)+10 (12)+80(3)=560+300+700+120+240= 1920