BILANGAN REAL By Gisoesilo Abudi, S.Pd

A. OPERASI BILANGAN REAL B. BILANGAN BERPANGKAT C. BENTUK AKAR D. LOGARITMA U J I A N A K H I R B A B

Sistem Bilangan Real Bilangan atau angka adalah alat bantu untuk menghitung pada kehidupan sehari-hari. Oleh karena itu pengetahuan tentang bilangan harus diketahui oleh setiap orang.

Macam-macam Bilangan Bilangan kompleks Bilangan imajiner Bilangan real Bilangan rasional Bilangan irasional Bilangan bulat Bilangan prima

Operasi Pada Bilangan Real Operasi + dan – pada Bilangan Real sifat-sifat operasi penjumlahan : Komutatif : a + b = b + a Asosiatif : (a + b) + c = a + (b + c) Elemen identitas : a + 0 = 0 + a = a Invers : invers dari a adalah -a

Untuk operasi + dan – pada bil. Pecahan 𝒂 𝒄 ± 𝒃 𝒄 = 𝒂 ± 𝒃 𝒄 𝒂 𝒃 ± 𝒄 𝒅 = 𝒂𝒅 ± 𝒃𝒄 𝒃𝒅 Atau dengan cara menyamakan penyebut dari pecahan-pecahan tersebut terlebih dahulu, yakni dengan mencari Kelipatan Pesekutuan Terkecil (KPK) dari penyebut-penyebut tersebut.

Operasi Pada Bilangan Real Operasi x dan : pada Bilangan Real sifat-sifat operasi perkalian : Komutatif : a . b = b . a Asosiatif : (a . b) . c = a . (b . c) Elemen identitas : a . 1 = 1 . a = a Invers : invers dari a . 𝟏 𝒂 = 1, dengan 𝟏 𝒂 disebut inver perkalian dari a

Pada Operasi x dan : pada Bilangan Real Berlaku : a . (-b) = - (ab) a : (-b) = - 𝒂 𝒃 (-a) . b = - (ab) (-a) : b = - 𝒂 𝒃 (-a) . (-b) = ab (-a) : (-b) = 𝒂 𝒃

Contoh Hitunglah 𝟒 𝟐 𝟓 + 𝟐 𝟏 𝟑 ! Ubahlah bilangan desimal berulang 2,020202… kedalam bentuk 𝐚 𝐛 Hitunglah :a). -3 . ( 𝟐 𝟓 - 𝟏 𝟑 ) b). 𝟐 𝟓 : 𝟏 𝟑 Untuk membuat benda kerja diperlukan 𝟑 𝟓 bagian dari sebatang besi yang panjangnya 4 meter. Jika dibuat sebanyak 50 unit benda kerja, berapa panjang besi yang digunakan seluruhnya ?

Konversi Bilangan Konversi Pecahan ke Persen dan sebaliknya Pecahan 𝐚 𝐛 dapat dikonversikan menjadi persen dengan cara mengalikan 𝐚 𝐛 dengan 100%. Sebaliknya, bilangan persen p% dikonversikan menjadi pecahan dengan cara mengubahnya menjadi pecahan biasa 𝐩 𝟏𝟎𝟎 kemudian disederhanakan.

Contoh Konversikan pecahan berikut kedalam persen : a). 𝟏 𝟖 b). 𝟓 𝟒 Konversikan bentuk persen berikut ke pecahan : a). 2,5% b). 6%

Aktivitas kelas Hitunglah 7 + 12 – 20 𝟐 𝟑 𝟓 −𝟏 𝟐 𝟑 − −𝟑 40 : 5 . (-2) 𝟐 𝟑 𝟓 −𝟏 𝟐 𝟑 − −𝟑 40 : 5 . (-2) 24 . (-2) : 3 − 𝟏 𝟐 . 42 : (-3) 3 𝟓 𝟕 + 𝟐 𝟓 − 𝟏 𝟐 . (−𝟖)

Aktivitas kelas Konversikan bilangan pecahan berikut kepersen atau sebaliknya : 50% 𝟐 𝟓 12,5%

Aktivitas kelas Konversikan bilangan pecahan berikut ke desimal atau sebaliknya : 𝟑 𝟏𝟎 𝟕 𝟑 0,482 0,0135

Latihan Coba Anda kerjakan latihan halaman 9 – 10 no 1-10 Buku Matematika SMK Erlangga Kelompok Teknologi.

Perbandingan Kita dapat membuat perbandingan dari dua besaran yang sejenis, misalnya : tinggi badan, panjang dan lebar. Hasil bagi kedua besaran dapat ditulis dalam bentuk 𝒂 𝒃 atau a : b, dengan a dan b merupakan bilangan asli.

1. Perbandingan Senilai Suatu perbandingan dikatakan senilai jika dua perbandingan nilainya sama. 𝒂 𝒃 = 𝒄 𝒅 atau a . d = c. b. Misal Panjang kabel (m) Harga per meter (Rp) 1 2 3 3.000 6.000 9.000

Dengan mengamati tabel di atas dapat kita simpulkan : “Perbandingan panjang kabel pada baris ke-1 dan baris ke-2 = 1 : 2” “Perbandingan harga kabel per meter pada baris ke-1 dan baris ke-2 = 1 : 2 Jika kita perhatikan perbandingan panjang kabel dan harganya pada baris yang bersesuaian adalah sama.

Contoh 1 Dalam suatu perjalanan sejauh 40 km, sebuah mobil memerlukan bahan bakar sebanyak 8 liter bensin. Jika mobil itu menempuh perjalanan sejauh 120 km, berapa banyak bahan bakar yang diperlukan ?

Penyelesaian Cara I Perhitungan berdasarkan satuan Bahan bakar untuk jarak tempuh 40 km = 8 liter. Bahan bakar untuk jarak tempuh 1 km = 𝟖 𝟒𝟎 𝐥𝐢𝐭𝐞𝐫= 𝟏 𝟓 𝐥𝐢𝐭𝐞𝐫. Jadi, bahan bakar untuk jarak tempuh 120 km = 120. 𝟏 𝟓 𝐥𝐢𝐭𝐞𝐫=𝟐𝟒 𝐥𝐢𝐭𝐞𝐫.

Banyak bahan bakar (liter) Penyelesaian Cara II Perhitungan berdasarkan perbandingan. Diperoleh perbandingan : 𝟖 𝐱 = 𝟒𝟎 𝟏𝟐𝟎 . 40. x = 8 . 120 40x = 960 x = 24 Jadi, bahan bakar yang diperlukan 𝟐𝟒 𝐥𝐢𝐭𝐞𝐫. Banyak bahan bakar (liter) Jarak tempuh (Km) 8 40 X 120

Contoh 2 Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan tetap 60 km/jam dari kota A ke kota B. jika jarak yang ditempuh mobil tersebut sejauh 300 km, maka waktu yang diperlukan untuk sampai di kota B adalah … jam

Penyelesaian Cara II Perhitungan berdasarkan perbandingan. Diperoleh perbandingan : 𝐭 𝟏 = 𝟑𝟎𝟎 𝟔𝟎 . 60. t = 1 . 300 60t = 300 t = 5 Jadi, waktu yang diperlukan 5 jam. Jarak tempuh (km) Waktu (jam) 60 1 300 t

Aktivitas kelas Harga 5 buah kapasitor dengan kapasitas tertentu adalah Rp30.000,00. berapa rupiahkah Ghafar harus membayar jika ia menginginkan 50 buah kapasitor ? Waktu yang diperlukan seorang teknisi untuk men-tune-up sebuah mobil adalah 4 jam. Jika dalam satu hari ia bekerja selama 9 jam, berapa mobil yang dapat diselesaikan selama satu bulan (asumsi teknisi itu beristirahat selama 1 jam setiap hari)?. Jika biaya tune-up adalah Rp 150.000,00, berapa pendapatan yang diperoleh selama 1 bulan ?

Aktivitas kelas Arus (I) yang mengalir pada suatu hambatan tetap adalah 2 ampere. Jika pada ujung-ujung hambatan tersebut diberi beda potensial 220 volt (V), berapakah arus yang mengalir jika beda potensialnya diturunkan menjadi 110 V ? Hubungan antara kuat arus, hambatan, beda potensial pada rangkaian tertutup dirumuskan V = I . R

2. Perbandingan Berbalik nilai Suatu perbandingan dikatakan perbandingan berbalik nilai jika dua perbandingan nilainya saling berbalikan. 𝒂 𝒃 = 𝒅 𝒄 atau a . c = b . d Misal Kecepatan (km/jam) Waktu tempuh (jam) 80 60 40 3 4 6

Dengan mengamati tabel di atas dapat kita simpulkan : “Perbandingan kecepatan pada baris ke-1 : baris ke-2 = 80 : 60 = 1 : 2” “Perbandingan kecepatan pada baris ke-2 : baris ke-3 = 60 : 40 = 1 : 2 Jika kita perhatikan perbandingan kecepatan dan waktu tempuh pada pada baris yang bersesuaian adalah terbalik.

Contoh 1 Kereta Api “Cirebon Express” jurusan Jakarta-Cirebon dalam keadaan normal menempuh perjalanan selama 3,5 jam dari Jakarta ke Cirebon dengan kecepatan rata-rata 80 km/jam. Karena suatu hal, pada suatu perjalanan kereta berangkat dari Jakarta pukul 10.00 tetapi tiba di tempat tujuan pukul 15.00. berapakah kecepatan rata-rata perjalanan kereta tersebut ?

Penyelesaian Lama perjalanan dari pukul 10.00 sampai pukul 15.00 adalah 5 jam. Diperoleh : 𝟑,𝟓 𝟓 = 𝐱 𝟖𝟎 3,5 . 80 = x . 5 280 = 5x x = 𝟐𝟖𝟎 𝟓 =𝟓𝟔 𝐤𝐦/𝐣𝐚𝐦 Waktu Jarak tempuh (Km) 3,5 80 5 x

Contoh 2 Seorang petani mempunyai persediaan makanan untuk 80 ekor ternaknya selama satu bulan. Jika petani tersebut menambah 20 ekor ternak lagi, berapa hari persediaan makanan itu akan habis ?

Penyelesaian Dengan perbandingan, diperoleh : 30. 80 = x . 100 100x = 2400 x = 𝟐𝟒𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎 =𝟐𝟒 𝐡𝐚𝐫𝐢 Banyak ternak Hari 80 30 (80 + 20) = 100 x

Aktivitas kelas Erni melakukan perjalanan Jakarta – Bogor mengendarai sepeda motor selama 2 jam dengan kecepatan rata-rata 60 km/jam. Jika kecepatan rata-ratanya menjadi 80 km/jam, berapa lamakah ia sampai di Bogor ? Dua kantong berisi coklat dengan jumlah yang sama akan dibagi-bagikan dalam pesta ualng tahun Rita. Kantong pertama dibagikan pada 25 anak dan tiap anak memperoleh jumlah yang sama, yaitu 6 coklat. Jika kantong kedua dibagikan pada 30 anak, berapakah banyak coklat yang diperoleh masing-masing anak ?

Latihan Coba Anda kerjakan latihan halaman 14 no 1-10 Buku Matematika SMK Erlangga Kelompok Teknologi.

S k a l a Jika kita membaca suatu peta, maka disana akan tertulis skala peta. Misalnya 1 : 2.000.000, artinya jarak 1 cm pada peta tersebut sama dengan 2.000.000 cm pada jarak sebenarnya.

Contoh 1 Jarak dua kota pada peta 12,5 cm. Jika skala peta tersebut 1:500.000, berapakah jarak kedua kota itu sesungguhnya ?.

Penyelesaian Diperoleh perbandingan senilai : 𝟏 𝟏𝟐,𝟓 = 𝟓𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎 𝒙 Jarak pada peta (cm) Jarak sebenarnya (cm) 1 500.000 12,5 x Diperoleh perbandingan senilai : 𝟏 𝟏𝟐,𝟓 = 𝟓𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎 𝒙 1 . X = 12,5 . 500.000 x = 6.250.000 cm x = 62,5 km Jadi, jarak kedua kota tersebut adalah 62,5 km

Contoh 2 Jarak Jakarta-Yogyakarta 600 km. jika di dalam peta jarak keduanya adalah 15 cm, tentukanlah skalanya !

Penyelesaian Skala = 15 cm : 600 km = 15 cm : 60.000.000 cm = 1 : 4.000.000 Jadi, skala peta tersebut adalah 1 : 4.000.000

Aktivitas kelas Jarak kota A dan kota B pada peta adalah 5 cm. Jika jarak sebenarnya dari kedua kota itu adalah 350 km, berapakah skala yang digunakan ? Skala pada peta 1:2.500.000. Apabila jarak dari Surabaya ke Semarang 150 km, tentukan jarak pada peta.

Latihan Coba Anda kerjakan latihan halaman 16 no 1-10 Buku Matematika SMK Erlangga Kelompok Teknologi.

Contoh 1 Aplikasi Bil. Real Seorang pria mewariskan harta sebesar Rp120.000.000 kepada emapat anaknya. Ketiga anaknya yang pertama masing-masing mendapatkan 𝟏 𝟑 , 𝟏 𝟒 , 𝐝𝐚𝐧 𝟏 𝟓 dari seluruh harta warisan. Sedangkan sisanya diberikan kepada anak keempat. Berapakah warisan yang diperoleh masing-masing anak ?

Penyelesaian Warisan yang diterima anak I 𝟏 𝟑 . Rp120.000.000 = Rp40.000.000 Warisan yang diterima anak II 𝟏 𝟒 . Rp120.000.000 = Rp30.000.000 Warisan yang diterima anak III 𝟏 𝟓 . Rp120.000.000 = Rp24.000.000

Penyelesaian Warisan yang diterima anak IV = (1- 𝟏 𝟑 - 𝟏 𝟒 - 𝟏 𝟓 ) . Rp120.000.000 = ( 𝟔𝟎 𝟔𝟎 − 𝟐𝟎 𝟔𝟎 − 𝟏𝟓 𝟔𝟎 − 𝟏𝟐 𝟔𝟎 ).Rp120.000.000 = 𝟏𝟑 𝟔𝟎 . Rp120.000.000 = Rp26.000.000

Contoh 2 Aplikasi Bil. Real Neni akan menjual beras sebanyak 75 karung dengan berat tiap-tiap karung 60 kg. Melalui seorang komisioner bernama Husni, mereka menyepakati ketentuan sebagai berikut : tara 1%, rafaksi 5%, dan komisi 10%. Jika harga beras Rp4.000,00 tiap kg, tentukan : Komisi yang diterima Husni Hasil penjualan yang diterima Neni

Penyelesaian a. bruto = 75 . 60kg = 4.500 kg tara = 1% . 4.500kg = 45 kg netto = bruto – tara = 4.500 – 45 = 4.455 kg Rafaksi = 5% . 4.455 kg = 222,75 kg Berat bersih setelah rafaksi = netto – rafaksi = 4.455 – 222,75 = 4.232,25 kg

Penyelesaian hasil penjualan sebelum komisi = 4.232,25 . Rp4.000,00 Komisi yang diperoleh Husni = 10% .Rp16.929.000,00 = Rp1.692.900,00

Penyelesaian b. Hasil penjualan yang diterima Neni = Rp16.929.000,00 – Rp1.692.900,00 = Rp15.236.100,00

Contoh 3 Aplikasi Bil. Real Untuk membuat speaker aktif diperlukan modal sebesar Rp200.000,00. Jika speaker aktif tersebut dijual dengan harga Rp260.000,00, berapakah keuntungan dan persentase keuntungan dari hasil penjualan tersebut ?

Penyelesaian keuntungan = Rp260.000,00 – Rp200.000,00 = Rp60.000,00 = 𝟔𝟎.𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎 . 100% = 30%

Contoh 4 Aplikasi Bil. Real Paramita mendapatkan untung 6% dari harga pembelian sebuah mobil. Jika besarnya keuntungan tersebut Rp7.500.000,00, berapakah harga penjualan mobil tersebut ?

Penyelesaian Keuntungan 6% = Rp7.500.000,00 Harga pembelian Harga penjualan = Rp125.000.000,00 + Rp7.500.000,00 = Rp132.500.000,00

Latihan Coba Anda kerjakan latihan halaman 18 - 19 no 1-15 Buku Matematika SMK Erlangga Kelompok Teknologi.

Materi ini bisa Anda download di soesilongeblog.wordpress.com Thank You ! Materi ini bisa Anda download di soesilongeblog.wordpress.com