TRANSFORMASI LAPLACE TEAM DOSEN EE2423 SINYAL & SISTEM TRANSFORMASI LAPLACE TEAM DOSEN Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom Pada analisis transien, rangkaian selalu dihadapkan dengan bilangan kompleks  + j. Sedangkan Transformasi Fourier Waktu Kontinyu (TFWK) hanya bekerja dalam daerah  (kondisi steady sate). Transformasi Laplace, seperti halnya (TFWK) yang mentransformasikan sinyal di kawasan waktu ke kawasan frekuensi (dalam frekuensi kompleks). Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Transformasi laplace Bilateral (TLB) TLB diturunkan dari TFWK : ~ X(Ω) = ∫ x(t) e-jΩt dt -~ X(t) = (1/2π) ∫ X(Ω) ejΩt dΩ Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom Definisikan suatu fungsi y(t) = e-t x(t),dengan e-t adalah faktor konvergensi. Maka TFWK dari y(t) :   Y(Ω) = ∫ e-t x(t) e-jΩt dt = ∫ x(t) e-(+jΩ)t dt - - = X(+jΩ)  Jadi X(+jΩ)= ∫ x(t) e-(+jΩ)t dt - Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom  x(t) = (1/2Π) ∫ X(+jΩ) e-(+jΩ)t dΩ - Definisikan variabel frekuensi kompleks : s = +jΩ sehingga ds = jdΩ dan dΩ = ds/j. Maka : X(s) = ∫ x(t) e-st dt X(t) =(1/2Πj) ∫ X(s) est ds  Disebut Pasangan TLB Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom Notasi : X(s) = ₤ [x(t)] x(t) = ₤-1[X(s)] Konvergensi TLB : terintegrasi secara mutlak .  0  ∫ │x(t) e-t │dt = ∫ │x(t)│ e-t dt + ∫│x(t)│ e-t dt   - - 0 Transformasi Laplace 2 sisi ada , bila :  X(s) = ∫ x(t) e-st dt terbatas - Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom Maka X(s) dijamin ada bila :   ∫ │x(t) e-t │dt = ∫ │x(t)│ e-t dt terbatas - - Sebagai contoh : x(t) = A. et , untuk t  0 = A. et, untuk t  0 , dimana A, ,  adalah bilangan riil. Maka : konvergen untuk      Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom Contoh soal : Carilah Transformasi Laplace dari x(t) = 3. e-2t u(t) + 4 et u(-t) 0  X(s) = ∫ 4. e-(s-1) t dt + ∫3.e-(s+2) t dt - 0 Konvergen Konvergen Untuk   -2 Untuk   1 Maka : X(s) = 3/(s+2) – 4/(s-1) konvergen untuk -2    1 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

TRANSFORMASI LAPLACE SATU SISI [TLSS] Definisi : diberikan suatu sinyal x(t) kausal, maka :  X(s) = ∫ x(t) e-st dt +jΩ x(t) =(1/2Πj) ∫ X(s) est ds -jΩ Konvergensi TLSS jika :lim e-t x(t) = 0 s→  Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

TRANSFORMASI LAPLACE BEBERAPA SINYAL a). Sinyal impuls δ(t)  ₤[δ(t)] = ∫ δ(t) e-st dt Ingat : δ(t) = 1 , t = 0 = 0 , t lainnya Begitu pula e-st δ(t) = 1 , t = 0 Sehingga : ₤[δ(t)] = ∫ δ(t) e-st dt Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom b). Sinyal langkah satuan u(t)  ₤[u(t)] = ∫ u(t) e-st dt Ingat : u(t) = 1 , t ≥ 0 = 0 , t  0 Sehingga :   ₤[u(t)] = ∫ u(t) e-st dt = -(1/s) e-st │ = -(1/s) [e- - e0] 0 0 ₤[u(t)] = 1/s Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom c). Sinyal Ramp [t.u(t)]  ₤[t.u(t)] = ∫ t. u(t) e-st dt Untuk t ≥ 0 maka t. u(t) = t Sehingga : ₤[t.u(t)] = ∫ t e-st dt Ingat :  ∫ xn.e-st dx = (n!)/(an+1) Untuk a  0 dan n  0 ₤[t.u(t)] = 1 !/(s1+1) = 1/s2 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom Dengan cara yang sama :   ₤[tn.u(t)] = ∫ tn. u(t) e-st dt = ∫ tn. e-st dt 0 0 ₤[tn.u(t)] = n !/(sn+1) ₤[tn-1.u(t)/(n-1)!] = 1/sn Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom d) Sinyal Eksponensial Bila f(t) = u(t) → F(s) = 1/s Maka ₤[e-at.u(t)] = F(s+a) Jadi : ₤[e-at.u(t)] = 1/(s+a) Begitu pula untuk sinyal berikut ini : ₤[(1- e-at) u(t)] = ₤[u(t)] - ₤[e-at) u(t) = 1/s - 1/(s+a) ₤[(1- e-at) u(t)] = a/[s(s+a)] Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom Dengan cara yang sama : ₤[(t. e-at) u(t)] = 1/(s+a)2 Dan ₤[(tn-1. e-at) u(t)/(n-1)!] = 1/(s+a)n Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom e). Sinyal sinusoidal dan cosinusoidal ₤[sin Ωt u(t)] = ₤[u(t).(ejΩt – e-jΩt)/2j] = (1/2j) {₤[ejΩt u(t)] – ₤ [e-jΩt u(t)]} = (1/2j) [1/(s-jΩ) - 1/(s+jΩ)] ₤[sin Ωt u(t)] = Ω/(s2 + Ω2) Dengan cara yang sama : ₤[cos Ωt u(t)] = s/(s2 + Ω2) ₤[ e-at sin Ωt u(t)] = Ω/[(s+a)2 + Ω2] ₤[ e-at cos Ωt u(t)] = (s+a)/[(s+a)2 + Ω2] Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE Jika ₤[x(t)] = X(s) ₤[x1(t)] = X1(s) ₤[x2(t)] = X2(s) maka : a). Linearitas ₤[a1 x2(t) + a2 x2(t)] = a1 X1(s) + a2 X2(s) Contoh : ₤[cos Ωt] = ₤ [0,5 ejΩt + 0,5 e-jΩt] = 0,5 ₤ [ejΩt] + 0,5 ₤ [e-jΩt] = 0,5[1/(s-jΩ)] + 0,5[1/(s+jΩ)] = s/(s2 + Ω2) ₤[sin Ωt] = ₤ [0,5 ejΩt - 0,5 e-jΩt] = 0,5 ₤ [ejΩt] - 0,5 ₤ [e-jΩt] = (0,5/j)[1/(s-jΩ)] + (0,5/j)[1/(s+jΩ)] = Ω /(s2 + Ω2) Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom b). Pergeseran waktu Jika ₤[x(t) u(t)] = X(s) maka ₤[x(t-τ) u(t-τ)] = e -sτ X(s) , τ  (Buktikan) Sehingga dapat ditabelkan sebagai berikut : x(t)  X(s) δ(t-τ)  e-sτ u(t-τ)  e-sτ (1/s) (t-τ) u(t-τ)  e-sτ (1/s2) (t-τ)n u(t-τ)  e-sτ (n!/sn+1) e-a(t-τ) u(t-τ)  e-sτ [1/(s+a)] Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom Pasangan sinyal dalam kawasan waktu dan sinyal dalam kawasan frekuensi pada tabel di atas merupakan pasangan transformasi Laplace. Sehingga bila diketahui dalam sinyal dalam kawasan frekuensi maka dapat dicari sinyal dalam kawasan waktu, walaupun belum dibahas Invers Transformasi Laplace. Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom Contoh Soal Tentukan transformasi Laplace dari fungsi sebagai berikut : v(t) volt 90 0 10 30 t(μs) v(t) = 4,5 (t-10) u(t-10) – 4,5 (t-30) u(t-30) – 90 u(t-30) V(s) = 4,5 {₤[(t-10) u(t-10)] - ₤[(t-30) u(t-30)] – 20 ₤[u(t-30)]} = 4,5 {e-10s ₤(t.u(t)) - e-30s ₤(t.u(t)) – 20 e-30s ₤(u(t))} = 4,5 [(e-10s/s2) – (e-30s/s2) – (20 e-30s/s)] Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom Latihan Dengan teorema pergeseran frekuensi, carilah Invers Transformasi Laplace dari : (s+10)/(s2+8s+20) (s+3)/(s2+4s+5) s/(s2+6s+18) 10/(s2+10s+34) Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom c). Pergeseran Frekuensi Bila y(t) = x(t) e-t maka ₤[y(t)] = Y(s) = X(s+) dimana X(s) = ₤[x(t)] Begitu pula : ₤[ e-t cos Ωt u(t)] = (s+)/[(s+)2 + Ω2] Juga : ₤[ e-t sin Ωt u(t)] = Ω/[(s+)2 + Ω2] Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom Contoh soal X(s) = (s+8)/(s2+6s+13), dapat ditulis sebagai : X(s) = (s+8)/[(s+3)2+4] = (s+3)/ [(s+3)2+22] + 5/ [(s+3)2+22] x(t) = e-3t [cos2t + 2,5 sin 2t] , t  0 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom d). Penskalaan Waktu dan frekuensi ₤[x(at)] = (1/a) X(s/a) Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom e). Diferensiasi Waktu  ₤[dx(t)/dt] = ∫ e-st dx(t)/dt. dt b b b Ambil u = e-st dan dv = dx(t) serta ingat ∫u dv = uv - ∫ v.du │ a a a du = -s e-st dt dan v = x(t) sehingga :   ₤[dx(t)/dt] = e-st x(t) │ + s ∫ x(t) e-st dt 0 0 ₤[dx(t)/dt] = s. X(s) – x(0-) Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom Contoh soal Carilah Transformasi Laplace dari : 8 dx(t)/dt + 3 x(t) = 2t u(t) dengan x(0) = -1 ₤[8 dx(t)/dt + 3 x(t)] = ₤[2t u(t)] ₤[8 dx(t)/dt] + 3₤[ x(t)] = ₤[2t u(t)] 8 [s X(s) – x(0)] + 3 X(s) = 2 (1/s2) 8 s X(s) + 8 + 3 X(s) = 2/s2 (8s + 3) X(s) = (2/s2) – 8 X(s) = 2/[s2(8s+3)] – 8/(8s+3) Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom f). Integrasi Waktu t Jika ₤[f(t)] = F(s) maka ₤[∫f(t) dt] = F(s)/s t  t Ingat ₤[∫f(t) dt] = ∫ [ ∫ f(t) dt] e-st dt 0 0 0 Ambil u = ∫ f(t) dt → du = f(t) dt dv = e-st dt → v = -(1/s) e-st Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom Contoh Soal Carilah Transformasi Laplace dari : t 0,5 dv(t)/dt + 0,2 v(t) + 2 ∫ v(t) dt + 10 = 0,5 sin 10t u(t) Ampere. Dengan v(0) = 20 volt 0,5₤[ dv(t)/dt] + 0,2 ₤[v(t)] + 2 ₤[∫dt] + 10 ₤[1] = 0,5 ₤[sin 10t u(t)] 0,5[sV(s) – v(0)] + 0,2 V(s) + (2/s) V(s) + 10 (1/s) = 0,5. 10/(s2+100) 0,5 [sV(s) – 20] + 0,2 V(s) + (2/s) V(s) + 10/s = 0,5. 10/(s2+100) (0,5 s + 0,2 + 2/s) V(s) = 10 – 10/s + 5/(s2+100) [0,5(s2 +0,4 s +4)/s] V(s) = 10(s3 – s2 +100,5 s -100)/[s(s2+100)] V(s) = 20 (s3 – s2 +100,5 s -100)/[(s2+100)(s2+0,4s+4)] volt.sec. Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom g). Periodisitas Bila xp(t) adalah sinyal periodik dan x1(t) adalah sinyal periode pertama dari xp(t) dan ₤[ x1(t)]= X1(s) maka : ₤[xp(t)] = [1/(1-e-Ts)] X1(s) dengan T adalah periode Hal ini dapat lebih dijelaskan sebagai berikut : Suatu fungsi periodik f(t) = f1(t) + f2(t) + ..... Dengan f1(t) adalah sinyal periode pertama f2(t) adalah sinyal periode kedua dan seterusnya. Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom Sehingga f(t) dapat dituliskan sebagai berikut : f(t) = f1(t) + f2(t) + f3(t) + ..... = f1(t) + f1(t-T) u(t-T) + f1(t-2T) u(t-2T) + .... F(s) = F1(s) + F1(s) e-Ts + F1(s) e-2Ts + .... = F1(s) [1 + e-Ts + e-2Ts + ....] = [1/(1-e-Ts)] F1(s) Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom h). Teorema Nilai Awal dan Nilai Akhir Digunakan untuk memudahkan mencari solusi suatu kondisi awal ( t =0) dan kondisi akhir ( t = ) dari suatu fungsi waktu melalui suatu fungsi frekuensi (s). Teorema Nilai Awal  ∫[(dx(t)/dt] e-st dt = s X(s) – x(0) s →  : limit ∫[dx(t)/dt] e-st dt = limit [s X(s)] – x(0) 0 s → = limit [s X(s)] – x(0) s→  x(0) = limit x(t) = limit s X(s) t→ 0 s→ Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom Teorema Nilai Akhir  ∫[(dx(t)/dt] e-st dt = s X(s) – x(0)   limit ∫[(dx(t)/dt] e-st dt = ∫[(dx(t)/dt] = limit [dx(t)/dt] dt s→0 0 0 t→ = limit [x(t) – x(0)] t→ limit x(t) = limit s X(s) t→ s→0 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom i). Konvolusi Dua Sinyal Bila x1(t) dan x2(t) mempunyai harga =0 , untuk t  0   Dan y(t) = x1(t) * x2(t) = ∫ x1(τ) * x2(t-τ) dτ = ∫ x1(t-τ) * x2(τ) dτ 0 0   Maka Y(s) = ₤[y(t)] = ∫ [ ∫ x1(τ) x2(t-τ) dτ] e-st dt 0 0 Ambil η = t – τ :   Y(s) = ∫ x1(τ) [ ∫ x2(η) e-sη dη] e-sη dτ 0 0 Y(s) = X1(s). X2(s) Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom j). Perkalian dengan t Jika ₤[f(t)] = F(s) maka ₤[t. f(t)] = -dF(s)/ds Dan secara umum dapat dituliskan sebagai : ₤[tn. f(t)] = (-1)n dn F(s)/ds k). Pembagian dengan t  Jika ₤[f(t)] = F(s) maka ₤[f(t)/t] = ∫ F(s) ds Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom Latihan Carilah nilai awal dan nilai akhir dari : 1). X(s) = (s+10)/(s2+3s+2) 2). A(s) = 1/(s+10) 3). Y(s) = 1/s 4). F(s) = s/(s+10) Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom